Barycentre/Barycentre de 2 points pondérés

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**Barycentre de 2 points pondérés**
Leçon : Barycentre

Chapitre 1
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Barycentre/Barycentre de 2 points pondérés », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Les démonstrations des résultats de cours de ce chapitre sont à savoir refaire, car les méthodes employées dans de très nombreux exercices reposent sur les mêmes manipulations. Il est vivement conseillé de chercher à refaire soi-même les démonstrations des résultats avant de dérouler les boîtes de démonstration.

Sommaire

1 Définition et localisation
- 1.1 Une notion qui vient de la physique
- 1.2 Définition
2 Construction du barycentre
3 Alignement
4 Réduction
5 Invariance par multiplication par un réel non nul
6 Isobarycentre
7 Coordonnées du barycentre

[modifier] Définition et localisation

[modifier] Une notion qui vient de la physique

Tout le monde connaît le principe du bras de levier : cela permet de déplacer une grosse pierre simplement à l'aide d'un bâton.

C'est le principe qu'on retrouve dans une balance.

Une fois n'est pas coutume, commençons par une expérience. Je sais, vous êtes devant un ordinateur, mais rassurez vous, il ne s'agit pas de prendre un tournevis pour en forcer l'ouverture en utilisant le principe du bras de levier.

Observez les différentes images ci-dessous, et indiquer à chaque fois où se trouve le point d'équilibre de la balance.

Avec les notations de la figure suivante :

On a :

Expérience	$GA$	$m\cdot {\rm GA}$	$GB$	$m\cdot {\rm GB}$
1	2	$1\times 2 = 2$	1	$2\times 1 = 2$
2	2	$4\times 3 = 2$	6	$2\times 3 = 6$
3	4	$1\times 4 = 4$	1	$4\times 1 = 4$
4	2	$4\times 2 = 8$	4	$2\times 4 = 8$
5	2	$5\times 2 = 10$	5	$2\times 5 = 10$
6	5	$3\times 5 = 15$	3	$5\times 3 = 15$

A chaque fois on a $m\cdot {\rm GA} = m'\cdot {\rm GB}$ , et comme les vecteurs $\overrightarrow{\rm GA}$ et $\overrightarrow{\rm GB}$ sont de sens opposés, on obtient $m\overrightarrow{\rm GA} = -m'\overrightarrow{\rm GB}$ .

Donc le point d'équilibre de la balance est déterminé par l'égalité vectorielle :

$m\overrightarrow{\rm GA} + m'\overrightarrow{\rm GB} = \overrightarrow{0}$

[modifier] Définition

Définition

Soient A et B deux points de l'espace. Soient $α$ et $β$ deux réels vérifiant $\alpha+\beta \not = 0$ .

Le barycentre du système de points pondérés $\left\{ ({\rm A},\alpha); ({\rm B},\beta) \right\}$ est l'unique point G qui vérifie :

$\alpha \overrightarrow{\rm GA} + \beta \overrightarrow{\rm GB} = \vec 0$

Si $α + β = 0$ , le barycentre n'existe pas.

Cette définition est fondamentale car elle est le point de départ de nombreux exercices sur les barycentres

[modifier] Construction du barycentre

L’égalité $\alpha \overrightarrow{\rm GA} + \beta \overrightarrow{\rm GB} = \vec 0$ définissant le barycentre ne permet pas telle quelle de construire le point G, car il apparaît deux fois dans cette égalité. Quelques calculs qu’il est indispensable savoir refaire sur des exemples concrets permettent d’obtenir la formule suivante. Celle-ci permet de construire le barycentre d’un système de deux points pondérés.

Propriété

Soit G le barycentre du système de points pondérés $\left\{ ({\rm A},\alpha); ({\rm B},\beta) \right\}$ (avec $\alpha+\beta \not = 0$ ). Alors :

$\overrightarrow{\rm AG}=\frac{\beta}{\alpha+\beta} \overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm BG}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \overrightarrow{\rm BA}$ .

Le principe de la démonstration qui suit est important : si l’on veut obtenir la localisation de G à partir de A, il faut utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître A au milieu de tous les vecteurs où il n’est pas déjà.

Démonstration

On écrit tout d’abord la définition du barycentre :

$\alpha \overrightarrow{\rm GA} + \beta \overrightarrow{\rm GB} = \vec 0$

D’après la relation de Chasles, $\overrightarrow{\rm GB} = \overrightarrow{\rm GA} + \overrightarrow{\rm AB}$ . On obtient :

$\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \left(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm AB}\right) = \vec 0$

En regroupant les termes $\overrightarrow{\rm GA}$ :

$(\alpha+\beta) \overrightarrow{\rm GA} + \beta \overrightarrow{\rm AB} = \vec 0$

Puis en isolant $\overrightarrow{\rm GA}$ dans le membre de droite :

$(\alpha+\beta) \overrightarrow{\rm GA} = - \beta \overrightarrow{\rm AB}$

$(\alpha+\beta) \overrightarrow{\rm AG} = \beta \overrightarrow{\rm AB}$

Finalement on obtient le résultat :

$\overrightarrow{\rm AG} = \cfrac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{\rm AB}$

La division par $α + β$ montre la nécessité d’avoir $\alpha + \beta \not= 0$ .

On démontre l’autre égalité de la même manière, c’est un bon exercice.

Cette égalité montre également le caractère unique du barycentre tel qu’énoncé dans la définition.

[modifier] Alignement

D'après la définition du barycentre G du système de points pondérés $\left\{ ({\rm A},\alpha); ({\rm B},\beta) \right\}$ , $\alpha \overrightarrow{\rm GA} + \beta \overrightarrow{\rm GB} = \vec 0$ .

En écrivant cette égalité sous la forme $\alpha \overrightarrow{\rm GA} = - \beta \overrightarrow{\rm GB}$ , on en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{\rm GA}$ et $\overrightarrow{\rm GB}$ sont colinéaires. D'où la propriété :

Propriété

Les points A, B et G sont alignés

Comme $\overrightarrow{\rm AG}=\frac{\beta}{\alpha+\beta} \overrightarrow{\rm AB}$ , alors $G \in ({\rm AB})$

[modifier] Réduction

A et B sont deux points de l'espace, et $\overrightarrow{u}$ un vecteur.

Comment construire le point M tel que $3\overrightarrow{\rm MA} + 2\overrightarrow{\rm MB} = \overrightarrow{u}$ ?

Propriété de réduction

Soit M un point quelconque de l'espace et G le barycentre du système de points pondérés $\left\{ ({\rm A},\alpha); ({\rm B},\beta) \right\}$ , alors :

$\alpha\overrightarrow{\rm MA} + \beta\overrightarrow{\rm MB} = (\alpha+\beta)\overrightarrow{\rm MG}$

Le principe de la démonstration qui suit est important : la relation de Chasles permet d'introduire un nouveau point dans la formule de définition. Cette idée revient souvent dans les exercices de ce type.

Intérêts :

Ramener un problème mettant en jeu plusieurs points (A,B) à un problème mettant en jeu un seul point (G)
Calculer explicitement les coordonnées du barycentre en faisant M=O

Démonstration

Dans l'expression $\alpha\overrightarrow{\rm MA} + \beta\overrightarrow{\rm MB}$ , on fait apparaître le point G à l'aide de la relation de Chasles :

$\alpha\overrightarrow{\rm MA} + \beta\overrightarrow{\rm MB} = \alpha\left(\overrightarrow{\rm MG} + \overrightarrow{\rm GA}\right) + \beta\left(\overrightarrow{\rm MG} + \overrightarrow{\rm GB}\right)$

$\alpha\overrightarrow{\rm MA} + \beta\overrightarrow{\rm MB} = \left(\alpha + \beta\right)\overrightarrow{\rm MG} + \underbrace{\alpha\overrightarrow{\rm GA} + \beta\overrightarrow{\rm GB}}$

Puis G étant le barycentre du système $\left\{ ({\rm A},\alpha); ({\rm B},\beta) \right\}$ on a :

$\alpha\overrightarrow{\rm MA} + \beta\overrightarrow{\rm MB} = \left(\alpha + \beta\right)\overrightarrow{\rm MG}$

Dans l'expression $\alpha\overrightarrow{\rm MA} + \beta\overrightarrow{\rm MB}$ qui dépend deux fois du point M, l'introduction d'un barycentre a permit de réduire le nombre d'occurences du point M à une seule.

[modifier] Invariance par multiplication par un réel non nul

Propriété

Soit k un réel non nul. Le barycentre de deux points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.

Démonstration

G barycentre du système de points pondérés $\left\{ ({\rm A},\alpha); ({\rm B},\beta) \right\}$

est équivalent à $\alpha \overrightarrow{\rm GA} + \beta \overrightarrow{\rm GB} = \vec 0$

est équivalent à $k \left(\alpha \overrightarrow{\rm GA} + \beta \overrightarrow{\rm GB}\right) = \vec 0$

est équivalent à $k\alpha \overrightarrow{\rm GA} + k\beta \overrightarrow{\rm GB} = \vec 0$

est équivalent à G barycentre du système de points pondérés $\left\{ (A,k\alpha); (B,k\beta) \right\}$ , car comme $k \not = 0$ et que $\alpha+\beta \not = 0$ , on a bien $k \alpha + k \beta \not = 0$

[modifier] Isobarycentre

Exemple

Soit I le milieu de [AB].

On sait que $\overrightarrow{\rm IA}+\overrightarrow{\rm IB} = \vec 0$ donc I est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,1)}

[modifier] Coordonnées du barycentre

Propriété

On munit l'espace d'un repère $\mathcal R = (O, \vec \imath, \vec \jmath, \vec k)$ dans lequel ${\rm A}(x_A,y_A,z_A)\,$ et ${\rm B}(x_B,y_B,z_B)\,$ . Les coordonnées du barycentre ${\rm G}(x_G, y_G, z_G)\,$ du système de points pondérés $\left\{ ({\rm A},\alpha); ({\rm B},\beta) \right\}$ sont :

$\begin{cases} \displaystyle{x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta}}\\ y_G=\displaystyle{\frac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta}}\\ z_G=\displaystyle{\frac{\alpha z_A + \beta z_B}{\alpha + \beta}} \end{cases}$

Démonstration

D'après la propriété de réduction, on sait que pour tout point M de l'espace

$\alpha \overrightarrow{\rm MA} + \beta \overrightarrow{\rm MB} = (\alpha + \beta) \overrightarrow{\rm MG}$

On applique cette formule en O :

$\alpha \overrightarrow{\rm OA} + \beta \overrightarrow{\rm OB} = (\alpha + \beta) \overrightarrow{\rm OG}$

Donc

$\overrightarrow{\rm OG} = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \overrightarrow{\rm OA} + \frac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{\rm OB}$

Comme O est l'origine du repère $\mathcal R$ , on obtient le résultat :

$\begin{cases} x_G = \displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha + \beta} x_A + \frac{\beta}{\alpha + \beta}x_B}\\ y_G=\displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha + \beta} y_A + \frac{\beta}{\alpha + \beta} y_B}\\ z_G=\displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha + \beta} z_A + \frac{\beta}{\alpha + \beta} z_B} \end{cases}$

Barycentre

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[modifier] Isobarycentre

[modifier] Coordonnées du barycentre

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