Cinématique des fluides/Classification des écoulements

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Écoulement plan

Un écoulement est dit plan lorsque la vitesse de toutes les particules est parallèle à un plan fixe pour tout instant $t$. Un écoulement d'eau de pluie sur un toit peut être considéré comme un écoulement plan.

Écoulement unidirectionnel

Un écoulement est dit unidirectionnel si la vitesse de toutes les particules de fluide est parallèle à une direction fixe pour tout instant $t$. Un écoulement dans un tuyau droit peut être considéré comme un écoulement unidirectionnel.

Écoulement bidimensionnel

Un écoulement est dit bidimensionnel s'il admet un plan de symétrie. Pour pouvoir l'assimiler à un écoulement plan, il faut que les dérivées des grandeurs caractéristiques soient nulles dans les directions perpendiculaires au plan de symétrie.

Écoulement monodimensionnel

Un écoulement est dit unidimensionnel s'il peut être rapporté à une abscisse curviligne le long de laquelle s'effectue l'écoulement. Les composantes de la vitesse dans un plan orthogonal à l’abscisse curviligne doivent être nulles.

Écoulement uniforme

Un écoulement est dit uniforme si les vitesses de toutes les particules sont les mêmes en tout point du fluide : elles ne dépendent pas de leur position.

Écoulement permanent / Écoulement transitoire

Un écoulement est dit permanent, stationnaire ou établi lorsque les champs scalaires et vectoriels de masse volumique, de vitesse, de température, etc. sont constants dans le temps.

Dans le cadre de la description eulérienne utilisée dans ce qui suit, la dérivée partielle par rapport au temps des variables eulériennes est nulle : ${\frac {\partial }{\partial t}}=0$.

On montrera que dans un écoulement permanent, il y a conservation du débit massique dans un tube de courant : $q_{m}=\mathrm {cte}$.

Par opposition l'écoulement transitoire désigne un écoulement dont les propriétés varient dans le temps. Par exemple, quand on ouvre un robinet, l'écoulement n’est pas instantanément stable.

Écoulement irrotationnel / Écoulement rotationnel

Vidéo d'un fluide en écoulement irrotationnel

Un écoulement est dit irrotationnel lorsque :

$\mathrm {\overrightarrow {rot}} \,{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {0}}$.

L'écriture de l'accélération d'Euler est donc simplifiée :

${\begin{alignedat}{2}{\overrightarrow {a}}\ &={\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla ({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {v}})+({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {v}}\\&={\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla ({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {v}})\\\end{alignedat}}$

La conséquence de la condition $\mathrm {\overrightarrow {rot}} {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {0}}$ est qu'il existe un potentiel $\Phi ({\overrightarrow {r}},t)$ tel que ${\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\Phi$ car selon les propriétés de opérateurs vectoriels, ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right)={\overrightarrow {0}}$. Un écoulement irrotationnel est donc un écoulement à potentiel des vitesses et inversement.

Par opposition, un écoulement est dit rotationnel lorsque le rotationnel de la vitesse est diffèrent du vecteur nul.

La vidéo de droite permet de mieux comprendre ce qu'est un écoulement irrotationnel. Un liquide repose dans un récipient circulaire. À la surface de ce liquide sont posées deux allumettes, indiquant deux directions perpendiculaires, assimilables à deux vecteurs orthogonaux. Le liquide est mis en rotation. Les allumettes vont suivre ce mouvement de rotation général. Cependant, elles restent perpendiculaires et elles ne tournent pas sur elles-mêmes.