En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Situation économique conduisant à une étude de signe Équations et fonctions du second degré/Exercices/Situation économique conduisant à une étude de signe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Une entreprise fabrique une quantité x d'un produit, comprise dans l'intervalle [0, 20].
Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par .
La production est vendue à un prix unitaire de 84 000 €.
Exprimer en fonction de x le chiffre d'affaire total r(x).
Exprimer en fonction de x le bénéfice b(x) = r(x) – f(x) (en déduisant les coûts de production).
Étudier le signe du polynôme b et interpréter le résultat en termes de bénéfice. Pour ce faire :
Mettre x en facteur dans l’expression de b(x).
Étudier le signe du facteur de degré 2.
Étudier alors le signe de b(x).
Conclure en termes de bénéfice.
Solution
La fonction r est la fonction linéaire définie par (le résultat est exprimé en €).
La fonction bénéfice est définie par .
Pour tout
Le discriminant du polynôme de degré 2 vaut :
On calcule les racines du polynôme : Comme le coefficient du terme de degré 2 est négatif, le trinôme est positif sur l'intervalle et négatif ailleurs. On trace alors le tableau de signes de b. On rappelle qu'on ne s'intéresse qu'aux valeurs x positives, aussi on restreint le tableau à . Si l'on regarde le signe de x₁ et x₂, on s'aperçoit que et .
On ne s'intéresse qu'au cas où la société produit une quantité inférieure à 20. Dans ce cas, b reste positive. L’entreprise est donc rentable.