Fonction génératrice/Définition

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Une fonction génératrice est une fonction que l’on associe entre autres à une variable aléatoire. Cette fonction permet alors de calculer simplement les moments de la variable aléatoire à laquelle elle est associée, notamment, comme nous le verrons, son espérance et sa variance.

Définition de la fonction génératrice associée à une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω. Nous appellerons fonction génératrice associée à X la fonction G_X définie par :

$G_{X}(t):=\mathbb {E} \left(t^{X}\right)=\sum _{k\in X(\Omega )}p(X=k)t^{k}$

pour tout réel $t$ tel que cette série converge.

Ce n’est que lorsque G_X(t) s’exprime simplement en fonction de t que la fonction génératrice rend service. (Voir le chapitre sur les calculs des fonctions génératrices des variables aléatoires classiques.)

Autres fonctions génératrices

Sur un modèle similaire à la fonction génératrice associée à une variable aléatoire, nous considérerons la fonction génératrice associée à un couple de variables aléatoires.

Nous définirons aussi la fonction génératrice associée à une suite numérique ainsi que la fonction génératrice associée à une famille de polynômes.