Étude de fonctions/Exercices/Fonctions associées

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**Fonctions associées**
Leçon : Étude de fonctions

Exercice

Cet exercice est de niveau 11.

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[modifier] Exercice 1

Soit u une fonction définie sur $[-3;5]\,$ dont on donne le tableau de variation :

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&-3&&0&&2&&5\\ \hline &&&4&&&&\\ &&\nearrow&&\searrow&&&\\ \textrm{Variations~de}~u&2&&&&0&&\\ &&&&&&\searrow&\\ &&&&&&&-6\\ \hline \end{array}$

Déterminer le tableau de variation des fonctions suivantes :

$f:x\mapsto u(x+1) - 2$

$g:x\mapsto 2 - u(x-3)$

$h:x\mapsto |u(x)|$

Solution

Tableau de variation de $f:x\mapsto u(x+1) - 2$ :

On applique $t_{-\vec i}$ :

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&-4&&-1&&1&&4\\ \hline &&&4&&&&\\ &&\nearrow&&\searrow&&&\\ \textrm{Variations~de}~x\mapsto u(x+1)&2&&&&0&&\\ &&&&&&\searrow&\\ &&&&&&&-6\\ \hline \end{array}$

Puis $t_{-2\vec j}$ :

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&-4&&-1&&1&&4\\ \hline &&&2&&&&\\ &&\nearrow&&\searrow&&&\\ \textrm{Variations~de}~f&0&&&&-2&&\\ &&&&&&\searrow&\\ &&&&&&&-8\\ \hline \end{array}$

Tableau de variation de $g:x\mapsto 2 - u(x-3)$

On applique $t_{3\vec i}$ :

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&0&&3&&5&&8\\ \hline &&&4&&&&\\ &&\nearrow&&\searrow&&&\\ \textrm{Variations~de}~x\mapsto u(x-3)&2&&&&0&&\\ &&&&&&\searrow&\\ &&&&&&&-6\\ \hline \end{array}$

Puis ${\rm S}_{{\rm (Ox)}}\,$ :

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&0&&3&&5&&8\\ \hline &&&&&&&6\\ &&&&&&\nearrow&\\ \textrm{Variations~de}~x\mapsto -u(x-3)&-2&&&&0&&\\ &&\searrow&&\nearrow&&&\\ &&&-4&&&&\\ \hline \end{array}$

Puis enfin $t_{2\vec j}$ :

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&0&&3&&5&&8\\ \hline &&&&&&&6\\ &&&&&&\nearrow&\\ \textrm{Variations~de}~g&0&&&&2&&\\ &&\searrow&&\nearrow&&&\\ &&&-2&&&&\\ \hline \end{array}$

Tableau de variation de $h:x\mapsto |u(x)|$ :

On rappelle que :

Pour tout x tel que $u(x)\geq 0,~|u(x)|=u(x)$
Pour tout x tel que $u(x)\leq 0,~|u(x)|=-u(x)$

Toutes les parties du tableau de variations resteront inchangées lorsque les valeurs de u sont positives, et seront « inversées » lorsque les valeurs de u seront négatives.

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&-3&&0&&2&&5\\ \hline &&&4&&&&6\\ \textrm{Variations~de}~h&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\ &2&&&&0&&\\ \hline \end{array}$

[modifier] Exercice 2

On pose les fonctions ƒ et u, définies sur $\R$ par :

$f:x\mapsto -(x-1)^2 + 5$

$u:x\mapsto x^2$

On note $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_u$ les courbes représentatives de ƒ et u dans un repère orthonormé $({\rm O};\vec i,\vec j)$ donné.

1. Pour tout x, écrire ƒ(x) en utilisant u.

2. Donner les transformations qui permettent d'obtenir $\mathcal C_f$ à partir de $\mathcal C_u$

3. Dresser le tableau de variation de ƒ.

Solution

1. Pour tout x, $f(x)=-u(x-1)+5\,$

2. Pour obtenir $\mathcal C_f$ , on trace l'image de $\mathcal C_u$ par $t_{\vec i}$ , puis ${\rm S}_{({\rm Ox})}\,$ et enfin $t_{5\vec j}$ .

3. On part du tableau de variation de u, bien connu :

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\ \hline &+\infty&&&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~u&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&0&&\\ \hline \end{array}$

On applique $t_{\vec i}$ :

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty\\ \hline &+\infty&&&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~u&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&0&&\\ \hline \end{array}$

Puis ${\rm S}_{({\rm Ox})}\,$ :

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty\\ \hline &&&0&&\\ \textrm{Variations~de}~u&&\nearrow&&\searrow&\\ &-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}$

et enfin $t_{5\vec j}$ .

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty\\ \hline &&&5&&\\ \textrm{Variations~de}~u&&\nearrow&&\searrow&\\ &-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}$

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[modifier] Exercice 1

[modifier] Exercice 2

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