Calcul avec les nombres complexes/Écriture exponentielle et trigonométrique

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Écriture exponentielle et trigonométrique
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Chapitre no7
Leçon : Calcul avec les nombres complexes
Chap. préc. : Module et argument
Chap. suiv. : Équations
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Comme nous l'avions dit lors de la définition cartésienne des complexes, il existe une seconde forme d'écriture des complexes.

L'écriture exponentielle d'un nombre complexe permet d'extraire du premier coup d’œil son module et son argument, et permet aussi de mémoriser plus aisément les propriétés vues dans le chapitre précédent sur les modules et les arguments.

Notation exponentielle[modifier | modifier le wikitexte]

Formule d'Euler[modifier | modifier le wikitexte]


Les valeurs particulières, qui sont les intersections du cercle trigonométrique avec les axes des réels et des imaginaires, sont :

  • e^{i0} = e^0 = 1,
  • e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1,
  • e^{i(\pi/2)} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i,
  • e^{i(-\pi/2)} = \cos(-\pi/2) + i\sin(-\pi/2) = -i.


Valeurs particulières du cercle trigonométrique

Écriture exponentielle[modifier | modifier le wikitexte]

Pour tout nombre complexe z non nul, de module r et d'argument principal \theta, on a : z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta)) = r(e^{i\theta}).



Si z est nul, il s'écrit comme d'habitude : z = 0.

Reconnaître un nombre complexe sous sa forme exponentielle[modifier | modifier le wikitexte]


Conjugué[modifier | modifier le wikitexte]



Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Le conjugué d'un nombre complexe.

Exemple[modifier | modifier le wikitexte]

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Propriétés des arguments et des modules[modifier | modifier le wikitexte]

Soit z et z' deux nombres complexes non nuls sous la forme exponentielle : z = re^{i\theta} et z' = r'e^{i\theta'} avec r > 0 et r' > 0.

Nous allons maintenant revoir toutes les propriétés des arguments et des modules du chapitre précédent, qui seront maintenant plus faciles à comprendre et à se souvenir grâce à la notation exponentielle.

Produit[modifier | modifier le wikitexte]



Produit de deux nombres complexes dans le cas général.



Carré d'un nombre complexe.



Opposé d'un nombre complexe.

Inverse et division[modifier | modifier le wikitexte]


Inverse d'un nombre complexe.


Division de deux nombres complexes.

Puissance[modifier | modifier le wikitexte]

Soit n \in \Z.

  • Si n \ge 0 :

z^n = (re^{i\theta})^n = r^n (e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}.

  • Si n < 0, alors -n > 0, d'où avec la propriété précédente z^{-n} = r^{-n} e^{i(-n)\theta}, et on a :

z^{-n} = \frac{1}{z^n} \Leftrightarrow z^n = \frac{1}{z^{-n}} = \frac{1}{r^{-n} e^{i(-n)\theta}} = \frac{1}{r^{-n}} e^{-(i(-n)\theta)} = r^n e^{in\theta} car z^n \ne 0 et z^{-n} \ne 0 .



Les 10 premières puissances d'un nombre complexe.
Ici le module tend vers 0 car le complexe en question se trouve à l'intérieur du cercle trigonométrique.
S'il avait été à l’extérieur, le module aurait tendu vers l'infini.

Exemples[modifier | modifier le wikitexte]

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Calculer le cosinus et le sinus d'un angle[modifier | modifier le wikitexte]

On peut aussi utiliser ces propriétés pour calculer exactement un cosinus ou un sinus d'un angle \theta.
Pour cela, il suffit juste de connaître deux angles a et b dont leur somme est égale à \theta, et de connaître leurs cosinus et sinus.

Voici ensuite la démarche à suivre :

  • On a a + b = \theta et on connaît cos(a), sin(a), cos(b) et sin(b).
  • Pour simplifier, on prend un module de 1 (les points sont sur le cercle trigonométrique).
  • Formule d'Euler : e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta).
  • e^{i\theta} = e^{i(a + b)} = e^{ia}e^{ib} = (\cos(a) + i\sin(a))(\cos(b) + i\sin(b)).
  • Trouver les valeurs algébriques (cartésiennes) des deux nombres complexes qui correspondent à un module de 1 et à un argument respectivement de a et de b :
    \cos(a) + i\sin(a) = x + iy et \cos(b) + i\sin(b) = x' + iy'. La réussite de l'exercice dépend de cette étape.
  • Multiplier ces deux nombres complexes sous leur forme algébrique : e^{ia}e^{ib} = (x + iy)(x' + iy') = xx' - yy' + i(x'y + xy').
  • e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) = e^{ia}e^{ib} = xx' - yy' + i(x'y + xy').
  • On identifie, en séparant les parties réelles et imaginaires :
    \cos(\theta) = xx' - yy' et \sin(\theta) = x'y + xy'.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Ce qui nous amène à traiter le cas général : les formules d'addition des cosinus et des sinus.

Formules d'addition des cosinus et sinus[modifier | modifier le wikitexte]


Ce résultat est à mettre en relation avec le produit de deux nombres complexes : (x_1+iy_1)(x_2+iy_2) = x_1x_2 + x_1iy_2 + iy_1x_2 + i^2y_1y_2 = x_1x_2 - y_1y_2 + i(x_1y_2 + x_2y_1). On peut ainsi se souvenir des formules d'addition en remplaçant les x par des cos, les y par des sin, et bien sûr avec i^2 = -1 !


Cette méthode permet aussi de retrouver par exemple cos(a+b+c) ou encore sin(-a-b+c+d+e-f), en développant des formules plus compliquées.



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