« Sommation/Formule du binôme » : différence entre les versions
m Révocation des modifications de 194.254.30.125 (discussion) vers la dernière version créée par Anne Bauval Balise : Révocation |
déplacement depuis https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton Balises : Révoqué Éditeur visuel |
||
Ligne 129 : | Ligne 129 : | ||
| suivant = [[../Sommations de séries entières/]] |
| suivant = [[../Sommations de séries entières/]] |
||
}} |
}} |
||
== Puissances impaires et carrés == |
|||
Pour <math>n=2m+1</math> , les termes peuvent se regrouper et étonnamment faire apparaître des carrés |
|||
{{lemme |
|||
| titre = Formules des puissances impaires <math> n=2m+1 </math> |
|||
| contenu = |
|||
<math> (x-y)^n=x f(x,y)^2-y f(y,x)^2, ~~~~~f(x,y) =\sum_{k=0}^m {n \choose 2k} x^{m-k} y^k </math> |
|||
}}Exemples dans l'anneau <math>\mathbb{Z}</math>:<math display="block">\begin{array}{lll} |
|||
17^3&= (5+12)^3 = 5\times 31^2 &+ 12\times 3^2\\ |
|||
17^5&= (5+12)^5 = 5\times 145^2 &+ 12\times 331^2\\ |
|||
17^7&= (5+12)^7 = 5\times 6929^2&+ 12\times 3767^2\\ |
|||
17^9&=(5+12)^9 = 5\times 138911^2&+ 12\times 42921^2 |
|||
\end{array} |
|||
</math>{{démonstration|contenu=En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme : |
|||
<math display="block">(x-y)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k |
|||
= \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m+1-2k} y^{2k}-\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k+1}</math> |
|||
<math display="block">(x-y)^n=x \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{2m-2k} y^{2k}-y\sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k+1} x^{2m-2k}y^{2k}</math> |
|||
Par symétrie du [[coefficient binomial#Combinatoire et statistique|coefficient binomial]] : |
|||
<math display="block">(x-y)^n=x f(x^2,y^2)-y f(y^2,x^2), f(x,y)=\sum_{k=0}^{m} {n \choose 2k} x^{m-k} y^{k}</math> |
|||
qu'on peut également écrire en prenant <math> -y </math> |
|||
<math display="block">(x+y)^n=x f(x^2,y^2)+y f(y^2,x^2) </math> |
|||
En multipliant les deux dernières expressions, on obtient : |
|||
<math display="block">(x^2-y^2)^n=x^2f(x^2,y^2)^2-y^2 f(y^2,x^2)^2 </math> |
|||
D'où la formule en substituant <math> (x,y) </math> à <math> (x^2,y^2) </math> .}} |
|||
Comme on peut le remarquer dans l'exemple, on a en plus le résultat général suivant:<math display="block">x \wedge 2y=1 \Rightarrow f(x,2y) \wedge f(2y,x)=1</math>{{démonstration|contenu=Soient <math>(x,y) </math> deux entiers de parité différentes. |
|||
Dans ce cas, <math>f(x,y) </math> et <math>f(y,x) </math> sont impairs. Considérons <math>p </math> un diviseur premier impair commun. On a donc <math>f(x,y) \equiv f(y,x) \equiv 0 ~[p] </math> . La formule des carrés implique alors <math>x \equiv y ~[p] </math> |
|||
En réinjectant dans la définition de <math>f</math>, on obtient: |
|||
<math>f(x,y) \equiv \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} x^{m-k} x^{k} \equiv x^m \sum_{k=0}^{m}{n \choose 2k} \equiv x^m 2^{m-1}~[p] </math> |
|||
Par conséquent <math>f(x,y) \equiv 0 \Rightarrow x \equiv 0 ~[p] </math>. Même résultat pour <math>y </math> |
|||
Ainsi tout diviseur premier commun à <math>f(x,y) </math> et <math>f(y,x) </math> divise aussi <math>x </math> et <math>y </math>.}} |
|||
Enfin, on peut aussi donner une condition de coprimalité entre <math>x</math> et <math>f(x,y)</math>:<math display="block">x \wedge ny=1 \Rightarrow x \wedge f(x,y)=1</math>{{démonstration|contenu=En reprenant la définition, <math>f(x,y) </math> s'écrit sous la forme <math>f(x,y)=ny^m +xP(x,y) </math> . Si <math> x \wedge ny^m =1 </math>, alors <math> x \wedge f(x,y)=1 </math>, le pgcd étant conservé par ajout de multiples de <math>x</math>}} |
Version du 7 août 2023 à 13:11
Lemme préliminaire
Nous aurons besoin pour la démonstration de la formule du binôme du lemme suivant sur les coefficients binomiaux :
Démonstration de la formule de Pascal On a :
Voir aussi la démonstration combinatoire (chap. 1) de la formule de Vandermonde , dont la formule de Pascal est le cas particulier . |
Démonstration de la formule du binôme
Tout le monde connaît bien la formule :
Et probablement aussi la formule :
Ces deux formules sont des cas particuliers d'une formule plus générale appelée formule du binôme que l’on énonce ainsi :
Soient, dans un anneau, deux éléments et tels que (par exemple : deux nombres complexes).
Pour tout entier naturel , nous avons :
Au premier rang, on a bien :
- .
Pour n entier supérieur ou égal à 1, nous démontrerons la formule du binôme par récurrence. (On a traité à part le cas n = 0 car au cours de la démonstration ci-dessous apparaîtront des sommes de la forme , qui n'auraient pas de sens dans ce cas. Un autre démonstration par récurrence, consistant à intégrer au lieu de multiplier — cf. exercice 4-9 — évite cet écueil.)
Initialisation
Au premier rang, on a bien :
- .
Caractère héréditaire
Soit n un entier supérieur ou égal à 1 tel que l'hypothèse de récurrence soit vraie, montrons que la relation est vraie aussi pour n + 1 :
Par hypothèse de récurrence :
Par distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :
Par factorisation :
En utilisant la formule de Pascal :
le principe de récurrence termine alors la démonstration.
Remarque Comme l’objet de notre propos est de réaliser des sommations, il est nécessaire de bien connaître la formule du binôme dans les deux sens. Il est donc recommandé de bien la connaître aussi sous la forme :
|
Triangle de Pascal
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal_en_tabla.png)
On peut commodément représenter sous forme de tableau triangulaire la valeur des . Sur le tableau ci-contre, à l'intersection de la ligne n et de la colonne p, nous avons la valeur numérique de . Ce tableau, appelé triangle de Pascal, donne les coefficients du développement d'une expression de la forme (a + b)n. Supposons que l’on veuille, par exemple, calculer (a + b)5. En utilisant la ligne correspondant à n = 5, nous voyons que nous obtenons :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal.png)
Généralement, les lignes et les colonnes ne sont pas représentées et nous avons simplement le tableau ci-contre à gauche. C'est à nous d'imaginer mentalement quelle est la valeur de n et de p. Il suffit de remarquer que la valeur de n est la première valeur différente de 1 que l’on trouve sur la ligne et cette première valeur différente de 1 correspond à la colonne p = 1.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/PascalTriangleAnimated2.gif/100px-PascalTriangleAnimated2.gif)
Pour construire ce triangle, nous utilisons la formule de Pascal qui se traduit par le fait que chaque nombre du triangle est la somme des deux nombres qui sont immédiatement dessus. Voir l'animation à droite.
Pour plus de détails, voir l'article « Triangle de Pascal » sur Wikipédia.
Puissances impaires et carrés
Pour , les termes peuvent se regrouper et étonnamment faire apparaître des carrés
Exemples dans l'anneau :
En séparant les termes pairs et impairs dans la formule du binôme :
Par symétrie du coefficient binomial :
qu'on peut également écrire en prenant
En multipliant les deux dernières expressions, on obtient :
D'où la formule en substituant à .
Comme on peut le remarquer dans l'exemple, on a en plus le résultat général suivant:
Soient deux entiers de parité différentes.
Dans ce cas, et sont impairs. Considérons un diviseur premier impair commun. On a donc . La formule des carrés implique alors
En réinjectant dans la définition de , on obtient:
Par conséquent . Même résultat pour
Ainsi tout diviseur premier commun à et divise aussi et .
Enfin, on peut aussi donner une condition de coprimalité entre et :