Calcul littéral/Distributivité double

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**Distributivité double**
Leçon : Calcul littéral

Chapitre 2
Chap. préc. :	Distributivité
Chap. suiv. :	Identités remarquables

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Calcul littéral/Distributivité double », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Le calcul littéral est un des thèmes les plus difficiles de l'année de quatrième. Pourtant il est indispensable de le maîtriser pour résoudre des équations, et plus tard travailler avec des fonctions.

Sommaire

1 Réduction
2 Distributivité de la multiplication sur l'addition
3 La double distributivité

[modifier] Réduction

Réduire une expression littérale consiste à regrouper les termes en x entre eux, les termes en $x 2$ entre eux, etc…

[modifier] Ne pas confondre addition et multiplication

$x \times x = ... \,$

$x + x = ... \,$

Solution

$x \times x = x^2 \,$

$x + x = 2x \,$

[modifier] Réduire des additions

$2x + 5x = ... \,$

$-x + 3x = ... \,$

Solution

$2x + 5x = 7x \,$

$-x + 3x = 2x\,$

[modifier] Réduire des multiplications

$2 \times x \times 4 = ... \,$

$2\times x \times (-5) = ... \,$

Solution

$2 \times x \times 4 = 2 \times 4 \times x = 8 \times x = 8x \,$

$2 \times x \times (-5) = 2 \times (-5) \times x = -10 \times x = -10x \,$

[modifier] Réduire des carrés

[modifier] Simplifier

$(3x)^2 = ... \,$

$(-x)^2 = ... \,$

Solution

$(3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2 \,$ Il faut utiliser la règle : $(a \times b)^2 = a^2 \times b^2 \,$

$(-x)^2 = (-1 \times x)^2 = (-1)^2 \times x^2 = 1 \times x^2 = x^2 \,$

[modifier] On ne réduit pas des x avec des x au carré

$2 x - 7 + 3 x 2 + 5 x - 4 x 2 + 5$

Solution

On regroupe les $x 2$ entre eux, les x entre eux et les constantes entre elles.

2 x - 7 + 3 x 2 + 5 x - 4 x 2 + 5 = 3 x 2 - 4 x 2 + 2 x + 5 x - 7 + 5 = - x 2 + 7 x - 2

[modifier] Distributivité de la multiplication sur l'addition

[modifier] Exemple

Calculer séparément

$4\times(3+2)=$

$4\times3+4\times2=$

Nous voyons que le résultat 20 est le même dans les deux cas. Tout se passe comme si le 4 avait été distribué aux deux termes 3 et 2. Ceci peut être généralisé :

[modifier] Propriété

Pour tous nombres k, a et b :

$k\times (a+b)=k\times a +k\times b$ $k\times (a-b)=k\times a -k\times b$ $(a+b)\times k= a\times k +b\times k$ $(a-b)\times k= a\times k -b\times k$

Quand nous utilisons ces propriétés de la gauche vers la droite pour transformer des produits en sommes, nous disons que nous développons les expressions.

[modifier] Exemples

Développer :

$(-2)\times (3+5)=$ $2\times (3-5)=$ $(7+2)\times5=$ $(2-7)\times 3=$

Solution

$(-2)\times (3+5)=(-2)\times 3 +(-2)\times 5$ $2\times (3-5)=2\times 3 -2\times 5$ $(7+2)\times 5= 7\times 5 +2\times 5$ $(2-7)\times 3= 2\times 3 -7\times 3$

Il est intéressant dans chaque exemple de calculer les membres de gauche et de droite pour se convaincre que les résultats sont les mêmes.

[modifier] Développements en calcul littéral (avec des x)

La distributivité est surtout intéressante pour transformer des expressions littérales, leur donner une autre forme.

[modifier] Exercice : Développer puis réduire les expressions suivantes

$5\times (x+2)=$ $2\times (2x-5)=$ $(7+2x)\times3=$ $(2x-7)\times (-3)=$

Solution

$5\times (x+2)=5\times x +2\times 5=5\times x+10$ $2\times (2x-5)=2\times 2x-2\times 5=4x-10$ $(7+2x)\times3= 7\times 3+2x\times 3=21+6x$ $(2x-7)\times (-3)= 2x\times(-3)-7\times(-3)=-6x+21$

[modifier] Exercices

[modifier] La double distributivité

[modifier] Formules

$(a+b)\times(c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d$ $(a-b)\times(c+d)=a\times c+a\times d-b\times c-b\times d$ $(a+b)\times(c-d)=a\times c-a\times d+b\times c-b\times d$ $(a-b)\times(c-d)=a\times c-a\times d-b\times c+b\times d$

[modifier] Exemples

Développer : (2x+4)(3x+2)-(4x+3)(3x+4)

$(x+2)\times(x+3)=$ $(x-2)\times(5+x)=$ $(2x+3)\times(x-4)=$ $(-3x-5)\times(x-1)=$

Solution

$(x+2)\times(x+3)=x\times x+x\times 3+2\times x+2\times 3$ $(x-2)\times(5+x)=x\times 5+x\times x-2\times 5-2\times x$ $(2x+3)\times(x-4)=2x\times x-2x\times 4+3\times x-3\times 4$ $(-3x-5)\times(x-1)=-3x\times x-(-3x)\times 1-5\times x+5\times 1$

[modifier] Voir une démonstration de ces formules

[modifier] Exercices

Calcul littéral

Distributivité

Identités remarquables

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Sommaire

[modifier] Réduction

[modifier] Ne pas confondre addition et multiplication

[modifier] Réduire des additions

[modifier] Réduire des multiplications

[modifier] Réduire des carrés

[modifier] Simplifier

[modifier] On ne réduit pas des x avec des x au carré

[modifier] Distributivité de la multiplication sur l'addition

[modifier] Exemple

[modifier] Propriété

[modifier] Exemples

[modifier] Développements en calcul littéral (avec des x)

[modifier] Exercice : Développer puis réduire les expressions suivantes

[modifier] Exercices

[modifier] La double distributivité

[modifier] Formules

[modifier] Exemples

[modifier] Voir une démonstration de ces formules

[modifier] Exercices

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