Calcul littéral/Distributivité double

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Le calcul littéral est un sujet difficile lorsqu'on n'y est pas habitué. Pourtant il est indispensable de le maîtriser pour résoudre des équations, et plus tard travailler avec des fonctions. C'est pour cela qu'il est indispensable de bien s'entraîner au début pour éviter des difficultés dans l'avenir.

Réduction

Réduire une expression littérale consiste à regrouper les termes en x entre eux, les termes en $x^{2}$ entre eux, etc.

Ne pas confondre addition et multiplication

$x\times x=...$

$x+x=...$

Solution

$x\times x=x^{2}$

$x+x=2x$

 

Réduire des additions

$2x+5x=...$

$-x+3x=...$

Solution

$2x+5x=7x$

$-x+3x=2x$

 

Réduire des multiplications

$2\times x\times 4=...$

$2\times x\times (-5)=...$

Solution

$2\times x\times 4=2\times 4\times x=8\times x=8x$

$2\times x\times (-5)=2\times (-5)\times x=-10\times x=-10x$

 

Réduire des carrés

Simplifier

$(3x)^{2}=...$

$(-x)^{2}=...$

Solution

$(3x)^{2}=3^{2}\times x^{2}=9x^{2}$ Il faut utiliser la règle : $(a\times b)^{2}=a^{2}\times b^{2}$

$(-x)^{2}=(-1\times x)^{2}=(-1)^{2}\times x^{2}=1\times x^{2}=x^{2}$

 

On ne réduit pas des x avec des x au carré

$2x-7+3x^{2}+5x-4x^{2}+5$

Solution

On regroupe les $x^{2}$ entre eux, les x entre eux et les constantes entre elles.

$2x-7+3x^{2}+5x-4x^{2}+5=3x^{2}-4x^{2}+2x+5x-7+5=-x^{2}+7x-2$

 

Distributivité de la multiplication sur l'addition

Exemple

Calculer séparément

$4\times (3+2)=$

$4\times 3+4\times 2=$

Nous voyons que le résultat 20 est le même dans les deux cas. Tout se passe comme si le 4 avait été distribué aux deux termes 3 et 2. Ceci peut être généralisé :

Propriété

Pour tous nombres k, a et b :

$k\times (a+b)=k\times a+k\times b$

$k\times (a-b)=k\times a-k\times b$

$(a+b)\times k=a\times k+b\times k$

$(a-b)\times k=a\times k-b\times k$

Quand nous utilisons ces propriétés de la gauche vers la droite pour transformer des produits en sommes, nous disons que nous développons les expressions.

Exemples

Développer :

$(-2)\times (3+5)=$

$2\times (3-5)=$

$(7+2)\times 5=$

$(2-7)\times 3=$

Solution

$(-2)\times (3+5)=(-2)\times 3+(-2)\times 5$

$2\times (3-5)=2\times 3-2\times 5$

$(7+2)\times 5=7\times 5+2\times 5$

$(2-7)\times 3=2\times 3-7\times 3$

Il est intéressant dans chaque exemple de calculer les membres de gauche et de droite pour se convaincre que les résultats sont les mêmes.

 

Développements en calcul littéral (avec des x)

La distributivité est surtout intéressante pour transformer des expressions littérales, leur donner une autre forme.

Exercice : Développer puis réduire les expressions suivantes

$5\times (x+2)=$

$2\times (2x-5)=$

$(7+2x)\times 3=$

$(2x-7)\times (-3)=$

Solution

$5\times (x+2)=5\times x+2\times 5=5\times x+10$

$2\times (2x-5)=2\times 2x-2\times 5=4x-10$

$(7+2x)\times 3=7\times 3+2x\times 3=21+6x$

$(2x-7)\times (-3)=2x\times (-3)-7\times (-3)=-6x+21$

 

La double distributivité

Formules

$(a+b)\times (c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d$

$(a-b)\times (c+d)=a\times c+a\times d-b\times c-b\times d$

$(a+b)\times (c-d)=a\times c-a\times d+b\times c-b\times d$

$(a-b)\times (c-d)=a\times c-a\times d-b\times c+b\times d$

Démonstration

Démontrons seulement la première des quatre formules (les autres se démontrent de la même façon).

$(a+b)(c+d)$ est égal à $a(c+d)+b(c+d)$,

qui est la somme de

• $a(c+d)=ac+ad$

et de

• $b(c+d)=bc+bd$.

La somme est donc bien $ac+ad+bc+bd$.

 

Exemples

Développer : $(2x+4)(3x+2)-(4x+3)(3x+4)$

---

$(x+2)\times (x+3)=$

$(x-2)\times (5+x)=$

$(2x+3)\times (x-4)=$

$(-3x-5)\times (x-1)=$

Solution

$(x+2)\times (x+3)=x\times x+x\times 3+2\times x+2\times 3$

$(x-2)\times (5+x)=x\times 5+x\times x-2\times 5-2\times x$

$(2x+3)\times (x-4)=2x\times x-2x\times 4+3\times x-3\times 4$

$(-3x-5)\times (x-1)=-3x\times x-(-3x)\times 1-5\times x+5\times 1$

 

Interprétation géométrique

	a	b
c	aire : ac	aire : bc
d	aire : ad	aire : bd

La surface d’un rectangle est égale la longueur fois la largeur, donc la surface totale du grand rectangle = (a+b)(c+d) mais c’est aussi la somme des aires des petits rectangles : ac + ad + bc + bd

Donc (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd