Fonctions circulaires/Exercices/Tangente

Une page de Wikiversité.

Étude de la fonction tangente
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Exercice 3
Leçon : Fonctions circulaires

Cet exercice est de niveau 11.
Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Étude de la fonction tangente
Fonctions circulaires/Exercices/Tangente  », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On considère la fonction tangente f, définie par \operatorname{f(x)}=\tan(x)\, et on appelle \mathcal{C}_f\, sa courbe représentative dans un repère orthonormé \left(O;\vec i,\vec j\right)\,

1.Déterminer l'ensemble de définition de la fonction tangente.

2.

1. Montrer que \forall x \in D_f\, on a (x+ \pi) \in D_f et \operatorname{f(x+\pi)}= \operatorname{f(x)}.
2. Interprétez géométriquement ce résultat.
3. Sur quelle intervalle suffit il d'étudier la fonction ?

3.

1. Étudier la parité de la fonction f et interprétez géométriquement le résultat.
2. Sur quel intervalle suffirait-il en fait de faire l'étude de la fonction f.

4. Soit un réel x \in \left]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[. Exprimez en fonction de tan(x) les réels suivants : \tan(-x);\ \tan(\pi + x);\ \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right); \ \tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right); \ \tan(k\pi + x) où k \in \mathbb{Z}

5. Donner la valeur exacte des réels suivant : \tan0 \ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)\ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\ \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)

6. Montrer que pour tout réel x\in D_f on a 1+\tan x = \left(\frac{1}{\cos ^2 x}\right)

Solution

1. \operatorname{f(x)}= \frac{\sin x}{\cos x} donc f est définie si et seulement si \cos x \ne 0 d'où D_f = \mathbb{R} \backslash \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi; k \in \mathbb{Z}\right\}\, que l'on peut noter D_f = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left] \frac{- \pi}{2}+k \pi; \frac{\pi}{2}+k \pi \right]\,.

2.

1. Pour tout x \in D_f, il existe k \in \mathbb{Z} tel que \left( -\frac{\pi}{2} \right)+k \pi<x< \left( \frac{\pi}{2} \right)+k \pi On a donc \left(-\frac{\pi}{2}\right)+k \pi + \pi < x + \pi < \left(\frac{\pi}{2}\right)+k \pi + \pi d'où \left(-\frac{\pi}{2}\right)+k' \pi < x + \pi < \left(\frac{\pi}{2}\right)+k' \pi où k'=k+1 (donc k'\in \mathbb{Z}). Ce qui prouve que (x + \pi)\in \mathbb{Z}

De plus \operatorname{f(x + \pi)} = \frac{\sin(x+ \pi)}{\cos(x+ \pi)}=\frac{-\sin(x)}{-\cos(x)}=\tan x donc \operatorname{f(x + \pi)} = \operatorname{f(x)}

2.La fonction f est π périodique (c'est-à-dire périodique de période pi). Géométriquement la courbe \mathcal{C}_f se répète dans des translations de vecteur k \pi \vec i où k \in \mathbb{Z}
3.Il suffit d'étudier f sur \left]\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right[ (intervalle d'amplitude égale à 1 période soit pi) puis de translater la courbe obtenue par les translations de vecteur k \pi \vec i où k \in \mathbb{Z}.

3.

1. \forall x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, (-x) \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[ et on a \operatorname f(-x)=\left(\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}\right)=\left(\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\right)=-\tan x
La fonction tangente est donc impaire. \mathcal{C}_f\, est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.
2. Il suffirait juste d'étudier f sur \left]0;\frac{\pi}{2}\right[ puis de construire le symétrique de la courbe obtenue par rapport à O et enfin de translater la nouvelle courbe obtenue par les translations des vecteurs k \pi \vec i où k \in \mathbb{Z}\,

4.

  • \forall x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[on a d'après 3a tan( − x) = − tanx
  • De plus \tan(\pi-x)=\left(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}\right)=\left(\frac{\sin x}{-\cos x}\right)=-\tan x
  • \tan(\pi+x)=\left(\frac{\sin(\pi+x)}{\cos(\pi+x)}\right)=\left(\frac{-\sin x}{-\cos x}\right)=\tan x
  • Pour x≠0 : \tan\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)-x\right)=\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}
  • Pour x≠0 : \tan\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)+x\right)=\frac{\sin(\frac{\pi}{2}+x)}{\cos(\frac{\pi}{2}+x)}=\frac{cos x}{-\sin x}=-\frac{1}{\tan x}
  • \tan(k\pi+x)=\tan x\, pour tout k \in \mathbb{Z} (car tan est π-périodique)

5.

  • \tan 0=\left(\frac{\sin0}{\cos 0}\right)=0
  • \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\cos(\frac{\pi}{6})}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}
  • \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}}=1
  • \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{\cos(\frac{\pi}{3})}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 =\sqrt{3}

6.\forall x \in D_f, on a 1+ \tan ^2 x=1+\left(\frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}\right)=\left(\frac{\cos ^2 x + \sin ^2 x}{\cos ^2 x}\right)=\frac{1}{\cos ^2 x}

Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Fonctions_circulaires/Exercices/Tangente »