Histoire des mathématiques/Algèbre

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Calcul littéral

Le calcul littéral (calcul avec des lettres) appelé aussi calcul algébrique, du mot algèbre, est un puissant outil développé par le mathématicien français François Viète (1540 – 1603) qui a attribué une lettre à des quantités inconnues dans des calculs, mais aussi à des coefficients.

Début de l'exemple

Exemple

• formule générale :
  • aire d’un carré : ${c}\times c$
  • périmètre d’un cercle : ${\pi }\times D$

Fin de l'exemple

notons le caractère « judicieux » du choix de ces lettres dans les formules…

• Écrire ce qu'on appelle une équation pour résoudre un problème

« J'achète 3 CD à plein tarif et 5 CD qui coûtent 4 fois moins chers. Je paie 72,25 €, quel est le prix d’un CD plein tarif ? »

Les techniques de calcul littéral sont un puissant outil qui servent à manipuler les calculs contenant des lettres, de façon à les simplifier au maximum dans le but de résoudre des équations simples :

${3x}+{{5x} \over 4}=72,25$

donnera

${4,25x}={72,25}$,

et ceci grâce au calcul littéral…on peut aisément calculer l'inconnue maintenant…

Algèbre

C'est une branche des mathématiques, comme la géométrie ou la musique du temps de Pythagore, qui permet de manipuler des nombres connus ou inconnus (les nombres inconnus étant remplacés par une lettre).

Le mot algèbre vient d’un mot arabe (al-jaber, qui veut dire « rebouter ») en titre d’un ouvrage du mathématicien perse Al Khawarizmi (780 – 850 à Bagdad) qui reprenait les travaux du mathématicien d'origine grecque Diophante d'Alexandrie (325 — 409) qui avait déjà imaginé représenter un nombre inconnu par un symbole nommé arithme ζ (zêta, sixième lettre et quatrième consonne de l'alphabet grec minuscule)

Équation

Dans l'Antiquité, vers 2000 avant JC, les Babyloniens savaient déjà résoudre des problèmes par équations, mais leur résolution n'a rien à voir avec les techniques actuelles. On le sait grâce à un célèbre document conservé au British Museum à Londres, le Papyrus Rhind, qui date de -1650.

Un exemple de problème babylonien :

« J’ai une pierre mais je ne l'ai pas pesée. Après avoir enlevé un septième de son poids, j’ai pesé le tout et j’ai trouvé : 1 ma-na (unité de masse). Quel était le poids de la pierre à l'origine ? »

Résolution par méthode de fausse position On donne une valeur arbitraire à la pierre, on regarde combien cela fait, et par proportionnalité on trouve la vraie masse de la pierre. Si la pierre pèse 7 ma-na, le septième de 7 étant 1, la pierre allégée pèse 6 ma-na, ce qui est 6 fois plus grand que la valeur cherchée (1 ma-na). Pour que la pierre allégée pèse un ma-na, il faut donc prendre au départ une pierre 6 fois plus légère donc la solution est sept sixièmes.

Notons que l'équation de ce problème donne pour nous une équation qui peut se résoudre en 3 lignes.

« Dans ce troupeau de vaches, si on échange le tiers de ces bêtes contre ces 17 belles vaches, le nombre de vaches passe à 41. Combien de vaches j’avais ? »

Le principe de la double fausse position s'applique lorsqu’il n'y a pas proportionnalité dans le phénomène. Il consiste à faire deux tentatives (trouver deux positions fausses) et à en déduire la solution (ou position exacte). Il est préférable de faire une proposition faible et une proposition forte.

Première tentative faible Prendre 24 vaches. On en enlève le tiers. Il reste 16 vaches. On ajoute 17 vaches. Le troupeau contient alors 33 vaches donc 8 de moins que ce que l’on souhaite.

Seconde tentative forte Prendre 45 vaches. On en enlève le tiers. Il reste 30 vaches. On ajoute 17 vaches. Le troupeau contient alors 47 vaches soit 6 vaches de trop.

Le nombre exact de vaches est alors une moyenne des deux tentatives pondérées par les erreurs commises.

L'équation de ce problème donne pour nous : ${\frac {2x}{3}}+17=41$, soit ${\frac {2x}{3}}=24$, soit $x=36$, et peut se résoudre en 4 lignes.

Papyrus Rhind

Le Papyrus Rhind a été écrit par un scribe égyptien nommé Ahmès. Son nom vient de l'Écossais Henry Rhind qui l'acheta en 1858 à Louxor. Il aurait été découvert sur le site de la ville de Thèbes, en Égypte.

Actuellement conservé au British Museum (Londres), il contient 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage, sur plus de 5 m de longueur et 32 cm de large.

Ahmès indique que son papyrus est, en partie, une copie de résultats plus anciens (vers -2000) remontant aux Babyloniens.

Problème n^o 53 du papyrus Rhind, que traita Thalès, alors que Thalès est né 1 600 ans plus tard…