Incertitudes en physique/Calculs d'incertitudes

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Calculs d'incertitudes
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Chapitre 2
Leçon : Incertitudes en physique
Chap. préc. : Qu'est-ce qu'une incertitude ?


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Incertitudes en physique/Calculs d'incertitudes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Calcul d'incertitudes absolues

Cas général

Supposons que l'on mesure un certain nombre de grandeurs indépendantes x_1,\,...,\,x_n avec les incertitudes respectives \Delta x_1,\, ...,\,\Delta x_n . On veut alors en déduire l'incertitude d'une grandeur f dépendant des variables xi. D'après les notions sur les différentielles vues au début de ce cours, on peut écrire :

df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + ... +\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n

On peut alors calculer un majorant de df :

|df|\le \left| \frac{\partial f}{\partial x_1} \right| |dx_1| + ... +\left| \frac{\partial f}{\partial x_n} \right| |dx_n|

Puis en notant les incertitudes Δx = | dx | pour toutes les grandeurs, on obtient la relation suivante en prenant la valeur maximale de l'incertitude :

\Delta f = \left| \frac{\partial f}{\partial x_1} \right| \Delta x_1 + ... +\left| \frac{\partial f}{\partial x_n} \right| \Delta x_n
Exemple concret

On prend par exemple la mesure d'une résistance électrique R. Pour cela on réalise un circuit électrique reliant une résistance à une pile. On mesure l'intensité I passant dans le circuit à l'aide d'un ampèremètre et la tension U aux bornes de la résistance à l'aide d'un voltmètre. Ces deux mesures présentent des incertitudes notées ΔI et ΔU. On obtient les valeurs suivantes :

I=0,10\;mA, U=1,50\;V, \Delta U=0,01\; V et \Delta I=0,01\; mA.

Tout d'abord on calcule la valeur moyenne de R sachant que R = U / I : cela donne 1,50 / 0,10 x 1000 = 15 000 Ω. Il faut ensuite calculer l'incertitude ΔR. Pour cela on doit calculer les dérivées partielles de R par rapport à U et I :

\frac{\partial R}{\partial U} = \frac{\partial (U/I)}{\partial U} = \frac{1}{I} et \frac{\partial R}{\partial I} = \frac{\partial (U/I)}{\partial I} = -\frac{U}{I^2}

Ainsi la formule (3) se traduit ici par ( en n'oubliant pas la conversion mA => A ) :

\begin{matrix} \Delta R & = & \frac{\partial R}{\partial U} \Delta U + |\frac{\partial R}{\partial I}| \Delta I \\ & = & \frac{1}{I} \Delta U + \frac{U}{I^2} \Delta I \\ & = & 100\;\Omega\; + \; 1500\; \Omega \\ & = & 1600\; \Omega \end{matrix}

Finalement, la mesure que l'on a effectué nous donne : R = 15000 \pm 1600 \; \Omega

[modifier] Calcul d'incertitudes relatives

Dans le cas général, il n'est pas pratique de calculer directement des incertitudes relatives. Mais si la fonction f s'exprime sous forme d'un produit de ses variables, il est plus simple de calculer l'incertitude relative. Par exemple, on considère la fonction suivante :

f(x,y,z)=x^a\, y^b\, z^c

où a, b et c sont des constantes. On applique alors le logarithme népérien aux deux membres de cette relation :

\ln\,f(x,y,z) = a\, \ln x + b\,\ln y+c\,\ln z

Puis on prend la différentielle de cette équation :

\frac{df}{f} = a \frac{dx}{x} + b \frac{dy}{y} + c\frac{dz}{z}

D'où, en remplaçant les différentielles par des incertitudes :

\frac{\Delta f}{f} = a \frac{\Delta x}{x} + b \frac{\Delta y}{y} + c\frac{\Delta z}{z}

Cette expression permet donc de relier facilement des incertitudes relative

[modifier] Voir aussi

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