Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes

Exercice 8-1

Soit $f$ l'application de $\mathbb {C}$ dans $\mathbb {C}$ définie par :

$\forall z\in \mathbb {C} \qquad f(z)={\frac {1}{2}}z+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\bar {z}}$.

1°  Précisez l'application $f\circ f$ et déterminez les deux ensembles suivants :

$I_{f}=\{z\in \mathbb {C} \mid f(z)=z\}\quad {\text{et}}\quad N_{f}=\{z\in \mathbb {C} \mid f(z)=0\}$.

2°  Soit ${\mathcal {P}}$ le plan rapporté au repère orthonormal $(O;\,{\vec {u}},\,{\vec {v}})$.

À chaque nombre complexe on associe son point image dans ${\mathcal {P}}$.

Soit $F$ l’application de ${\mathcal {P}}$ dans ${\mathcal {P}}$ qui, au point $M$ image de $z$, associe le point $M'$ d'affixe $f(z)$.

a)  Précisez $F\circ F$ et déterminez les deux ensembles suivants :

${\mathcal {D}}=\{M\in {\mathcal {P}}\mid F(M)=M\}\quad {\text{et}}\quad \Delta =\{M\in {\mathcal {P}}\mid F(M)=O\}$.

b)  Démontrez que pour tout point $M$ de ${\mathcal {P}}$, le point $F(M)$ appartient à ${\mathcal {D}}$ et que pour tout point $M$ de ${\mathcal {P}}$ n'appartenant pas à ${\mathcal {D}}$, la droite $\left(M,F(M)\right)$ est parallèle à $\Delta$.

En déduire la nature de $F$.

Solution

1°  $f\circ f\left(z\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {z+\mathrm {i} {\bar {z}}}{2}}\right)+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\left({\overline {\frac {z+\mathrm {i} {\bar {z}}}{2}}}\right)={\frac {z+\mathrm {i} {\bar {z}}}{4}}+{\frac {\mathrm {i} \left({\bar {z}}-\mathrm {i} z\right)}{4}}={\frac {z+\mathrm {i} {\bar {z}}}{2}}=f(z)$.
$z\in I_{f}\Leftrightarrow {\frac {z+\mathrm {i} {\bar {z}}}{2}}=z\Leftrightarrow \mathrm {i} {\bar {z}}=z$, or $\mathrm {i} \left(x-\mathrm {i} y\right)=y+\mathrm {i} x$. Donc $I_{f}=\{x+\mathrm {i} x\mid x\in \mathbb {R} \}=\mathbb {R} \left(1+\mathrm {i} \right)$.
$z\in N_{f}\Leftrightarrow {\frac {z+\mathrm {i} {\bar {z}}}{2}}=0\Leftrightarrow \mathrm {i} {\bar {z}}=-z$. Donc $N_{f}=\mathbb {R} \left(1-\mathrm {i} \right)$.

2°  a)  $F\circ F=F$, $D$ est la droite d'équation $y=x$ et $\Delta$ est la droite d'équation $y=-x$.

b)  $F(M)\in {\mathcal {D}}$ car $F\left(F(M)\right)=F(M)$.

Si $M$ a pour coordonnées $\left(x,y\right)$, le vecteur ${\overrightarrow {MF(M)}}$ a pour affixe ${\frac {z+\mathrm {i} {\bar {z}}}{2}}-z={\frac {\mathrm {i} {\bar {z}}-z}{2}}={\frac {y+\mathrm {i} x-\left(x+\mathrm {i} y\right)}{2}}={\frac {y-x}{2}}\left(1-\mathrm {i} \right)$ donc si $M\notin {\mathcal {D}}$, ce vecteur est non nul et parallèle à $\Delta$.

$F$ est donc la projection sur $D$ parallèlement à $\Delta$, autrement dit (puisque $\Delta \perp D$) la projection orthogonale sur $D$.

 

Exercice 8-2

Soit $f$ l'application de $\mathbb {C}$ dans $\mathbb {C}$ qui à tout nombre complexe associe le cube de son conjugué :

$f(z)={\bar {z}}^{3}$.

1°  Quel est l’ensemble des nombres $z$ tel que $f(z)={\bar {z}}$ ?

2°  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal $(O;\,{\vec {u}},\,{\vec {v}})$ on désigne par M et M' les points d'affixes respectives $z$ et $f(z)$.

a)  Quel est l'ensemble des points M tel que le triangle MOM' soit rectangle en O ?

b)  Quel est l'ensemble des points M tels que M, O et M' soient alignés ?

3°  Déterminez l'ensemble des nombres complexes images par $f$ des nombres complexes de module $1$.

4°  Déterminez et représentez dans le plan complexe les points M, d'affixe $z$ telle que $f(z)=\mathrm {i}$.

Solution

1°  Les solutions de $f(z)={\bar {z}}$, c'est-à-dire de $z^{3}=z$, sont $0$, $1$ et $-1$.

2°  a)  Si $r>0$ et $\theta \in \left[-\pi ,\pi \right[$ sont le module et l'argument de $z$, ${\frac {f(z)}{z}}={\frac {r^{3}\operatorname {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }}{r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}=r^{2}\operatorname {e} ^{-4\mathrm {i} \theta }\in \mathrm {i} \mathbb {R} \Leftrightarrow -4\theta \equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {\pi }}\Leftrightarrow \theta \equiv -{\frac {\pi }{8}}{\bmod {\frac {\pi }{4}}}\Leftrightarrow \theta \in \left\{\pm {\frac {\pi }{8}},\pm {\frac {3\pi }{8}},\pm {\frac {5\pi }{8}},\pm {\frac {7\pi }{8}}\right\}$, donc MOM' est rectangle en O si et seulement si M appartient à l'une des quatre droites d'équations $y=\pm x\tan {\frac {\pi }{8}}$ et $x=\pm y\tan {\frac {\pi }{8}}$ ($\tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1$, cf. Valeurs trigonométriques exactes).

b)  De même, M, O et M' sont alignés $\Leftrightarrow {\frac {f(z)}{z}}\in \mathbb {R} \Leftrightarrow -4\theta \equiv 0{\bmod {\pi }}\Leftrightarrow \theta \equiv 0{\bmod {\frac {\pi }{4}}}\Leftrightarrow \theta \in \left\{0,\pi ,\pm {\frac {\pi }{4}},\pm {\frac {\pi }{2}},\pm {\frac {3\pi }{4}}\right\}\Leftrightarrow$ M appartient à l'une des quatre droites d'équations $y=0$, $x=0$ et $y=\pm x$.

3°  $|z|=1\Leftrightarrow |f(z)|=1$.

4°  ${\bar {z}}^{3}=\mathrm {i} \Leftrightarrow z^{3}=-\mathrm {i} \Leftrightarrow z\in \left\{\mathrm {i} ,\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /6},\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 5\pi /6}\right\}$.

 

Exercice 8-3

Soit $f$ l'application de $E=\mathbb {C} \setminus \{-\mathrm {i} \}$ dans $\mathbb {C}$ définie par :

$z\mapsto f(z)={\frac {\mathrm {i} z}{z+\mathrm {i} }}$.

Dans le plan euclidien, on note M le point d'affixe $z$.

1°  Déterminez les coordonnées du point B dont l'affixe $z_{0}$ est telle que $f(z_{0})=1+2\mathrm {i}$.

2°  Soit $z$ un élément de $E$. On note $r$ le module de $z+\mathrm {i}$ et $\alpha$ une mesure de son argument.

Exprimez la forme trigonométrique de $f(z)-\mathrm {i}$ en fonction de $r$ et de $\alpha$.

3°  Soit A le point d'affixe $-\mathrm {i}$.

a)  Déterminez :

• l'ensemble ${\mathcal {C}}$ des points M vérifiant $|f(z)-\mathrm {i} |={\sqrt {2}}$ ;
• l'ensemble ${\mathcal {D}}$ des points M tels que ${\frac {\pi }{4}}$ soit une mesure de l'argument de $f(z)-\mathrm {i}$.

b)  Montrez que B appartient à ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$ et construire ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

Solution

$f(z)=\mathrm {i} +{\frac {1}{z+\mathrm {i} }}$ donc $z={\frac {1}{f(z)-\mathrm {i} }}-\mathrm {i}$.

1°  $z_{0}={\frac {1}{1+2\mathrm {i} -\mathrm {i} }}-\mathrm {i} ={\frac {1-3\mathrm {i} }{2}}$.

2°  $f(z)-\mathrm {i} ={\frac {1}{r}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }$.

3°  a)  ${\mathcal {C}}$ est le cercle de centre A et de rayon ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$. ${\mathcal {D}}$ est la droite passant par A et de pente $-1$.

b)  $B\in {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {D}}$ car $(1+2\mathrm {i} )-\mathrm {i}$ a pour module ${\sqrt {2}}$ et pour argument ${\frac {\pi }{4}}$. Graphique Google.

 

Exercice 8-4

Soient $1$, $\mathrm {j}$ et $\mathrm {j} ^{2}$ les racines cubiques de l'unité, où $\mathrm {j} =\cos {\frac {2\pi }{3}}+\mathrm {i} \sin {\frac {2\pi }{3}}$.

1°  Soit, pour tout $z$ complexe :

$\varphi (z)=\left(z-\mathrm {j} \right)\left(z-{\bar {\mathrm {j} }}\right)$.

Vérifiez que $\varphi (z)=1+z+z^{2}$.

2°  Soit M l'image de $z$ dans le plan complexe. Déterminez et construire :

• l'ensemble $E$ des points M tels que $\varphi (z)$ soit réel ;
• l'ensemble $F$ des point M tels que $\varphi (z)$ soit imaginaire pur et le sous-ensemble de ceux tels que $\varphi (z)$ ait pour argument ${\frac {\pi }{2}}$.

3°  Déterminez $E\cap F$, en justifiant le résultat.

Solution

1. $1+z+z^{2}$ est le polynôme unitaire de racines $\mathrm {j}$ et $\mathrm {j} ^{2}$.
2. $\varphi (x+\mathrm {i} y)=1+x+x^{2}-y^{2}+\mathrm {i} y\left(2x+1\right)$ donc :
   • $E$ est la réunion des deux droites d'équations $y=0$ et $x=-{\frac {1}{2}}$.
   • $F$ est l'hyperbole d'équation $y^{2}-\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {3}{4}}$ (graphique Google). $\varphi (z)$ a pour argument ${\frac {\pi }{2}}$ pour la moitié $x+{\frac {1}{2}}>0$ de cette hyperbole.
3. $E\cap F$ est constitué des deux points d'affixes $\mathrm {j}$ et $\mathrm {j} ^{2}$, cf. question 1.

 

Exercice 8-5

Soit $f$ l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point M d'affixe $z$, associe M' d'affixe :

$z'=\left(2+{\frac {3}{2}}\mathrm {i} \right)z-{\frac {5}{2}}\mathrm {i} {\bar {z}}$.

1°  Calculez les coordonnées $\left(x',y'\right)$ de M' en fonction des coordonnées $\left(x,y\right)$ de M.

Déterminez l'ensemble des points M'.

2°  Calculez le module de $z'$ en fonction de $\left(x,y\right)$.

Déterminez et représentez l'ensemble des point M tels que $|z'|={\sqrt {5}}$.

3°  Déterminez et représentez l'ensemble des points M tels que O, M, M', soient alignés.

Solution

1. $x'=2x-4y,y'=-x+2y$. L'ensemble des points M' est donc la droite d'équation $x=-2y$.
2. $|z'|=\left|2y-x\right|\left|-2+\mathrm {i} \right|={\sqrt {5}}\left|2y-x\right|$ est égal à ${\sqrt {5}}$ si et seulement si M appartient à l'une des deux droites d'équations $2y-x=\pm 1$.
3. $z'{\bar {z}}=\left(2y-x\right)\left(-2+\mathrm {i} \right)\left(x-\mathrm {i} y\right)$ donc $\operatorname {Im} \left(z'{\bar {z}}\right)=\left(2y-x\right)\left(2y+x\right)$ est nul si et seulement si M appartient à l'une des deux droites d'équations $2y=\pm x$.