Espace préhilbertien complexe/Formes hermitiennes

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Dans tout ce cours, E est un $\mathbb {C}$-espace vectoriel.

Définitions

Sesquilinéarité

Soit $f:E^{2}\to \mathbb {C}$.

• ƒ est dite linéaire à droite si $\forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(x,\lambda y+z)=\lambda f(x,y)+f(x,z)$
• ƒ est dite semi-linéaire à gauche si $\forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(\lambda x+y,z)={\bar {\lambda }}f(x,z)+f(y,z)$

Si ƒ est linéaire à droite et semi-linéaire à gauche, on dit que ƒ est une forme sesquilinéaire.

Symétrie hermitienne

Soit $f:E^{2}\to \mathbb {C}$

On dit que ƒ est à symétrie hermitienne si $\forall (x,y)\in E^{2}\quad f(y,x)={\overline {f(x,y)}}$.

Forme hermitienne

Une forme hermitienne est une forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne.

Soit ƒ une forme hermitienne sur E.

On définit l’application $q:E\to \mathbb {R}$ par

$q(x)=f(x,x)$.

q est appelée forme quadratique (hermitienne) associée à ƒ.

ƒ est appelée forme polaire associée à q.

Début de l'exemple

Exemple

${\begin{array}{ccccl}f&:&\mathbb {C} [X]^{2}&\to &\mathbb {C} \\~&~&(P,Q)&\mapsto &{\overline {P(0)}}Q(1)+{\overline {P(1)}}Q(0)\end{array}}$

ƒ est une forme hermitienne.

Sa forme quadratique associée est :

${\begin{array}{ccccl}q&:&\mathbb {C} [X]&\to &\mathbb {C} \\~&~&P&\mapsto &2\Re ({\overline {P(0)}}P(1))\end{array}}$.

Fin de l'exemple

Propriétés

Début d’un théorème

Formules de polarisation

$\forall (x,y)\in E^{2}$ :

• $q(x+y)=q(x)+q(y)+2\Re (f(x,y))$
• $q(x-y)=q(x)+q(y)-2\Re (f(x,y))$
• $q(x+iy)=q(x)+q(y)-2\Im (f(x,y))$
• $q(x-iy)=q(x)+q(y)+2\Im (f(x,y))$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Identités du parallélogramme

$\forall (x,y)\in E^{2}$ :

$q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y))$

$f(x,y)={\frac {1}{2}}\left[q(x+y)-q(x)-q(y)\right]+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\left[q(x)+q(y)-q(x+y)\right]$

$f(x,y)={\frac {1}{4}}\left[q(x+y)-q(x-y)\right]+{\frac {\mathrm {i} }{4}}\left[q(x-\mathrm {i} y)-q(x+\mathrm {i} y)\right]$.

Fin du théorème

Espaces des applications

On notera (ponctuellement) dans cette section :

• ${\mathcal {H}}(E)$ l’ensemble des formes hermitiennes sur E.
• ${\mathcal {QH}}(E)$ l’ensemble des formes quadratiques associées.

Propriété

• ${\mathcal {H}}(E)$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel.
• ${\mathcal {QH}}(E)$ est donc un $\mathbb {R}$-espace vectoriel.

${\mathcal {H}}(E)$ n'est pas un espace vectoriel sur $\mathbb {C}$ (sauf bien sûr si E est l'espace nul).

En effet, soient $f$ une forme hermitienne non nulle sur E et $(x,y)\in E^{2}$ tel que $f(x,y)\neq 0$. On pose $g=\mathrm {i} f$.

Alors, $g(y,x)=\mathrm {i} f(y,x)=\mathrm {i} {\overline {f(x,y)}}$,

tandis que ${\overline {g(x,y)}}={\overline {\mathrm {i} f(x,y)}}=-\mathrm {i} {\overline {f(x,y)}}$.

Donc g n’est pas à symétrie hermitienne.

Début d’un théorème

Théorème

La surjection $\mathbb {R}$-linéaire

${\begin{array}{ccc}{\mathcal {H}}(E)&\rightarrow &{\mathcal {QH}}(E)\\f&\mapsto &q\end{array}}$

est injective (donc bijective).

Fin du théorème

Cette injectivité justifie l'appellation de forme polaire associée à une forme quadratique hermitienne.