Électrostatique des conducteurs/Système de conducteurs

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Énergie d'un système de conducteurs placé dans son propre champ

On part des charges nulles pour arriver à Q₁ et Q₂ : $x\in [0;1]$

${\begin{cases}q_{1}=xQ_{1}\\v_{1}=xV_{1}\end{cases}}$

${\begin{cases}q_{2}=xQ_{2}\\v_{2}=xV_{2}\end{cases}}$

Entre t et t+dt, on accroît la charge des conducteurs. Les générateurs fournissent alors

$\mathrm {d} W_{e}=v_{1}~\mathrm {d} q_{1}+v_{2}~\mathrm {d} q_{2}$ ie $\mathrm {d} W_{e}=(V_{1}Q_{1}+V_{2}Q_{2})x~\mathrm {d} x$

Sur toute la charge : $W_{e}=\int _{0}^{1}(V_{1}Q_{1}+V_{2}Q_{2})x~\mathrm {d} x$

$W_{e}={\frac {1}{2}}(Q_{1}V_{1}+Q_{2}V_{2})$

$W_{e}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i}V_{i}Q_{i}\right)$

Identité de Gauss

$\forall i\not =j,~{\frac {\partial v_{i}}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial v_{j}}{\partial q_{i}}}$

Début d’un théorème

Théorème

La matrice de capacité d'un système de conducteurs est symétrique.

Fin du théorème