Théorie des groupes/Groupe à opérateurs

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La notion de groupe à opérateurs peut être considérée comme une généralisation de la notion mathématique de groupe. Elle permet de donner une forme plus forte à certains théorèmes classiques, comme le théorème de Jordan-Hölder.

Définitions

Un groupe à opérateurs est la donnée d'un groupe G, dit groupe sous-jacent (que nous noterons multiplicativement), d'un ensemble Ω dit domaine d'opérateurs, et d'une action de Ω sur G distributive par rapport à la loi de groupe de G, c'est-à-dire d'une application

$\ \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }$

telle que, pour tout élément ω de Ω et tous éléments g, h de G

$\ (gh)^{\omega }=g^{\omega }h^{\omega }.$

Un groupe à opérateurs ne se réduit pas à son groupe sous-jacent, mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier.

Un groupe à opérateurs dont l’ensemble d'opérateurs est Ω est appelé un groupe à opérateurs dans Ω ou encore un Ω-groupe.

Un groupe ordinaire peut être assimilé à un groupe à opérateurs dans l’ensemble vide. Cela permet d'obtenir certains théorèmes relatifs aux groupes comme cas particuliers de théorèmes relatifs aux groupes à opérateurs.

Pour tout élément ω de Ω, la transformation g ↦ g^ω est un endomorphisme du groupe sous-jacent G. Un tel endomorphisme est parfois appelé une homothétie du Ω-groupe G. Si G est un groupe et Ω un ensemble, la donnée d'une structure de Ω-groupe sur G équivaut à la donnée d'une famille d'endomorphismes du groupe G indexée par Ω, ou encore à la donnée d'une application de Ω dans l’ensemble des endomorphismes du groupe G.

Un groupe à opérateurs est dit commutatif, ou encore abélien, si son groupe sous-jacent est commutatif.

Un sous-groupe H d'un Ω-groupe (ou, plus exactement, du groupe sous-jacent) est dit stable si, pour tout élément ω de Ω et tout élément h de H, h^ω appartient à H. On peut alors définir l'action

$\ \Omega \times H\rightarrow H:(\omega ,h)\mapsto h^{\omega }$

et cette action fait de H un Ω-groupe. Un sous-groupe stable d'un Ω-groupe G est aussi appelé un Ω-sous-groupe de G.

Si G est un groupe ordinaire considéré comme groupe à opérateurs dans l’ensemble vide, les sous-groupes stables de ce groupe à opérateurs sont les sous-groupes de G. Ceci est un exemple du fait que des notions relatives aux groupes peuvent être considérées comme des cas particuliers de notions relatives aux groupes à opérateurs.

Si G est un Ω-groupe, le sous-groupe trivial de G (c'est-à-dire son sous-groupe réduit à l'élément neutre) et G lui-même sont des Ω-sous-groupes de G.

Soient G un Ω-groupe et H un Ω-sous-groupe de G. On dit que H est un Ω-sous-groupe normal, ou encore distingué, de G si le sous-groupe sous-jacent de H est un sous-groupe normal du groupe sous-jacent de G. Dans ce cas, si ω est un élément de Ω, si g₁ et g₂ sont des éléments de G congrus modulo H (c'est-à-dire appartenant à une même classe modulo H), alors g₁^ω et g₂^ω sont eux aussi congrus modulo H, d'où g₁^ω H = g₂^ω H. On peut donc définir une action Ω × G/H → G/H de Ω sur le groupe quotient G/H qui, pour tout élément ω de Ω et tout élément g de G, applique (ω, gH) sur g^ω H. Cette action fait de G/H un Ω-groupe. Pour tout élément ω de Ω et tout élément g de G, on a ainsi (gH)^ω = g^ω H.

Si H et K sont deux sous-groupes stables d'un groupe à opérateurs G, si H ou K est normal dans G, alors HK est un sous-groupe stable de G.

Si G est un Ω-groupe et N un Ω-sous-groupe normal de G, si K est un Ω-sous-groupe de G contenant N, alors N est un Ω-sous-groupe normal de K, donc, d'après ce qui précède, le groupe K/N peut se munir d'une structure de Ω-groupe.

Soient G et H deux Ω-groupes. On appelle homomorphisme de groupes à opérateurs de G dans H, ou encore Ω-homomorphisme de G dans H, un homomorphisme f de groupes de G dans H tel que, pour tout élément ω de Ω et tout élément x de G, on ait f(x^ω) = f(x)^ω. Si K est un Ω-sous-groupe normal de G, l'homomorphisme canonique de groupes de G sur G/K est un Ω-homomorphisme du Ω-groupe G sur le Ω-groupe G/K qu'on a défini plus haut.

Si f est un Ω-homomorphisme d'un Ω-groupe G dans un Ω-groupe H, le noyau de l'homomorphisme de groupes f est un Ω-sous-groupe normal de G. L'image de f est un Ω-sous-groupe de G.

Si un Ω-homomorphisme est un isomorphisme de groupes (ce qui revient à dire qu’il est bijectif), on dit que c’est un Ω-isomorphisme. L'isomorphisme de groupes réciproque est alors lui aussi un Ω-isomorphisme. Si G et H sont deux Ω-groupes et qu’il existe un Ω-isomorphisme de l'un sur l'autre, on dit que G et H sont Ω-isomorphes.

Un groupe à opérateurs est dit simple s'il n’est pas réduit à l'élément neutre et s'il n'a pas d’autre sous-groupe stable normal que lui-même et son sous-groupe réduit à l'élément neutre. Pour insister sur le fait qu'un Ω-groupe est supposé simple comme Ω-groupe et non forcément comme groupe, on dit volontiers qu’il est Ω-simple. Si un Ω-groupe est simple comme groupe, il est Ω-simple, mais la réciproque n’est pas vraie. (Voir un contre-exemple dans les exercices.)

Les notions de produit direct et de somme restreinte externe d'une famille de $\Omega$-groupes, de même que la notion de somme restreinte interne d'une famille de $\Omega$-sous-groupes, se définissent par une généralisation évidente des notions analogues relatives aux groupes ordinaires. (Le lecteur est invité à s'en assurer.) On peut noter qu'un $\Omega$-groupe G est somme restreinte interne d'une famille $(G_{i})_{i\in I}$ de ses $\Omega$-sous-groupes si et seulement le groupe (ordinaire) G est somme restreinte interne de la famille de groupes (ordinaires) $(G_{i})_{i\in I}$.

Exemple de groupe à opérateurs

On suppose que le lecteur connaît la notion de module sur un anneau.

Soient A un anneau et M un A-module, par exemple à gauche. La loi externe de ce module possède (entre autres) la propriété suivante :

pour tous éléments x, y de M et pour tout élément a de A, a(x+y) = ax + ay.

Cela montre que la loi externe du A-module à gauche M fait de M un groupe abélien à opérateurs dans l'ensemble A (autrement dit un A-groupe abélien). Les A-modules à gauche sont donc les A-groupes abéliens possédant certaines propriétés dépendant de la structure d'anneau de A. (Pour ces propriétés, voir la définition d'un A-module à gauche.)

Généralisation de théorèmes classiques

Théorèmes d'isomorphisme

Ces notions permettent d'étendre de façon évidente les théorèmes d'isomorphisme aux groupes à opérateurs.

Début d’un théorème

Premier théorème d'isomorphisme

Soient $\Omega$ un ensemble, G et H des $\Omega$-groupes, $f:G\rightarrow H$ un homomorphisme de $\Omega$-groupes. Le $\Omega$-groupe quotient G/Ker(f) et le $\Omega$-groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ${\tilde {f}}$ du $\Omega$-groupe G/Ker(f) sur le $\Omega$-groupe Im(f) qui, pour tout élément x de G, applique la classe de x suivant Ker(f) sur f(x).

Fin du théorème

Début d’un théorème

Second théorème d'isomorphisme

Soient $\Omega$ un ensemble, G un $\Omega$-groupe, H et K des $\Omega$-sous-groupes de G. On suppose que le sous-groupe K de G normalise le sous-groupe H de G (ce qui est le cas par exemple si H est normal dans G). Alors $H\cap K$ est un $\Omega$-sous-groupe distingué de K et le $\Omega$-groupe $K/(H\cap K)$ est isomorphe au $\Omega$-groupe $\ HK/H$. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme f du $\Omega$-groupe $K/(H\cap K)$ sur le $\Omega$-groupe $\ HK/H$ tel que, pour tout élément x de K, $f(x(H\cap K))=xH$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Troisième théorème d'isomorphisme

Soient $\Omega$ un ensemble, G un $\Omega$-groupe, H un sous-$\Omega$-groupe normal de G, K un $\Omega$-sous-groupe normal de G contenant H; donc :

H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G.

Alors K/H est un sous-$\Omega$-groupe normal du $\Omega$-groupe G/H et le $\Omega$-groupe (G/H)/(K/H) est isomorphe au $\Omega$-groupe G/K.

Fin du théorème

Les démonstrations de ces trois théorèmes sont laissées aux lecteurs. (Une partie des énoncés s'obtient à l'aide des théorèmes d'isomorphisme relatifs aux groupes.)

Théorème de Jordan-Hölder

La notion de groupe à opérateur permet aussi de généraliser utilement le théorème de Jordan-Hölder.

Tout d’abord, on étend la notion de suite de composition d'un groupe aux groupes à opérateurs : on appelle suite de composition d'un Ω-groupe G toute suite finie (G₀, G₁, … , G_r) de Ω-sous-groupes de G telle que

$G=G_{0}\supset G_{1}\supset \ldots \supset G_{r}=\{e\}$

et que, pour tout i dans {0, 1, … , r – 1}, G_i+1 soit un sous-groupe normal (et donc un Ω-sous-groupe normal) de G_i. On dit que cette suite est une suite de Jordan-Hölder si, pour tout i dans {0, 1, … , r – 1}, le Ω-groupe quotient G_i/G_i+1 est Ω-simple.

Soit G un Ω-groupe, soient Σ₁ = (G₀, G₁, … , G_r) et Σ₂ = (H₀, H₁, … , H_s) deux suites de Jordan-Hölder de G. On dit que Σ₁ et Σ₂ sont équivalentes si r = s et s'il existe une permutation σ de l’ensemble {0, 1, … , r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le Ω-groupe quotient G_i/G_i+1 soit Ω-isomorphe au Ω-groupe quotient H_σ(i)/H_σ(i)+1.

La démonstration du théorème de Jordan-Hölder s'étend alors immédiatement aux groupes à opérateurs : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe à opérateurs sont toujours équivalentes.

On étend de même la notion de longueur d'un groupe pour définir la longueur d'un groupe à opérateurs.

Exemple d'utilisation

Soient K un corps, non forcément commutatif, et V un espace vectoriel à gauche ou à droite sur K. (Le lecteur qui n’est pas familier avec les corps non commutatifs et les espaces vectoriels à gauche et à droite peut supposer que K est un corps commutatif et que V est un espace vectoriel sur K.) L'addition des vecteurs de V est une loi de groupe et la loi externe de V est une opération

$\ K\times V\rightarrow V:(\lambda ,v)\mapsto \lambda v$

qui fait de V un groupe à opérateurs dans K (en raison de la distributivité de la loi externe par rapport à l'addition des vecteurs). Un espace vectoriel à gauche ou à droite sur K peut donc être considéré comme un cas particulier de groupe à opérateurs dans K. Les sous-groupes stables de ce groupe à opérateurs sont les sous-espaces vectoriels de V. Comme le groupe à opérateurs V est commutatif, tous ses sous-groupes stables sont normaux. Si W est un sous-espace vectoriel de V, l'espace vectoriel quotient de l'espace V par l'espace W est le groupe à opérateurs quotient (défini plus haut) du groupe à opérateurs V par son sous-groupe stable normal W. Le groupe à opérateurs V est simple si et seulement si l'espace vectoriel V est de dimension 1.

Nous allons tirer de ce qui précède que deux bases finies d'un même espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments. Soient (a₁, … , a_r) et (b₁, … , b_s) deux bases d'un même espace vectoriel V. Il s'agit de prouver que r = s. Pour chaque i (0 ≤ i ≤ r), désignons par V_i le sous-espace vectoriel de V engendré par les a_j avec j ≤ i (on a donc V₀ = 0). De même, pour chaque k (0 ≤ k ≤ s), désignons par W_k le sous-espace vectoriel de V engendré par les b_l avec l ≤ k. Alors (V_r, … , V₀) et (W_s, … , W₀) sont deux suites de Jordan-Hölder du groupe à opérateurs V. D'après le théorème de Jordan-Hölder étendu aux groupes à opérateurs, ces deux suites sont équivalentes. En particulier, elles ont la même longueur, donc r = s, comme annoncé.

Remarque. La démonstration qui précède montre qu'un espace vectoriel est de dimension finie si et seulement s'il est de longueur finie comme groupe à opérateurs et que sa longueur est alors égale à sa dimension. En revanche, si V est de dimension infinie, la longueur de V (qui est alors infinie elle aussi) n’est pas forcément égale à la dimension de V, car la longueur de V, comme la longueur de tout groupe à opérateurs de longueur infinie, est alors égale au plus petit cardinal infini, ce qui n’est pas forcément le cas de la dimension de V.

Notes et références

Dans sa forme initiale, le présent chapitre est à peu près copié littéralement de l’article Groupe à opérateurs de Wikipédia, version du 10 juillet 2012.