Initiation à l'élasticité/Élasticité linéaire

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Introduction

Le but de ce chapitre est pour une pièce sollicitée dont on connait :

• Les conditions limites,
• La géométrie,
• Le matériau.

Déterminer ${\tilde {\sigma }},{\tilde {\epsilon }},{\vec {n}}\,$ en tout point de la pièce.

Nécessité d'une loi de comportement

les inconnues sont les suivantes :

• ${\tilde {\sigma }}_{s}ym\rightarrow 6inconnues\,$
• ${\tilde {\sigma }}_{s}ym\rightarrow 6inconnues\,$
• ${\tilde {\omega }}\rightarrow 3inconnues\,$

Ce qui fait un total de 15 inconnues

les équations sont les suivantes:

• ${\tilde {\epsilon }}=({1 \over 2}(grad{\vec {n}}+{grad}^{T}{\vec {n}})\rightarrow 6equations\,$
• $PFS:div({\tilde {\sigma }})=0\rightarrow 3equations\,$

Ce qui fait un total de 9 equations

Il manque 6 équations, il faudrait une relation entre ${\tilde {\sigma }}$ et ${\tilde {\epsilon }}$. Cette relation s’appelle la loi de comportement et elle est fonction du matériau.

Modélisation de la loi de comportement

Modélisation :

• Expérimentale
• Analyse théorique

Expérience : éprouvette en traction

On trace

${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma &0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ ${\begin{matrix}\sigma ={F \over S}\\\epsilon ={{L-L_{0}} \over L_{0}}\end{matrix}}$ Traction seule jusqu'à rupture :

Cycle charge / décharge :

On définit plusieurs zones :

• Zone 0A : partie linéaire, zone élastique.
  • le retour suit le même chemin que le chargement,
  • c’est un phénomène réversible,
  • pour un métal on parle d'élasticité linéaire,
  • limite au point A :
    • $\sigma _{E}=$ limite élasticité
    • $\sigma _{P}=$ limite proportion
    • $\sigma _{y}=$ yield stress

Dans ce cours on suppose que le matériau est élastique linéaire si $\sigma >\sigma _{E}$ , les hypothèses ne sont plus vérifiées.

• Zone AB :
  • zone plastique
  • phénomène irréversible
  • AB: fluage : déformation à $\sigma$ constante (liquides); on parle d'écoulement plastique.
• Zone BC: écrouissage: ${F_{M}}^{2}>\sigma _{E}$, la limite élastique a augmenté.
• Zone CD : rupture.

Les propriétés plastiques sont modélisables. On peut utiliser ces modélisations dans le domaine nucléaire et pour l'aéronautique spatiale et civile. On définit les coefficients de sécurité $\sigma <{\sigma \over k}$

• $k=1:\sigma <\sigma _{E}\,$
• $k=2:\sigma <{{\sigma _{E}} \over 2}$
• $k=0,8:$ plasticité ($\sigma <{\sigma _{E} \over 0,8}\sim \sigma >\sigma _{E}$ donc plastique)

III. Élasticité classique

La loi de comportement évoquée ici est la plus simple et la plus utilisée.

1) Hypothèses

• Homogénéité : La loi de comportement est la même en tout point du volume.
• Isotrope : La loi de comportement est la même dans toutes les directions en un point donné.
• Elasticité : Un milieu est dit élastique s'il existe un état du système dit état neutre pour lequel ${\tilde {\sigma }}={\tilde {0}}\,$ en tout point et si le tenseur ${\tilde {\sigma }}$ est une fonction bijective du tenseur ${\tilde {\epsilon }}:\rightarrow bijective\,$ : si ${\tilde {\sigma }}={\vec {f}}({\tilde {\epsilon }})$ alors

État neutre: ${\tilde {\sigma }}={\tilde {0}}\forall M\in V$

2) Loi de Hooke

Équation de l'élasticité classique/linéaire :

${\begin{matrix}{\tilde {\sigma }}={\lambda }tr({\tilde {\epsilon }}){\tilde {I}}-2G{\tilde {\epsilon }}\\{\tilde {\epsilon }}={{1+U} \over E}{\tilde {\sigma }}-{U \over E}tr({\tilde {\sigma }}){\tilde {I}}\end{matrix}}$

On veut une équation linéaire entre ${\tilde {\sigma }}$ et ${\tilde {\epsilon }}$, on écrit:

${\tilde {\sigma }}=A{\tilde {\epsilon }}+B$

On simplifie pour arriver à la loi de Hooke : si ${\tilde {\sigma }}=0,{\tilde {\epsilon }}=0\Rightarrow B=0+symetrie;isotropie\rightarrow loideHooke\,$

$\Rightarrow \lambda ,\nu ,G,E\,$ ; coefficient de Lamé (constantes du matériau)

Avec:

• $\lambda \,$ : coefficient de Lamé (Pa)
• $\nu \,$ : coefficient de Poisson
• $G\,$ : appelé aussi $\mu \,$, module de cisaillement ou de glissement (Pa)
• $E\,$ : module de Young (Pa)

IV. Conséquences sur les hypothèses d'élasticité classique

1) Directions principales de ${\tilde {\sigma }}$ et de ${\tilde {\epsilon }}$

Comme le milieu (le matériau) est isotrope on peut montrer que les directions principales de ${\tilde {\sigma }}$ et de ${\tilde {\epsilon }}$ sont les mêmes en particulier pour un matériau élastique linéaire.

• ${\tilde {\sigma }}=Atr({\tilde {\epsilon }})+B{\tilde {\epsilon }}$
• ${\tilde {\epsilon }}=Ctr({\tilde {\sigma }}){\tilde {I}}+D{\tilde {\sigma }}$

si ${\tilde {\sigma }}$ est diagonal alors ${\tilde {\epsilon }}$ l'est aussi.

2)Principe de superposition

Quand une loi de comportement est linéaire, le principe de superposition s'applique

• Soit un volume V, sollicité par des efforts, et on a ${{\tilde {\sigma }}_{M}}^{1}$ et ${{\tilde {\epsilon }}_{M}}^{1}$ en tout M de V.
• Soit le même volume, sollicité par d'autres efforts on a ${{\tilde {\sigma }}_{M}}^{2}$ et ${{\tilde {\epsilon }}_{M}}^{2}$.

Si on applique $aS^{1}+bS^{2}\,$, où a, b sont des constantes, sur le volume V, alors la linéarité de la loi de comportement dit que:

${\begin{matrix}{\tilde {\sigma }}=a{\tilde {\sigma }}^{1}+b{\tilde {\sigma }}^{2}\\{\tilde {\epsilon }}=a{\tilde {\epsilon }}^{1}+b{\tilde {\epsilon }}^{2}\end{matrix}}\,$ Exemple : si on connait ${\tilde {\sigma }}$ et ${\tilde {\epsilon }}$ en tout point de V on a :

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${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}0&0\\0&T\end{pmatrix}}\Rightarrow$ Si on multiplie la sollicitation par K (constante) on a

${\tilde {\sigma }}=K.{\begin{pmatrix}0&0\\0&T\end{pmatrix}}$

Pour les calculs en éléments finis on applique des sollicitations telles que $||{\vec {F}}||=1\,$ si possible.

IV. Résolution d’un problème en élasticité linéaire

On connait :

• la géométrie de la pièce : $({\vec {V}},s,{\vec {n}})\ ;$
• Le matériau : LDC élasticité $\rightarrow \lambda ,G,E,U\,$
• Les conditions limites : les $\sigma \,$ appliquées par l’extérieur sur la pièce et les déplacements imposés (équation).
• La force de volume.

En théorie on peut résoudre le problème, c'est-à-dire trouver ${\tilde {\sigma }},{\tilde {\epsilon }}et{\vec {n}}\,$ en tout point M de V.
En pratique il faut trouver la solution d’un équation différentielle qui a peu de solutions analytiques.

On dispose d’outils numériques pour résoudre (éléments finis). Parfois les solutions sont très longues à obtenir.

Il faut analyser le problème pour essayer de trouver une simplification.

1. Analyse de la géométrie

Choix du repère

Le choix du repère influe sur les calculs.

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Il faut orienter les axes de manière à ce qu’ils soient parallèles aux faces extérieures et / ou aux sollicitations.

Il faut adapter le type de repère à la géométrie :

• géométrie cylindrique : repère cylindrique.
• géométrie sphérique : repère sphérique.

Axes de symétrie (éléments finis)

S’il existe des axes de symétrie dans la pièce on peut réduire le volume sur lequel on fait le calcul.

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On réduit comme cela les temps de calcul.

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Conditions limites sur les axes de symétrie :

1. ${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{x}=0\\u_{y}=?\\u_{z}=?\end{matrix}}$
2. ${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{x}=?\\u_{y}=0\\u_{z}=?\end{matrix}}$

Réduction de l’espace

• en 3d :

${\tilde {\sigma }}\rightarrow {\begin{pmatrix}x&x&x\\\vdots &x&x\\\cdots &\ddots &x\end{pmatrix}}$

${\tilde {\epsilon }}\rightarrow {\begin{pmatrix}x&x&x\\\vdots &x&x\\\cdots &\ddots &x\end{pmatrix}}$

${\vec {u}}\rightarrow {\begin{vmatrix}x\\x\\x\end{vmatrix}}\,$

Problème à 1 dimension : poutre en traction

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Où ${\vec {T}}\,$ est l’effort. ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}{T \over S}&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\rightarrow 10:\sigma ={T \over S}$ ${\tilde {\epsilon }}={\begin{pmatrix}{T \over {ES}}&0&0\\0&-{T\mu \over ES}&0\\0&0&-{T\mu \over ES}\end{pmatrix}}\rightarrow LDC:\sigma =E.\epsilon \,$

LDC: Loi de Hooke: $\sigma =E.\mathrm {E} \,$

En réalité les problèmes à une dimension n'existent pas, mais pour les poutres on ne s'occupe pas de $\mathrm {E} _{yy}\,$ et de $\mathrm {E} _{zz}\,$

L'allongement

${\partial U_{x} \over \partial x}={T \over ES};U_{x}={T \over ES}.x+K$

et $K=0carU_{x}(0)=0\,$

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$U_{x}(L)={T \over ES}.L,{\begin{Bmatrix}\\\epsilon ={\delta L \over L}\end{Bmatrix}}\,$

Problème en 2 dimensions : Cas des plaques et des coques

On est dans le cas d'un volume plan tel qu'une des dimensions est largement inférieure aux autres dimensions.

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Simplifications possibles

• Les plaques ne sont pas sollicitées dans la direction des épaisseurs

${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}\alpha &\alpha &0\\\alpha &\alpha &0\\\alpha &\alpha &0\end{pmatrix}}$

$<{\tilde {\sigma }}\rightarrow plan\,$ Une plaque est un état plan de contraintes.

• Les plaques sont localement des états plans de contraintes :

État plan de contraintes

Un état plan de déformations est défini comme ceci : ${\tilde {\epsilon }}={\begin{pmatrix}\alpha &\alpha &0\\\alpha &\alpha &0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ Dans ce cas là on a une déformation plane en (x, y, z) et ${\tilde {\epsilon }}$ a une valeur nulle. Il y a une partie du système qui est bloquée en déplacement dans une direction sur une section.

Exemple

Il n’y a pas de déplacement suivant ${\vec {z}}\,$ , les déplacements suivant (x, y ) sont indépendants de ${\vec {z}}\,$

On étudie le problème sur une des sections de la 3D, c’est donc une étude en 2D.

Exemples

Cylindre plein en compression :

Caractéristiques du cylindre :

• Rayon R
• Hauteur L
• Pas de frottement entre le cylindre et les plaques
• Cylindre composé d’un matériau élastique de caractéristiques$E,V,\lambda ,etG\,$

On veut trouver ${\tilde {\sigma }},{\tilde {\epsilon }}et{\vec {u}}$ du cylindre.

• Définition de V : 3 surfaces
• Étude géométrique :
  • des sollicitations : ${\vec {F}}$ dans l’axe du cylindre
  • de V : cylindre.

On a donc une géométrie cylindrique avec axe de symétrie de révolution. On fait donc le choix d’un repère cylindrique.

Conditions limites :

• Face r = R.
  • ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$
  • ${\vec {C}}={\vec {0}}$
• Face y = 0 (cartésien)

           Z=0 (cylindrique)

• • ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}\,$
  • ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{x}=?\\u_{0}=0\\u_{2}=0\end{pmatrix}}$
• Face ${\begin{matrix}y=L\\z=L\end{matrix}}$
  • ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ , ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{x}\\{u_{\theta z}=0}\\u_{z}\end{pmatrix}}$ ${\vec {C}}={\begin{pmatrix}0\\0\\{-F \over S}\end{pmatrix}}$

On place les points pour définir le plan tels que

• R= 0
• ${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{r}=0\\u_{\theta }=0\\u_{y}=1\end{matrix}}$

$u_{\theta }=0$ car il n’y a pas de variation géométrique ni de sollicitation suivant $\theta$

Le problème est indépendant suivant $\theta$ et$u_{\theta }=0$ pour tout M appartenant à V.

${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{r}(r,y)\\0\\u_{y}(r,y)\end{matrix}}$

$u_{r}\,$ est indépendant de y et $u_{y}\,$est indépendant de r. On a donc ${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{r}(r)\\0\\u_{y}(y)\end{matrix}}$

Que peut-on déduire pour ${\tilde {\sigma }}$ : analyse des conditions limites

• ${\vec {C}}={\vec {0}}$ sur face r=R , ${\vec {x}}={\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\Rightarrow {\tilde {\sigma }}.{\vec {x}}=0$ sur cette face et

${\begin{Bmatrix}\sigma _{r}(R,y)=0\\\sigma _{x\theta }(R,y)=0\\\sigma _{xy}(R,y)=0\end{Bmatrix}}$

• Face ${\vec {x}}={\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}$ ,${\vec {C}}={\begin{matrix}0\\0\\{-F \over S}\end{matrix}}$, $\sigma _{xy}=\sigma _{\theta y}=0$ et $\sigma _{yy}={-F \over S}$

D’après la géométrie, les sollicitations on voit que tout est indépendant de r et de y, donc ${\tilde {\sigma }}\,$ n’est pas fonction de r et de y. Donc ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}cste&cste&cste\\cste&cste&cste\\cste&cste&cste\end{pmatrix}}$ pour tout M appartenant à V. Les conditions limites nous donnent : ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&cste&0\\0&0&{-F \over S}\end{pmatrix}}$ comment déduire $\sigma _{yy}\,$

• À l’équilibre on a $div({\tilde {\sigma }})={\vec {0}}(car{\vec {f}}={\vec {0}})\Rightarrow \sigma _{yy}=0\,$

On a donc ${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&{-F \over S}\end{pmatrix}}$ Remarque ${\tilde {\epsilon }}\,$ est obtenu avec la loi de Hooke : ${\tilde {\epsilon }}={\begin{pmatrix}{\mu \over E}{F \over S}&0&0\\0&{\mu \over E}{F \over S}&0\\0&0&{1+\mu \over E}{-F \over S}+{\mu \over E}{F \over S}={-F \over ES}\end{pmatrix}}$

On rappelle que ${\vec {u}}={\begin{matrix}u_{r}(r)\\0\\u_{y}(y)\end{matrix}}$ On applique en cylindrique :

${\tilde {\epsilon }}={1 \over 2}(grad({\vec {u}})+{grad}^{T}({\vec {u}}))$

a/ ${\partial u_{r} \over \partial r}={\mu \over E}{F \over S}$

b/ ${u_{r} \over r}={\mu \over E}{F \over S}$

c/ ${\partial u_{y} \over \partial y}={-F \over SE}$

On a donc ${\begin{matrix}u_{r}={\mu F \over ES}r+K\\u_{\theta }=0\\u_{y}={-F \over SE}y+K\end{matrix}}$ Solution du problème

${\vec {u}}={\begin{matrix}{\mu F \over ES}r\\0\\{-F \over SE}y\end{matrix}}$

${\tilde {\sigma }}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&{-F \over S}\end{pmatrix}}$

${\tilde {\epsilon }}={\begin{pmatrix}{\mu \over E}{F \over S}&0&0\\0&{\mu \over E}{F \over S}&0\\0&0&{-F \over ES}\end{pmatrix}}$