Combinatoire/Permutations sans répétition

Avant de commencer...

• L'exercice 3.1 (que l’on trouve sur cette page) vous permettra de préparer ce chapitre via un exercice introductif.
• Il est important de comprendre les arrangements sans répétition et d’avoir fait une partie des exercices associés.

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Ce chapitre sera particulièrement simple. Nous allons étudier les permutations sans répétition, qui correspondent en fait aux différentes manières de classer des objets. Il s'agit en fait d'un cas particulièrement simple des arrangements sans répétition. Pour cette raison, le chapitre sera court.

Définition

Les problèmes de permutations peuvent s'énoncer simplement ainsi :

« Soit n objets. Combien y a-t-il de moyens de les classer ? »

Par exemple :

• « Si 8 athlètes participent à une course, combien existe-t-il de classements possibles ? »
• « Si je veux ranger cinq livres, combien d'ordres différents existe-t-il ? »
• « Combien existe-t-il d'anagrammes du mot “ MATH ” ? »

Résolution

Reprenons par exemple nos cinq chevaux : Alpha, Bêta, Gamma, Delta et Oméga. Dans l'un des chapitres précédents, nous avons étudié le choix des deux premiers et nous en avons conclu qu’il y avait 5×4 possibilités. Classer les cinq chevaux équivaut à choisir les cinq premiers et relève de la même logique : on a alors 5×4×3×2×1 = 120 possibilités.

Les permutations sans répétition sont très liées aux arrangements sans répétition. On peut voir facilement que classer n objets signifie faire successivement n choix parmi ces n objets, ce qui correspond à la définition d'un arrangement sans répétition où k = n.

Début d’un théorème

Formule des permutations sans répétition

Pour tout n ∈ ℕ, si l'on désigne par $P_{n}$ le nombre de manières de classer n objets, on a :

$P_{n}=A_{n}^{n}={\frac {n!}{(n-n)!}}=n!$.

C'est aussi le nombre de bijections de E dans F, pour n'importe quels ensembles E et F à n éléments.

Fin du théorème

N.B. Ce nombre s'exprime si simplement qu'il ne nécessite pas de notation dédiée. La notation $P_{n}$ introduite ci-dessus est spécifique à cette leçon de Wikiversité.