Complexes et géométrie/Exercices/Suite de points

Exercice 8-1

Dans le plan complexe $P$ muni d'un repère orthonormal $(O;{\vec {e_{1}}},\,{\vec {e_{2}}})$, l'unité graphique étant 4 cm, on définit l'application $f$ qui au point d'affixe $z$ associe le point d'affixe

$z'=-\mathrm {j} z+\mathrm {i}$, où $\mathrm {j} =\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2\pi }{3}}}$.

1°  Montrez que $f$ admet exactement un point invariant $\Omega$, dont vous donnerez l’affixe. Caractérisez géométriquement $f$.

2°  On définit dans $P$ la suite $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ par :

${\begin{cases}M_{0}=0\\\forall n\in \mathbb {N} \quad M_{n+1}=f(M_{n})\end{cases}}$

a)  Construisez $\Omega$, $M_{0}$, $M_{1}$ et $M_{2}$.

b)  Pour tout entier $n$, on note $z_{n}$ l'affixe de $M_{n}$ et l'on pose :

$Z_{n}=z_{n}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{6}}}$.

Déterminez un nombre complexe $a$ tel que, pour tout entier $n$, $Z_{n+1}=aZ_{n}$.

Mettez $a$ sous forme trigonométrique et déterminez un entier $p$ strictement positif tel que $a^{p}=1$.

c)  Calculez $Z_{n}$ puis $z_{n}$ en fonction de $n$. Calculez $z_{2017}$ et placez $M_{2017}$ sur le dessin.

Solution

1°  $f$ est la rotation d'angle $\arg(-\mathrm {j} )={\frac {2\pi }{3}}-\pi =-{\frac {\pi }{3}}$ et de centre le point $\Omega$ d'affixe $\omega :={\frac {\mathrm {i} }{1+\mathrm {j} }}={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}}}{\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{3}}}}}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{6}}}$.

2°  a)  

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b)  D'après la question 1, $a=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{3}}}$. Donc $a^{6}=1$.

c)  $Z_{n}=a^{n}Z_{0}=-\omega \operatorname {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {n\pi }{3}}}=-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \left({\frac {\pi }{6}}-{\frac {n\pi }{3}}\right)}$ donc

$z_{n}=\omega +Z_{n}=\omega \left(1-a^{n}\right)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{6}}}-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \left({\frac {\pi }{6}}-{\frac {n\pi }{3}}\right)}$

$2017\equiv 1{\bmod {6}}$ donc $z_{2017}=z_{1}=\mathrm {i}$ et $M_{2017}=M_{1}$.

 

Exercice 8-2

Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$.

1°  Soit $T$ la transformation du plan qui, à tout point d'affixe $z$, associe le point d'affixe $z'={\frac {1}{2}}{\bar {z}}$

a)  Montrez que $T$ est la composée de deux transformations simples (une homothétie $h$ et une réflexion $s$) que l'on précisera.

b)  Quelle est la nature de $T\circ T$ ?

2°  On considère la suite de points $(M_{n})$ d'affixes respectives $(z_{n})$ où : ${\begin{cases}z_{0}=1+\mathrm {i} \\\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad z_{n}={\frac {1}{2}}{\overline {z_{n-1}}}.\end{cases}}$

a)  Faites une figure (unité 4 cm), et placez-y $M_{0}$, $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$.

b)  Exprimez, en fonction de $n$, $z_{n}$ et les coordonnées $(x_{n},y_{n})$ du point $M_{n}$.

c)  Calculez $\lim _{n\to \infty }|z_{n}|$. Le point $M_{n}$ a-t-il une position limite quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Solution

1°  a)  $T=h\circ s=s\circ h$ où $h$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport ${\frac {1}{2}}$ et $s$ est la réflexion par rapport à l'axe des abscisses.

b)  $T\circ T=h\circ s^{2}\circ h=h\circ \mathrm {id} _{P}\circ h=h^{2}$ est l'homothétie de rapport ${\frac {1}{4}}$.

2°  a)  

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b)  Si $n$ est pair, $T^{n}=h^{n}$ d'après la question 1°b donc $z_{n}={\frac {1+\mathrm {i} }{2^{n}}}$ et $(x_{n},y_{n})={\frac {1}{2^{n}}}(1,1)$. Donc si $n$ est impair alors $T^{n}=h^{n-1}\circ T$, $z_{n}={\frac {1-\mathrm {i} }{2^{n}}}$ et $(x_{n},y_{n})={\frac {1}{2^{n}}}(1,-1)$.

c)  $|z_{n}|\to 0$ donc $M_{n}\to O$.

 

Exercice 8-3

On considère, dans le plan complexe, les $n$ points $A_{k}$, d'affixe $z_{k}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2k\pi }{n}}}\quad (1\leqslant k\leqslant n)$.

1°  Exprimez $z_{k}$ en fonction de $z_{1}$, pour tout entier $k$.

2°  Déterminez l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

$\left\|\sum _{k=1}^{n}{\overrightarrow {MA_{k}}}\right\|=n$.

3°  Déterminez l’ensemble des points $M$ du plan tels que :

$\sum _{k=1}^{n}{MA_{k}}^{2}=2n$.

Solution

1°  $z_{k}={z_{1}}^{k}$.

2°  $\sum _{k=1}^{n}z_{k}=z_{1}{\frac {1-{z_{1}}^{n}}{1-z_{1}}}=z_{1}{\frac {0}{1-z_{1}}}=0$ donc

$\sum _{k=1}^{n}\left(z_{k}-z\right)=-nz$

et l'ensemble cherché est le cercle unité.

3°  $\left|z_{k}-z\right|^{2}=1+\left|z\right|^{2}-2\operatorname {Re} \left({\overline {z_{k}}}z\right)$ donc

$\sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}-z\right|^{2}=n\left(1+|z|^{2}\right)-2\operatorname {Re} \left({\bar {0}}z\right)=n\left(1+|z|^{2}\right)$

et l'ensemble des solutions est, à nouveau, le cercle unité.