Analyse numérique et calcul scientifique/Interpolation polynomiale

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**Interpolation polynomiale**
Leçon : Analyse numérique et calcul scientifique

Chapitre 1
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Sommaire

1 Interpolation polynomiale
- 1.1 Introduction
- 1.2 Matrice de Vandermonde
2 Interpolation Lagrangienne

[modifier] Interpolation polynomiale

[modifier] Introduction

Dans ce chapitre, le but est d'interpoler un ensemble de points $(x_i,y_i)_{i\in[0,n]}$ par une fonction polynomiale $P$ . C'est-à-dire trouver les coefficients $\{a_i\}_{i\in[0,n+1]}$ définissant $P$ telle que $P(x)=\sum_{i=1}^{n+1} a_{i}x^i$ et $\forall i\in[0,n]\; P(x_i)=y_i$ .

On pourra aussi interpoler une fonction $f$ en un ensemble de points $\{x_i\}_{i\in[0,n]}$ , c'est-à-dire trouver $P$ telle que $\forall i\in[0,n]\; P(x_i)=f(x_i)$

[modifier] Matrice de Vandermonde

On peut exprimer sous la forme d'une matrice :

$\begin{bmatrix} x_0^{n+1} & x_0^{n} & x_0^{n-1} & \ldots & x_0 & 1 \\ x_1^{n+1} & x_1^{n} & x_1^{n-1} & \ldots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x_n^{n+1} & x_n^{n} & x_n^{n-1} & \ldots & x_n & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{n+1} \\ a_{n} \\ \vdots \\ a_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}$

appelée matrice de Vandermonde.
Son déterminant vaut $\prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i)$ .

Le système admet une solution unique si le déterminant de Vandermonde est non nul. Ce qui prouve que pour faire passer un polynôme unique par n+1 points distincts celui-ci doit être au plus de degré n.