Fonction inverse/Introduction

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Fonction inverse

Définition

La fonction inverse associe à tout réel $x$ différent de zéro son inverse ${\frac {1}{x}}$.

On note : $f:x\mapsto {\frac {1}{x}}$ ou $f(x)={\frac {1}{x}}$

• La fonction inverse n’est pas définie en $x=0$ qui est une valeur interdite.

Son ensemble de définition est $D_{f}=]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [=\mathbb {R} ^{*}$

Dérivée

Définition

La dérivée de la fonction inverse est définie par : $f'(x)={-1 \over x^{2}}$

Le domaine de dérivabilité de la fonction est : $\Delta _{f}=\mathbb {R} ^{*}$

Le signe de la dérivée $f'(x)$ est toujours négatif sur son ensemble de définition.

Sens de variation

Début d’un théorème

Théorème

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty ;0[$ et strictement décroissante sur $]0;+\infty [$.

Attention : on ne peut pas dire que la fonction inverse est strictement décroissante globalement sur son ensemble de définition.

Fin du théorème

Tableau de variations

x	$-\infty$ $0$ $+\infty$
f	$\|$ $\searrow$ $\|$ $\searrow$ $\|$

Représentation graphique

Début d’un théorème

Théorème

• La représentation graphique de la fonction inverse est une courbe appelée hyperbole.
• Cette courbe est symétrique par rapport à l'origine O.
• Elle possède deux asymptotes :

- l'une horizontale : l'axe des abscisses. $y=0$
- l'autre verticale : l'axe des ordonnées. $x=0$

Fin du théorème

Parité

La fonction inverse est impaire, c'est-à-dire qu'elle est définie sur un intervalle centré en $0$ et que pour tout $x$ réel différent de $0$, $f(-x)=-f(x)$.

Conséquence graphique

La courbe représentative de la fonction inverse admet l'origine du repère pour centre de symétrie.