Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels/Anisotropie et non-linéarité

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Cette page présente brièvement les limites du modèle du diélectrique LHI qui est l’objet du présent cours. Pour de plus amples développements sur tous ces phénomènes, consulter le cours sur l’électromagnétisme des milieux diélectriques.

Milieux anisotropes

La molécule de

Début d’une formule chimique

CO₂

Fin d’une formule chimique

se polarise plus lorsqu'un champ parallèle à son axe est appliqué plutôt qu'un champ perpendiculaire.

Cependant, dans le cas de molécules, les problèmes de symétrie rendent la structure plus sensibles à la polarisation dans certaines directions que dans d'autres. Le comportement du matériau face à l’application d'un champ électrique est alors décrit par le tenseur de polarisabilité.

Tenseur de polarisabilité

On appelle tenseur de polarisabilité le tenseur ${\bar {\bar {\alpha }}}=\left({\begin{matrix}\alpha _{xx}&\alpha _{xy}&\alpha _{xz}\\\alpha _{yx}&\alpha _{yy}&\alpha _{yz}\\\alpha _{zx}&\alpha _{zy}&\alpha _{zz}\end{matrix}}\right)$ tel que ${\vec {p}}={\bar {\bar {\alpha }}}{\vec {E}}$.

Tenseur de susceptibilité

Si le matériau n’est pas isotrope, le réel χ_e devient le tenseur de susceptibilité :

${\bar {\bar {\chi }}}_{e}=\left({\begin{matrix}\chi _{xx}&\chi _{xy}&\chi _{xz}\\\chi _{yx}&\chi _{yy}&\chi _{yz}\\\chi _{zx}&\chi _{zy}&\chi _{zz}\end{matrix}}\right)$

Tenseur de permittivité

On appelle tenseur de permittivité le tenseur ${\bar {\bar {\epsilon }}}=\epsilon _{0}({\bar {\bar {I}}}_{3}+{\bar {\bar {\chi }}}_{e})$

La grandeur ${\bar {\bar {\epsilon }}}_{r}={\bar {\bar {I}}}_{3}+{\bar {\bar {\chi }}}_{e}$ est appelée tenseur de permittivité relative.

Cristaux

La biréfringence

L'anisotropie engendre des comportements intéressants, comme la biréfringence dans des cristaux comme le spath d'Islande. Dans certains cristaux biréfringents, on a ainsi les propriétés suivantes :

Propriété

${\bar {\bar {\alpha }}}$ est symétrique réel, donc peut se diagonaliser dans une base orthonormée de vecteurs propres :

${\bar {\bar {\alpha }}}=\left({\begin{matrix}\alpha _{1}&0&0\\0&\alpha _{2}&0\\0&0&\alpha _{3}\end{matrix}}\right)$

α₁, α₂ et α₃ sont alors appelées polarisabilités principales.

Propriété

Le tenseur ${\bar {\bar {\chi }}}_{e}$ est symétrique réel, donc peut se diagonaliser dans une base orthonormée de vecteurs propres :

${\bar {\bar {\chi }}}_{e}=\left({\begin{matrix}\chi _{1}&0&0\\0&\chi _{2}&0\\0&0&\chi _{3}\end{matrix}}\right)$

χ₁, χ₂ et χ₃ sont alors appelées susceptibilités électriques principales.

Milieux non linéaires

Dans le cas le plus général, ${\bar {\bar {\chi }}}_{e}$ dépend de ${\vec {E}}$. Cela peut conduire à des comportements amusants, qui sont l’objet d'étude de l'optique non linéaire.