Expressions algébriques/Exercices/Exposants rationnels

Exercice 8-1

Simplifier les expressions :

a)  $\left(x^{\frac {1}{2}}-x^{\frac {1}{4}}+1\right)\left(x^{\frac {1}{2}}+x^{\frac {1}{4}}+1\right)\left(x-x^{\frac {1}{2}}+1\right)$

b)  $\left(2^{\frac {1}{4}}a+3^{\frac {1}{4}}b\right)\left(3^{\frac {1}{4}}a-2^{\frac {1}{4}}b\right)-6^{\frac {1}{4}}\left(a^{2}-b^{2}\right)+2^{\frac {1}{2}}ab$

c)  ${\frac {x-y}{x^{\frac {3}{4}}+x^{\frac {1}{2}}y^{\frac {1}{4}}}}.{\frac {x^{\frac {1}{2}}y^{\frac {1}{4}}+x^{\frac {1}{4}}y^{\frac {1}{2}}}{x^{\frac {1}{2}}+y^{\frac {1}{2}}}}$

d)  ${\frac {x^{\frac {1}{2}}-2x^{\frac {1}{4}}+1}{x^{\frac {1}{4}}-2x^{\frac {1}{8}}+1}}$

a) Corrigé

On trouve :

$x^{2}+x+1$

 

b) Corrigé

On trouve :

$3^{\frac {1}{2}}ab$

 

c) Corrigé

On trouve :

$x^{\frac {1}{4}}y^{\frac {1}{4}}-x^{\frac {-1}{4}}y^{\frac {3}{4}}$

 

d) Corrigé

On trouve :

$\left(x^{\frac {1}{8}}+1\right)^{2}$

 

Exercice 8-2

Démontrer que le polynôme :

$P=x^{3}-a^{-{\frac {2}{3}}}b^{-1}\left(a^{2}+b^{2}\right)x+b^{\frac {1}{2}}$

s'annule si l'on remplace $x$ par $a^{\frac {2}{3}}b^{-{\frac {1}{2}}}$.

Factoriser $P$.

Solution

$\left(a^{\frac {2}{3}}b^{-{\frac {1}{2}}}\right)^{3}-a^{-{\frac {2}{3}}}b^{-1}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{\frac {2}{3}}b^{-{\frac {1}{2}}}\right)+b^{\frac {1}{2}}=a^{2}b^{-{\frac {3}{2}}}-\left(a^{2}+b^{2}\right)b^{-{\frac {3}{2}}}+b^{\frac {1}{2}}=0$.

$P=\left(x-a^{\frac {2}{3}}b^{-{\frac {1}{2}}}\right)\left(x^{2}+a^{\frac {2}{3}}b^{-{\frac {1}{2}}}x+a^{-{\frac {2}{3}}}b\right)$.

 

Exercice 8-3

Vérifier l'identité :

$\left(a^{2}+a^{\frac {4}{3}}b^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{2}}+\left(b^{2}+a^{\frac {2}{3}}b^{\frac {4}{3}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left(a^{\frac {2}{3}}+b^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}$.

Solution

Posons $x=a^{\frac {2}{3}}$ et $y=b^{\frac {2}{3}}$. On a bien

$\left(x^{3}+x^{2}y\right)^{\frac {1}{2}}+\left(y^{3}+xy^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(x+y\right)^{\frac {1}{2}}+\left(y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(y+x\right)^{\frac {1}{2}}=\left(x+y\right)^{\frac {3}{2}}$.

 

Exercice 8-4

En supposant $a>0$ et $b>0$, calculer la valeur que prend la fraction :

${\frac {a^{\frac {1}{2}}-\left[a-(a^{2}-ax)^{\frac {1}{2}}\right]^{\frac {1}{2}}}{a^{\frac {1}{2}}+\left[a-(a^{2}-ax)^{\frac {1}{2}}\right]^{\frac {1}{2}}}}$

pour :

$x=a\left[1-{\frac {16b^{2}}{(1+b)^{4}}}\right]$

Corrigé

On trouve :

Si $b<1$, la fraction est égal à $b$.

Si $b>1$, la fraction est égal à ${\frac {1}{b}}$.

 

Exercice 8-5

$p$ et $q$ étant deux nombres rationnels et ${\frac {a+b}{a-b}}$ étant positif, calculer la valeur que prend l'expression :

$P={\frac {1}{2}}.{\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\left(x^{\frac {1}{p}}+x^{\frac {1}{q}}\right)$

pour :

$x=\left({\frac {a+b}{a-b}}\right)^{\frac {2pq}{q-p}}$

Corrigé

On trouve :

$\left({\frac {a+b}{a-b}}\right)^{\frac {q+p}{q-p}}$

 

Exercice 8-6

En supposant $p>0,\,q>0,\,pq>1,$ simplifier l'expression :

${\frac {\left(p^{2}-{\frac {1}{q^{2}}}\right)^{p}\left(p-{\frac {1}{q}}\right)^{q-p}}{\left(q^{2}-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{q}\left(q+{\frac {1}{p}}\right)^{p-q}}}$

Corrigé

On trouve :

$\left({\frac {p}{q}}\right)^{p+q}$

 

Exercice 8-7

Simplifier les fractions :

a)  ${\frac {a^{2}-a^{\frac {3}{2}}x^{\frac {1}{2}}-2a^{\frac {1}{2}}x^{\frac {1}{4}}+2x^{\frac {3}{4}}}{a^{\frac {1}{2}}-x^{\frac {1}{2}}}}$

b)  ${\frac {x^{\frac {5}{3}}-x^{\frac {4}{3}}y^{\frac {1}{3}}-xy^{\frac {2}{3}}+x^{\frac {2}{3}}y}{x^{\frac {5}{3}}-2xy^{\frac {2}{3}}+x^{\frac {1}{3}}y^{\frac {4}{3}}}}$

c)  ${\frac {a-x+4a^{\frac {1}{4}}x^{\frac {3}{4}}-4a^{\frac {1}{2}}x^{\frac {1}{2}}}{a^{\frac {1}{2}}+2a^{\frac {1}{4}}x^{\frac {1}{4}}-x^{\frac {1}{2}}}}$

d)  ${\frac {x^{\frac {2}{3}}+2x^{\frac {1}{3}}-16x^{-{\frac {2}{3}}}-32x^{-1}}{x^{\frac {1}{6}}+4x^{-{\frac {1}{6}}}+4x^{-{\frac {1}{2}}}}}$

e)  ${\frac {1+x-{\frac {3}{2}}x^{\frac {1}{3}}\left(1+x^{\frac {1}{2}}\right)+x^{\frac {1}{2}}\left(2+{\frac {9}{16}}x^{\frac {1}{6}}\right)}{1-{\frac {3}{4}}x^{\frac {1}{3}}+x^{\frac {1}{2}}}}$

a) Corrigé

On trouve :

$a^{\frac {3}{2}}-2x^{\frac {1}{4}}$

 

b) Corrigé

On trouve :

${\frac {x^{\frac {1}{3}}}{x^{\frac {1}{3}}+y^{\frac {1}{3}}}}$

 

c) Corrigé

On trouve :

$\left(x^{\frac {1}{4}}-a^{\frac {1}{4}}\right)^{2}$

 

d) Corrigé

On trouve :

$\left(x^{\frac {1}{3}}-2\right)\left(x^{\frac {2}{3}}+4\right)x^{-{\frac {1}{2}}}$

 

e) Corrigé

On trouve :

$x^{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}}x^{\frac {1}{3}}+1$