Complexes et géométrie/Utilisation des complexes en géométrie

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Écriture complexe d’une transformation géométrique

Une transformation F du plan transforme chaque point M en son image M'.

Aux points M et M', on associe respectivement leurs affixes $z$ et $z'$.

L'écriture complexe de la transformation F est

$z'=f(z)$

où $f$ est la fonction $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ qui à $z$ associe $z'$.

Écriture complexe d’une translation

Propriété

L'écriture complexe d’une translation de vecteur ${\overrightarrow {u}}$ est :

$z'=z+b$

où $b$ est l'affixe du vecteur ${\overrightarrow {u}}.$

Démonstration

Soient $M$ d'affixe $z$ et $M'$, d'affixe $z'$, son image par la translation de vecteur $u$. Alors, le vecteur ${\overrightarrow {MM'}}$ est égal à ${\overrightarrow {u}}$, d'affixe $b$.

D'autre part, d'après les propriétés géométriques des nombres complexes, l'affixe de ${\overrightarrow {MM'}}$ est $z'-z$.

On a donc bien $z'-z=b$.

 

Début de l'exemple

Exemple

Déterminer l'affixe de l’image $B$ du point $A$ d'affixe $z_{A}=-1+2\mathrm {i}$ par la translation de vecteur ${\overrightarrow {u}}{\binom {3}{-1}}$.

Solution

L'affixe du point $B$ est $z_{B}=z_{A}+3-\mathrm {i} =-1+2\mathrm {i} +3-\mathrm {i} =2+\mathrm {i}$.

 

Fin de l'exemple

Écriture complexe d’une rotation

Propriété

L'écriture complexe d’une rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ est :

$z'=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }(z-\omega )+\omega$.

Démonstration

Soient $M\neq \Omega$ et $M'$ son image par la rotation de centre Ω et d'angle θ, caractérisée par :

• $\|{\overrightarrow {\Omega M'}}\|=\|{\overrightarrow {\Omega M}}\|$ ;
• $\left({\overrightarrow {\Omega M}},{\overrightarrow {\Omega M'}}\right)=\theta$.

Si $M,M'$ ont pour affixes $z,z'$, ces deux équations se traduisent par :

• $\left|{\frac {z'-\omega }{z-\omega }}\right|=1$ ;
• $\arg \left({\frac {z'-\omega }{z-\omega }}\right)=\theta$.

Avec l'écriture exponentielle, on a donc bien : ${\frac {z'-\omega }{z-\omega }}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$.

 

Début de l'exemple

Exemple

Déterminer l'affixe $z_{B}$ de l'image du point $A$, d'affixe $z_{A}=1+2\mathrm {i}$, par la rotation :

• d'angle ${\frac {2\pi }{3}}$ et
• de centre le point d'affixe $\omega =-1+\mathrm {i}$.

Solution

${\begin{aligned}z_{B}&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi /3}(z_{A}-\omega )+\omega \\&={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}(1+2\mathrm {i} +1-\mathrm {i} )-1+\mathrm {i} \\&={\frac {(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})(2+\mathrm {i} )-2+2\mathrm {i} }{2}}\\&={\frac {-2+2\mathrm {i} {\sqrt {3}}-\mathrm {i} -{\sqrt {3}}-2+2\mathrm {i} }{2}}\\&=\left({\frac {-4-{\sqrt {3}}}{2}}\right)+\mathrm {i} \left({\frac {1+2{\sqrt {3}}}{2}}\right).\end{aligned}}$

 

Fin de l'exemple

Écriture complexe d’une homothétie

Propriété

L'écriture complexe d’une homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport $k$ est :

$z'=k\left(z-\omega \right)+\omega$.

Démonstration

Soient $M$ d'affixe $z$ et $M'$, d'affixe $z'$, son image par cette homothétie. Alors, ${\overrightarrow {\Omega M'}}=k{\overrightarrow {\Omega M}}$.

Or l'affixe de ${\overrightarrow {\Omega M'}}$ est $z'-\omega$ et celle de $k{\overrightarrow {\Omega M}}$ est $k\left(z-\omega \right)$.

On a donc bien $z'-\omega =k\left(z-\omega \right)$.

 

Début de l'exemple

Exemple

Déterminer l'affixe $z_{B}$ de l'image du point $A$, d'affixe $z_{A}=-\mathrm {i}$, par l'homothétie :

• de centre d'affixe $\omega =-2-3\mathrm {i}$ et
• de rapport $5$.

Solution

${\begin{aligned}z_{B}&=5(z_{A}-\omega )+\omega \\&=5(-\mathrm {i} +2+3\mathrm {i} )-2-3\mathrm {i} \\&=5(2+2\mathrm {i} )-2-3\mathrm {i} \\&=10+10\mathrm {i} -2-3\mathrm {i} \\&=8+7\mathrm {i} .\end{aligned}}$

 

Fin de l'exemple

Écriture complexe d’une similitude plane directe

Les translations sont des similitudes planes directes particulières : elles n'ont pas de centre.

Toute similitude plane directe à centre est la composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre.

La formule générale d’une similitude plane directe est donc : $z'=az+b$ avec $a,b\in \mathbb {C}$.

Écriture complexe d’une similitude plane indirecte

L'étude des similitudes planes quelconques dépasse le niveau de cette leçon. Signalons seulement que la formule générale d’une similitude plane indirecte est $z'=a{\bar {z}}+b$ avec $a,b\in \mathbb {C}$.