Champ électrostatique, potentiel/Analogie avec le champ de gravitation

Une page de Wikiversité.

**Analogie avec le champ de gravitation**
Leçon : Champ électrostatique, potentiel

Chapitre 7
Chap. préc. :	Calculs classiques

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Champ électrostatique, potentiel : Analogie avec le champ de gravitation
Champ électrostatique, potentiel/Analogie avec le champ de gravitation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Grandeurs analogues

Principe de l'analogie

La force d'interaction gravitationnelle, tout comme la force d'interaction électrostatique, est une force conservative. Elles sont toutes deux gradient d'une énergie potentielle. On peut alors adapter tous les calculs de champ et de potentiel qu'on vient de faire au cas d'une distribution de masses pour calculer le champ et le potentiel gravitationnels en un point de l'espace, ainsi que le théorème de Gauss.

$\begin{array}{|c|c|} \textrm{Electrostatique} & \textrm{Gravitation}\\ \hline \displaystyle{\vec F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \vec u_r} & \displaystyle{\vec F = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \vec u_r}\\ \hline q&m\\ \vec E & \vec \mathcal G\\ \vec F = q \vec E & \vec F=m \vec{\mathcal G}\\ \displaystyle{\frac1{\varepsilon_0}} & -4 \pi G\\ \displaystyle{V=\frac{E_{pe}}q}&\displaystyle{\frac{E_p}m}\\ \displaystyle{\int \!\!\!\!\! \int _\Sigma \!\!\!\!\!\!\!\! \bigcirc \vec E(M).\overrightarrow{d^2S} = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}} & \displaystyle{\int \!\!\!\!\! \int _\Sigma \!\!\!\!\!\!\!\! \bigcirc \vec \mathcal G(M).\overrightarrow{d^2S} = -4 \pi G m_{int}}\\ \end{array}$

Voir les exercices sur : Analogie gravitationnelle.

[modifier] Exemple : Boule homogène

Boule homogène

On dispose d'une boule de centre O et de rayon R, homogène, de masse volumique $\rho~$ . Le champ gravitationnel engendré par cette boule en un point M de l'espace tel que OM=r vaut : $\begin{cases} \displaystyle{\vec \mathcal G(r) = \frac{-4G \pi \rho r}3 \vec u_r} ~\textrm{si}~ r \leq R\\ \displaystyle{\vec \mathcal G(r) = \frac{-4G \pi R^3 \rho}{3r^2} \vec u_r} ~\textrm{si}~ r \geq R \end{cases}$

Remarque : Dans le cas $r \geq R$ , le résultat est le même que si l'on disposait d'une masse ponctuelle de masse $m_{tot}=\frac43 \pi R^3 \rho$ placée en O.

Démonstration

On raisonne exactement comme pour une boule chargée électriquement : on utilise le théorème de Gauss.

Il existe deux plans orthogonaux contenant (OM) qui sont des plans de symétrie de la distribution donc $\vec \mathcal G(M) = \mathcal G(M) \vec u_r$
La distribution est invariante par toute rotation, donc $\vec \mathcal G(M) = \mathcal G(r) \vec u_r$
On choisit pour surface de Gauss une sphère $Σ$ , de cetre O et de rayon r (en vert sur le dessin). Il apparaît deux cas dans la résolution :
- Premier cas : $r \geq R$ :
  $-4 \pi G m_{int} = -4 \pi G \left (\frac43 \pi R^3 \rho \right )= \int \!\!\!\!\! \int _\Sigma \!\!\!\!\!\!\!\! \bigcirc \vec \mathcal G(M).\overrightarrow{d^2S} = \mathcal G(r)~\int \!\!\!\!\! \int _\Sigma \!\!\!\!\!\!\!\! \bigcirc \vec u_r.\overrightarrow{d^2S} = \mathcal G(r)~4 \pi r^2$
  Donc $\vec \mathcal G(r) = \frac{-4G \pi R^3 \rho}{3r^2} \vec u_r$
- Deuxième cas : $r \leq R$ :
  $-4 \pi G m_{int} = -4 \pi G \left (\frac43 \pi R^3 \rho \right ) = \int \!\!\!\!\! \int _\Sigma \!\!\!\!\!\!\!\! \bigcirc \vec \mathcal G(M).\overrightarrow{d^2S} = \mathcal G(r)~\int \!\!\!\!\! \int _\Sigma \!\!\!\!\!\!\!\! \bigcirc \vec u_r.\overrightarrow{d^2S} = \mathcal G(r)~4 \pi r^2$
  Or $m_{int} = \frac43 \pi r^3 \rho$
  Donc $\vec \mathcal G(r) = \displaystyle{\frac{-4G \pi \rho r}3 \vec u_r}$