Dynamique des fluides parfaits/Exercices/Canal d'irrigation

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**Canal d'irrigation**
Leçon : Dynamique des fluides parfaits

Exercice 2

Cet exercice est de niveau 14.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Canal d'irrigation
Dynamique des fluides parfaits/Exercices/Canal d'irrigation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Solution

1. Calcul de $l \,$

On a une conservation de la masse, donc une conservation du débit volumique car le fluide est incompressible. On a donc : $v_1 A_1 = v_2 A_2 \,$ avec $v_1, v_2 \,$ vitesse aux points 1 et 2 respectivement, et $A_1 et A_2 \,$ aire des section aux points 1 et 2.

Soit $L \,$ la longueur du canal, on a donc :

$v_1 Lh = v_2 l L \,$ et $l= {h v_1 \over v_2} \,$

Il faut determiner $v 2$ , pour cela on utilise la formule de Bernouilli sur une ligne de courant au fond du canal. On a alors :

$P_f + \rho g h + { 1\over 2} \rho v_1 ^2 = P_f + \rho g l + { 1 \over 2} \rho v_2^2$

Avec $P f$ pression au fond du canal.

On a donc :

$v_2^2 = 2g(h-l) + v_1^2$

On a donc le système suivant a résoudre :

$\begin{cases} v_1h=v_2l \\ v_2^2=2g(h-l) + v_1^2 \end{cases}$

$\begin{cases} v_1h=v_2l \\ v_2 = v_1 {h \over l } \end{cases}$

$\begin{cases} v_1^2 {h \over l } ^2 = 2g ( h-l ) - v_1^2 \\ v_2 = v_1 {h \over l } \end{cases}$

$v_1^2 (h^2 - l^2) = 2g ( h-l) l^2$

$v_1^2 (h + l) = 2 g l^2$

$2gl^2 - v_1^2l - v_1^2 h = 0$

$l = { v_1^2 \pm \sqrt {v_1 ^4 + 8g v_1^2h} \over 4g }$

Et $l>0 \rightarrow$

$l = {v_1^2 + \sqrt { v_1^2 ( v_1^2 + 8gh )} \over 4g }$

$l = { v_1^2 + v_1 \sqrt {v_1^2 + 8gh } \over 4g }$

En application numérique, on trouve :

$l = 22,9 cm \,$ et $v_2 = 3,49 ms^{-1} \,$

2. On représente sur le schéma suivant la force exercée par la vanne sur le fluide, ainsi que les autres forces environnante ( pour le bilan de force) :

On projète alors sur l’axe x de l’équation d’Euler :