Incertitudes en physique/Calculs d'incertitudes

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Calcul d'incertitudes absolues

Cas général

Supposons que l’on mesure des grandeurs indépendantes $x_{1},\,...,\,x_{n}$ avec les incertitudes respectives $\Delta x_{1},\,...,\Delta x_{n}$. On veut alors en déduire l'incertitude d’une grandeur $f$ dépendant des variables $x_{i}$. D'après les notions sur les différentielles vues au début de ce cours, on peut écrire :

$df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+...+{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}$

On peut alors calculer un majorant de df : $|df|\leq \left|{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right||dx_{1}|+...+\left|{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right||dx_{n}|$

Puis en notant les incertitudes $\Delta x=|dx|$ pour toutes les grandeurs, on obtient la relation suivante en prenant la valeur maximale de l'incertitude :

$\Delta f=\left|{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right|\Delta x_{1}+...+\left|{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right|\Delta x_{n}$

Exemple concret

On prend par exemple la mesure d’une résistance électrique R. Pour cela on réalise un circuit électrique reliant une résistance à une pile. On mesure l'intensité I passant dans le circuit à l'aide d’un ampèremètre et la tension U aux bornes de la résistance à l'aide d’un voltmètre. Ces deux mesures présentent des incertitudes notées $\Delta I$ et $\Delta U$. On obtient les valeurs suivantes : $I=0,10\;mA$,   $U=1,50\;V$,   $\Delta U=0,01\;V$   et   $\Delta I=0,01\;mA$.

Tout d’abord on calcule la valeur moyenne de R sachant que $R=U/I$ ; cela donne ${\frac {1,50}{0,1\times 10^{-3}}}=15k\Omega$. Il faut ensuite calculer l'incertitude $\Delta R$.

Pour cela, on doit calculer les dérivées partielles de R par rapport à U et I :

${\frac {\partial R}{\partial U}}={\frac {\partial (U/I)}{\partial U}}={\frac {1}{I}}$ et ${\frac {\partial R}{\partial I}}={\frac {\partial (U/I)}{\partial I}}=-{\frac {U}{I^{2}}}$

On a alors en n'oubliant pas la conversion mA => A :

${\begin{matrix}\Delta R&=&{\frac {\partial R}{\partial U}}\Delta U+|{\frac {\partial R}{\partial I}}|\Delta I\\&=&{\frac {1}{I}}\Delta U+{\frac {U}{I^{2}}}\Delta I\\&=&100\;\Omega \;+\;1500\;\Omega \\&=&1600\;\Omega \end{matrix}}$

Finalement, la mesure que l’on a effectué nous donne : $R=15000\pm 1600\;\Omega$

Calcul d'incertitudes relatives

Dans le cas général, il n’est pas pratique de calculer directement des incertitudes absolues. Mais si la fonction f s'exprime sous forme d’un produit de ses variables, il est plus simple de calculer l'incertitude relative. Par exemple, on considère la fonction suivante :

$f(x,y,z)=x^{a}\,y^{b}z^{c}$

où a, b et c sont des constantes. On applique alors le logarithme népérien aux deux membres de cette relation : $\ln \,f(x,y,z)=a\,\ln x+b\,\ln y+c\ln z$

Puis on prend la différentielle de cette équation :

${\frac {df}{f}}=a{\frac {dx}{x}}+b{\frac {dy}{y}}+c{\frac {dz}{z}}$

D'où, en remplaçant les différentielles par des incertitudes :

${\frac {\Delta f}{\left|f\right|}}=\left|a\right|{\frac {\Delta x}{\left|x\right|}}+\left|b\right|{\frac {\Delta y}{\left|y\right|}}+\left|c\right|{\frac {\Delta z}{\left|z\right|}}$.

Cette expression permet donc de relier facilement des incertitudes relatives.

Voir aussi

• Une autre approche des calculs d'incertitudes