Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Fonction arccos

Exercice 3-1

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\arccos {\frac {x}{2-x}}$

1. Quel est son domaine de définition ?
2. Calculer $f'(x)$.
3. Donner le développement limité à l'ordre 1 de $f$ en $0$.

Solution

1. La fonction $x\mapsto {\frac {x}{2-x}}$, de dérivée $x\mapsto {\frac {2}{(2-x)^{2}}}$, est croissante sur $\left]-\infty ,2\right[$ et sur $\left]2,+\infty \right[$. Sa limite en $\pm \infty$ est $-1$, et elle prend la valeur $1$ en $x=1$. Le domaine $Df$ sur lequel elle est comprise entre $-1$ et $1$ est donc $\left]-\infty ,1\right]$.
2. Pour tout $x<1$, $f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-\left({\frac {x}{2-x}}\right)^{2}}}}{\dfrac {2}{(2-x)^{2}}}={\frac {-2}{(2-x){\sqrt {(2-x)^{2}-x^{2}}}}}={\frac {-1}{(2-x){\sqrt {1-x}}}}$.
3. $f(x)=f(0)+xf'(0)+o(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {x}{2}}+o(x)$.

 

Exercice 3-2

Soit $a>0$ fixé.

1. Donner le domaine de définition $\Delta _{a}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=\arccos {a-x \over a+x}$.
2. Montrer que $f$ est strictement monotone sur $\Delta _{a}$.
3. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$, de domaine de définition $D$ à préciser.
4. Pour $y\in D$, expliciter $f^{-1}(y)$.
5. Vérifier sur cet exemple la formule de la dérivée d'une bijection réciproque.

Solution

1. $\left({a-x \over a+x}\right)^{2}\leq 1\Leftrightarrow (a-x)^{2}\leq (a+x)^{2}\Leftrightarrow 0\leq 4ax\Leftrightarrow x\geq 0\,(>-a)$ donc $\Delta _{a}=\mathbb {R} _{+}$.
2. ($f$ est continue en 0 et) $\forall x>0\quad f'(x)={-1 \over {\sqrt {1-({a-x \over a+x})^{2}}}}{(-2a) \over (a+x)^{2}}={a \over (a+x){\sqrt {ax}}}>0$.
3. $D=[f(0),\lim _{+\infty }f[=[0,\pi [$.
4. Soit $x=f^{-1}(y)$, $\cos y={a-x \over a+x}$ donc $x=a{1-\cos y \over 1+\cos y}=a{2\sin ^{2}(y/2) \over 2\cos ^{2}(y/2)}=a\tan ^{2}(y/2)$.
5. Pour tout $y\in D$ et $x=f^{-1}(y)$, ${\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}={\frac {1}{f'(x)}}={(a+x){\sqrt {ax}} \over a}={(a+a\tan ^{2}(y/2)){\sqrt {a^{2}\tan ^{2}(y/2)}} \over a}=a\tan(y/2)\left(1+\tan ^{2}(y/2)\right)=\left(f^{-1}\right)'(y)$.

 

Exercice 3-3

1. Calculer $\arccos x+\arccos(-x)$ et $\tan(\arccos x)$ pour $-1\leq x\leq 1$.
2. Calculer $\arccos {\sqrt {1+\sin x \over 2}}$.

Solution

1. Soient $u=\arccos x,v=\arccos(-x)$ : $u,v\in [0,\pi ]$, $\cos u=x,\cos v=-x=-\cos u=\cos(\pi -u)$ et $\pi -u\in [0,\pi ]$ donc $v=\pi -u$ donc $\arccos x+\arccos(-x)=u+v=\pi$.
   De plus, $\sin u={\sqrt {1-x^{2}}}$, donc $\tan(\arccos x)=\tan u={{\sqrt {1-x^{2}}} \over x}$.
2. Soit $z=\arccos {\sqrt {1+\sin x \over 2}}$ : $z\in [0,\pi /2]$ et $\cos(\pi /2-x)=\sin x=2\cos ^{2}z-1=\cos(2z)$ donc $\pm 2z=\pi /2-x+2k\pi$ avec $k\in \mathbb {Z}$.
   $\pi /4-x/2+k\pi \in [0,\pi /2]\Leftrightarrow \pi (2k-1/2)\leq x\leq \pi (2k+1/2)$, $-\pi /4+x/2-k\pi \in [0,\pi /2]\Leftrightarrow \pi (2k+1/2)\leq x\leq \pi (2k+3/2)$.
   Vérification des recollements aux bornes : si $x=\pi (2k+1/2)$ alors $\pi /4-x/2+k\pi =0=-\pi /4+x/2-k\pi$ ; si $x=\pi (2k+3/2)=\pi (2(k+1)-1/2)$ alors $\pi /4-x/2+k\pi =\pi /2=-\pi /4+x/2-k\pi$.