Électrostatique des conducteurs/Conducteur en équilibre électrostatique

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Conducteur en équilibre électrostatique
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Chapitre 1
Leçon : Électrostatique des conducteurs
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Chap. suiv. : Système de deux conducteurs en équilibre électrostatique


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Définition

Un conducteur est un milieu où les charges électriques sont susceptibles de se déplacer.


Sommaire

[modifier] Équilibre électrostatique

[modifier] Définitions

Définition

Soit un conducteur dans lequel la moyenne des vitesses des particules chargées est <\vec v>. Ce conducteur est en équilibre électrostatique lorsque <\vec v>=\vec0.

[modifier] Caractère équipotentiel

Propriété

Dans un conducteur en équilibre électrostatique, \vec E = \vec 0.

Comme \vec E=-\vec\nabla V, V est constant.


Démonstration

Soit une charge ponctuelle q du conducteur. Cette charge est soumise à une force \vec f=q\vec E=\vec0 car elle est immobile. Donc \vec E=0

[modifier] Répartition des charges

Propriété

Soit un conducteur dont la densité volumique de charge en un point est notée ρ. Alors, dans un conducteur en équilibre électrostatique, \rho=0~


Démonstration

Soit M un point du conducteur, entouré par une surface fermée Σ de volume V incluse dans le conducteur.

0=\oint \overrightarrow E \cdot \overrightarrow{\rm dS}= \int_V {\rm div}(\vec E)\,\mathrm d\tau=\int_V \frac{\rho}{\varepsilon}\,\rm d\tau

Donc \forall V\subset\textrm{Conducteur},~\int_V\rho\,\rm d\tau=0, donc \rho=0~

Cela implique que, si un conducteur est chargé, il l'est en surface et non à l'intérieur.

[modifier] Champ électrostatique au voisinage d'un conducteur

Théorème de Coulomb

Soit un conducteur de surface Σ. On veut calculer le champ en un point M infiniment proche de Σ.

On construit une surface fermée s'appuyant sur un tube de champ à l'extérieur du conducteur et quelconque à l'intérieur, de hauteur d²h et de section extérieure d²S.

Par le théorème de Gauss, \frac{\sigma\,\mathrm d^2S}{\varepsilon}=\vec E\cdot\overrightarrow{\mathrm d^2S}


Théorème de Coulomb

Au voisinage immédiat de Σ : \vec E = \frac{\sigma}{\varepsilon} \vec n où \vec n est un vecteur unitaire normal à Σ et dirigé vers l'extérieur de Σ.


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