Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus

**Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Chapitre n^o 9
Chap. préc. :	Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
Chap. suiv. :	Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus
Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Caractère vectoriel de la grandeur vibrante en optique, le champ électromagnétique

Cette notion a déjà été introduite dans le paragraphe intitulé « Grandeurs vibrantes en électromagnétisme, célérité de la propagation » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ; les grandes lignes sont rappelées ci-dessous :

La grandeur vibrante associée à une onde optique $\;{\big (}$ cas particulier d'une onde électromagnétique ${\big )}\;$ est un champ électromagnétique $\;\left\lbrace {\vec {E}}\,{\text{;}}\,{\vec {B}}\right\rbrace$ ;

une onde électromagnétique $\;{\big (}$ donc aussi une onde optique ${\big )}\;$ n'a pas besoin de milieu matériel pour se propager ^[1], elle traverse, par exemple, l'espace vide entre une galaxie lointaine et la Terre ;

dans le vide l'onde électromagnétique $\;{\big (}$ et donc aussi l'onde optique ${\big )}\;$ est nécessairement transversale $\;{\big (}{\vec {E}}\;$ et $\;{\vec {B}}\;$ sont $\;\perp \;$ au vecteur d'onde ${\vec {k}}{\big )}\;$ mais
dans la matière il peut « s'y ajouter » ^[2] une composante longitudinale ;

la célérité de propagation d'une onde électromagnétique $\;{\big (}$ et donc aussi optique ${\big )}\;$ dans le vide est notée « $\;c\;$ » laquelle vaut $\;300\,000\;km\!\cdot \!s^{-1}$ ,
dans un milieu matériel « transparent » elle est notée « $\;v\;$ » et elle est strictement inférieure à $\;300\,000\;km\!\cdot \!s^{-1}$ .

Récepteurs lumineux, notion d'éclairement, sources lumineuses

Notion de récepteurs lumineux

     Ces récepteurs sont sensibles à la puissance lumineuse « moyenne » ^[3] reçue ; ainsi,
          lorsqu'il reçoit l'onde lumineuse notée « $\;s(x_{\text{récepteur}},\,t)\;$ » ^[4] $\;{\big (}$ on suppose une propagation unidirectionnelle ${\big )}\;$ la puissance lumineuse instantanée reçue est « $\;\propto \;$ à $\;\left[s(x_{\text{récepteur}},\,t)\right]^{2}\;$ » mais
          le récepteur lumineux répond à la puissance lumineuse moyenne reçue « $\;\propto \;$ à $\;\left\langle \left[s(x_{\text{récepteur}},\,t)\right]^{2}\right\rangle \;$ » ^[5] ;

si l'onde lumineuse est harmonique de fréquence $\;f\;$ c.-à-d. si « $\;s(x_{\text{récepteur}},\,t)=A(x_{\text{récepteur}})\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t+\varphi (x_{\text{récepteur}})\right]\;$ » on établit que « $\;\left\langle \left[s(x_{\text{récepteur}},\,t)\right]^{2}\right\rangle ={\dfrac {\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}}{2}}\;$ » ^[6] ;

la réponse du récepteur $\;{\big (}$ indépendante du temps ${\big )}\;$ est « $\;K\,{\dfrac {\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}}{2}}\;$ » où $\;K\;$ est une constante de proportionnalité.

     Conséquence de la propagation tridimensionnelle de la lumière : une onde lumineuse ayant une propagation tridimensionnelle, son amplitude en un point $\;M\;$ varie de façon inversement $\;\propto \;$ à la distance $\;d\;$ ^[7] séparant $\;M\;$ de la source et par suite
     Conséquence de la propagation tridimensionnelle de la lumière : la réponse d'un récepteur lumineux est inversement $\;\propto \;$ au carré de la distance $\;d\;$ le séparant de la source ou, plus précisément,
     Conséquence de la propagation tridimensionnelle de la lumière : en appelant « $\;A_{0}\;$ l'amplitude de l'onde à la source », la réponse du récepteur s'écrit « $\;K{\dfrac {A_{0}^{2}}{2\,d^{2}}}\;$ » où $\;K\;$ est la même constante de proportionnalité que celle définie dans la propagation unidimensionnelle ci-dessus.

Différents types de récepteurs lumineux (encore appelés photorécepteurs)

Photographie de photodiodes avec l'ordre de grandeur de leurs dimensions
Photographie d'une photorésistance
Photographie d'une thermopile avec son « écorché »
Photographie d'un capteur CCD

Photodiode

     Diode à « jonction PN » ^[8] $\;{\big (}$ schéma ci-contre à droite avec caractéristiques courant - tension ${\big )}$ ,
          en absence de polarisation elle crée une tension $\;{\big (}$ mode photovoltaïque ${\big )}\;$ et
          en polarisation inverse c.-à-d. $\;U=V_{P}-V_{N}<0\;$ ${\big (}$ mode photoampérique ${\big )}\;$ elle crée un courant de $\;N\;$ vers $\;P\;$ correspondant à $\;I<0\;$ sur la figure ci-contre,
     dans les deux cas « la réponse est $\;\propto \;$ à la puissance lumineuse moyenne reçue » ;
          dans le mode photoampérique, le courant provient essentiellement du fait qu'un photon reçu par la zone $\;P\;$ ${\big (}$ ou la zone $\;N{\big )}\;$ ^[9] est absorbé par un porteur $\;p\;$ ${\big (}$ ou un porteur $\;n{\big )}\;$ s'y trouvant en lui donnant l'énergie suffisante pour franchir la barrière de potentiel extérieur d'où un courant de $\;N\;$ vers $\;P\;$ d'intensité $\;{\big (}<0{\big )}\;$ $\;\propto \;$ au nombre de photons « efficaces » ^[10] reçus par seconde ;
          dans le mode photovoltaïque, on branche un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ aux bornes de la photodiode et dans la mesure où $\;R\;$ n'est pas trop grande, on mesure la tension entre les bornes communes, laquelle étant $\;\propto \;$ à l'intensité du courant circulant dans le conducteur ohmique ^[11] est par conséquent aussi $\;\propto \;$ au nombre de photons « efficaces » reçus par seconde par la photodiode $\;\ldots$

Le temps de réponse d'une photodiode est assez court $\;\tau =1\,\mu s\;$ et sa sensibilité, en mode photoampérique, est de l'ordre de $\;\sigma =100\;mA\!\cdot \!W^{-1}$ .

Photorésistance

     Couche mince de semi-conducteur constitué généralement de sulfure de cadmium $\;{\big (}Cd\,S{\big )}$ $\;{\big (}$ symbole ci-contre à gauche ${\big )}$ ;
     en l'éclairant, le nombre de porteurs et donc la conductivité augmentent, on mesure alors la résistance à l'ohmmètre et la variation de celle-ci est de la forme « $\;R\propto {\dfrac {1}{\left[{\mathcal {P}}_{\text{lum, moy}}\right]^{n}}}\;$ dans laquelle $\;n\;$ est une constante comprise entre $\;0,5\;$ et $\;1\;$ dépendant du semi-conducteur utilisé » ;
     on peut aussi imposer une tension et mesurer l'intensité traversant la photorésistance, plus la puissance lumineuse moyenne reçue est grande, plus la résistance est faible et plus grande est l'« intensité qui varie alors selon $\;\propto \left[{\mathcal {P}}_{\text{lum, moy}}\right]^{n}\;$ » ; lors de cette utilisation l'ordre de grandeur de la sensibilité de la photorésistance peut atteindre $\;\sigma =100\;A\!\cdot \!W^{-1}\;$ ^[12] c.-à-d. beaucoup plus sensible qu'une photodiode avec néanmoins un temps de réponse nettement plus grand d'ordre de grandeur $\;\tau =10\;ms$ ;
     une photorésistance sert essentiellement pour des détections en tout ou rien de lumière $\;{\big (}$ commande automatique ${\big )}$ .

Thermopile

     Dispositif électronique convertissant l'« énergie thermique » ^[13] en énergie électrique $\;{\big (}$ voir ci-contre à droite ${\big )}$ ;
     une thermopile est composée de « thermocouples » ^[14] connectés en « parallèle » ^[15], chacun ayant une électrode soumise à la puissance lumineuse moyenne $\;{\big (}$ soudure chaude ${\big )}$ , l'autre étant à une température imposée dite de référence $\;{\big (}$ soudure froide ${\big )}$ , ceci générant une tension $\;\propto \;$ à la différence de température entre les électrodes des thermocouples et celles de référence $\;{\big (}$ voir schéma de montage ci-contre à droite ${\big )}$ ;
     l'ordre de grandeur de la sensibilité d'une thermopile est $\;\sigma =1\;V\!\cdot \!W^{-1}$ et
     celui de son temps de réponse $\;\tau =1\;s\;$ c.-à-d. « relativement grand » ^[16].

Capteur CCD

« C.C.D. » sigle pour « Charge-Coupled Device » que l'on traduit en français par « D.T.C. » sigle pour « Dispositif à Transfert de Charge » ;

un capteur C.C.D. est un élément sensible des appareils photographiques numériques ; il fournit pour chaque pixel de l'image les valeurs des trois puissances lumineuses moyennes pour les trois couleurs de base « rouge, vert et bleu » du système R.V.B. $\;{\big (}$ voir matrice de Bayer ^[17] ci-contre à gauche ${\big )}$ ;

un capteur de $\;12\;10^{6}\;$ pixels est un tableau rectangulaire de $\;4000\times 3000\;$ cellules comportant chacune $\;4\;$ photorécepteurs $\;{\big (}1\;$ pour le rouge, $\;2\;$ pour le vert ^[18] et $\;1\;$ pour le bleu ${\big )}\;$ de taille « quelques $\;\mu m\;$ » et de temps de réponse $\;<10\,ms$ .

Ci-contre à droite le schéma de fonctionnement d'un C.C.D. « interligne » qui comprend deux matrices C.C.D. de même dimension,

l'une dite « d'exposition » permettant la capture des photons car elle est exposée à la lumière,
l'autre dite « de stockage », non exposée à la lumière, vers laquelle un transfert rapide de la matrice d'exposition est réalisée et dans laquelle une numérisation peut se faire simultanément à l'acquisition d'une nouvelle image dans la matrice d'exposition $\;\ldots$

Remarque : Le C.C.D. a été inventé par George Elwood Smith ^[19] et Willard Sterling Boyle ^[20] dans les Laboratoires Bell en $\;1969$ , cette invention leur rapportera la moitié du Prix Nobel de physique en $\;2009\;$ ^[21].

Notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point

Définition

L'« éclairement

\;{\mathcal {E}}(M)\;

d'une onde lumineuse en un point

\;M\;

» est la « puissance lumineuse moyenne reçue par unité de surface

\;\perp \;

à la direction de propagation en

\;M\;

» ou,
en notant «

\;\left\langle {\mathcal {P}}_{({\mathcal {S}}_{M})}\right\rangle \;

la puissance lumineuse moyenne reçue par une surface

\;({\mathcal {S}}_{M})\;

d'aire

\;S\;

placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde en

\;M\;

«», «

\;{\mathcal {E}}(M)={\dfrac {\left\langle {\mathcal {P}}_{({\mathcal {S}}_{M})}\right\rangle }{S}}\;

», il se mesure en «

\;W\cdot m^{-2}\;

».

À l'inverse, connaissant l'« éclairement $\;{\mathcal {E}}(M)\;$ d'une onde lumineuse en un point $\;M\;$ », on en déduit la « puissance lumineuse moyenne $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{({\mathcal {S}}_{M})}\right\rangle \;$ reçue par une surface $\;({\mathcal {S}}_{M})\;$ d'aire $\;S\;$ placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde en $\;M\;$ » par « $\;\left\langle {\mathcal {P}}_{({\mathcal {S}}_{M})}\right\rangle ={\mathcal {E}}(M)\;S\;$ ».

Cas d'une onde harmonique

Si l'onde lumineuse est « harmonique de fréquence

\;f\;

et d'amplitude

\;A(x)\;

» ^[22], la « puissance lumineuse moyenne

\;\left\langle {\mathcal {P}}_{({\mathcal {S}}_{M})}\right\rangle \;

reçue par une surface

\;({\mathcal {S}}_{M})\;

placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde en

\;M\;

» étant «

\;\propto \;

à

\;{\dfrac {\left[A(x)\right]^{2}}{2}}\;

» ^[23], on en déduit la « proportionnalité de l'éclairement avec le carré de l'amplitude

\;\left[A(x)\right]^{2}\;

» ^[24] et on pose :

«

\;{\mathcal {E}}(M)=K\;\left[A(x)\right]^{2}\;

», «

\;K\;

étant une constante de proportionnalité » ^[25].

Notion d'éclairement spectral

Une onde lumineuse réelle étant une « superposition d'ondes harmoniques » ^[26], l'« éclairement $\;{\mathcal {E}}(M)\;$ d'une onde lumineuse réelle en un point $\;M\;$ » est la « somme des éclairements de chaque harmonique au même point $\;M\;$ » ^[27].

Cas d'une onde lumineuse à spectre d'amplitude discret

Le « spectre d'amplitude étant un spectre de raies » $\;{\big (}$ exemple : lumière d'émission d'une lampe à vapeur métallique ${\big )}$ , l'onde lumineuse peut s'écrire « $\;s(x,\,t)=$ $\sum \limits _{m=1}^{m_{\text{max}}}A_{m}(x)\,\cos \!\left[2\,\pi \,f_{m}\,t+\varphi _{m}(x)\right]\;$ » et l'éclairement en $\;M(x)\;$ s'obtient par « $\;{\mathcal {E}}(x)=\sum \limits _{m=1}^{m_{\text{max}}}{\mathcal {E}}_{m}(x)=$ $K\,\left\lbrace \sum \limits _{m=1}^{m_{\text{max}}}\left[A_{m}(x)\right]^{2}\right\rbrace \;$ » ;
la répartition des éclairements de chaque harmonique suivant leur fréquence ^[28] « $\;{\mathcal {E}}_{m}(x)=K\,\left[A_{m}(x)\right]^{2}\;$ » définit l'« éclairement spectral » ^[29].

Cas d'une onde lumineuse à spectre d'amplitude continu

De nombreux cas de lumières correspondent à une superposition d'ondes harmoniques dont la fréquence prend une valeur quelconque d'un intervalle continu, la somme discrète définissant toute superposition étant alors remplacée par une intégrale sur les « valeurs de fréquences de l'intervalle continu » ^[30] selon « $\;s(x,\,t)=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}A(f,\,x)\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t+\varphi (f,\,x)\right]\;df\;$ » ^[31], les bornes d'intégration pouvant prendre $-$ suivant le type de lumière $-$ toute valeur comprise entre $\;0\;$ et $\;\infty \;$ ^[32] ;
dans ces conditions l'« éclairement au point $\;M(x)\;$ s'écrit $\;{\mathcal {E}}(x)=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}{\mathcal {E}}(f,\,x)\,df\;$ » dans laquelle la fonction « $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)=$ $K\,\left[A(f,\,x)\right]^{2}\;$ » ^[33] définit l'« éclairement spectral au point $\;M(x)\;$ » ^[34], l'« éclairement spectral $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)\;$ s'exprimant en $\;W\cdot m^{-2}\cdot s\;$ ou $\;J\cdot m^{-2}\;$ », son graphe en fonction de la fréquence définissant le « spectre d'éclairement » ^[35] ;

     il n'est pas rare que l'« on remplace la fréquence $\;f\;$ par la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ » en utilisant « $\;\lambda _{0}={\dfrac {c}{f}}\;$ ou $\;f={\dfrac {c}{\lambda _{0}}}\;$ » ce qui donne par différenciation « $\;df=-{\dfrac {c}{\lambda _{0}^{2}}}\,d\lambda _{0}\;$ » soit « $\;{\mathcal {E}}(x)=$ $\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}{\mathcal {E}}(f,\,x)\,df=-\displaystyle \int _{\lambda _{0,\,1}}^{\lambda _{0,\,2}}{\mathcal {E}}\!\left({\dfrac {c}{\lambda _{0}}},\,x\right){\dfrac {c}{\lambda _{0}^{2}}}\,d\lambda _{0}=\displaystyle \int _{\lambda _{0,\,2}}^{\lambda _{0,\,1}}{\mathcal {E}}\!\left({\dfrac {c}{\lambda _{0}}},\,x\right){\dfrac {c}{\lambda _{0}^{2}}}\,d\lambda _{0}\;$ » ^[36] ou,
     il n'est pas rare en définissant l'« éclairement spectral relativement à la longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}\;$ selon $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)={\mathcal {E}}\!\left({\dfrac {c}{\lambda _{0}}},\,x\right){\dfrac {c}{\lambda _{0}^{2}}}\;$ » donnant finalement le « lien entre les éclairements spectraux relativement à la longueur d'onde dans le vide et relativement à la fréquence » « $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)$ $={\mathcal {E}}(f,\,x)\,{\dfrac {f}{\lambda _{0}}}\;$ » ^[37],
     il n'est pas rare l'éclairement spectral relativement à la longueur d'onde dans le vide s'exprimant en « $\;W\cdot m^{-3}\;$ » ^[38] et
     il n'est pas rare l'« éclairement au point $\;M\;$ s'écrivant encore $\;{\mathcal {E}}(x)=\displaystyle \int _{\lambda _{0,\,2}}^{\lambda _{0,\,1}}{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)\,d\lambda _{0}\;$ ».

Différentes sources lumineuses et leur éclairement spectral

On peut distinguer trois types de sources, les « sources de lumière blanche », les « lampes spectrales » et les « lasers ».

Sources de lumière blanche

Sources fournissant un spectre continu contenant toutes les longueurs d'onde dans le vide du domaine du visible, exemples : lumière solaire, lumière émise par les « lampes à filament » ^[39], lumière émise par les lampes « à économie d'énergie » ^[40] $\;{\big (}$ voir ci-dessous ${\big )}$ .

Spectre d'éclairement de la lumière solaire et d'une lampe à filament
Spectre d'éclairement de la lumière émise par une lampe à économie d'énergie

Lampes spectrales

Ampoules contenant une vapeur dans laquelle on provoque une décharge électrique entre deux électrodes,

elles fournissent un spectre $\;{\big (}$ discret ${\big )}\;$ de raies fines caractéristiques de l'élément constituant la vapeur, exemples :

lampe à vapeur de mercure fournissant une lumière d'aspect violet, contenant les longueurs d'onde dans le vide $\;404,7\;nm\;$ « violet », $\;435,8\;nm\;$ « indigo », $\;546,1\;nm\;$ « vert », $\;577,1\;nm\;{\text{et}}\;579,1\;nm\;$ « doublet jaune-orangé », $\;\ldots$ , enfin une raie ultra-violette assez importante $\;{\big (}$ voir le spectre d'éclairement ci-contre ${\big )}$ ;
lampe à vapeur de sodium fournissant une lumière d'aspect « jaune-orangé », contenant essentiellement les longueurs d'onde dans le vide $\;589,0\;nm\;$ et $\;589,6\;nm\;$ « doublet jaune » utilisée pour l'éclairage urbain entre autres.

Faisceaux lasers

LASER : $\;big($ acronyme de l'anglais « Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation » signifiant « amplification de la lumière par émission stimulée de rayonnement » ${\big )}\;$ on observe une émission stimulée provenant d'atomes excités quand on envoie une onde de fréquence très voisine de celle de leur désexcitation, celle-ci ne peut être absorbée si les atomes sont excités mais elle stimule leur désexcitation, l'énergie lumineuse émise venant s'ajouter à celle de l'onde envoyée $\;{\big (}$ voir figure ci-dessous à gauche ${\big )}$ ;
pour que le fonctionnement soit continu il faut que les atomes soient en majorité dans leur état excité, or ils se désexcitent de façon stimulée, d'où la nécessité de fournir constamment un apport d'énergie aux atomes pour les renvoyer dans leur état excité $\;{\big (}$ par « pompage optique » ^[41] $-$ voir figure ^[42] ci-dessous à droite ${\big )}$ ;

Description du phénomène d'émission stimulée
pompage optique dans le laser He - Ne et les trois émissions stimulées possibles

     d'autre part le laser est un amplificateur de lumière,
     on obtient cet effet en réinjectant la sortie de l'amplificateur à son entrée, la « distance séparant la sortie de l'entrée étant un multiple de $\;{\dfrac {\lambda _{0}}{2}}\;$ »,
     on obtient cet effet permettant le « phénomène de résonance des ondes stationnaires » ainsi obtenues et par suite l'amplification ;
     le laser émet une onde monochromatique $\;{\big (}$ donc une seule raie spectrale très fine ${\big )}\;$
     le laser émet une onde avec une divergence de faisceau très réduite $\;{\big (}$ faisceau quasi « parallèle » ^[43] ${\big )}$ .

État de polarisation des ondes lumineuses

Lumière naturelle

     La lumière naturelle $\;{\big (}$ lumière solaire ou provenant de lampes diverses comme celles à filament ${\big )}\;$ est « non polarisée » c.-à-d. que
     le champ électrique $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ a une direction quelconque dans le plan transverse passant par $\;M$ , « direction variant aléatoirement au cours du temps de façon isotrope » et que
     le champ magnétique $\;{\vec {B}}(M,\,t)\;$ prend aussi une direction quelconque dans le plan transverse passant par $\;M$ , mais de « direction en accord avec celle de $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ » $\;{\Big [}$ voir disposition de $\;{\vec {E}}(M,\,t)$ , de $\;{\vec {B}}(M,\,t)\;$ et du vecteur d'onde $\;{\vec {k}}\;$ d'une composante monochromatique quelconque d'une onde plane naturelle ^[44] dans le schéma représenté ci-contre ${\Big ]}$ ;
     la lumière naturelle a donc une « symétrie de révolution » ^[45] autour de sa direction de propagation.

Polariseur (ou polaroïd)

Un polariseur $\;{\big (}$ ou polaroïd ${\big )}\;$ est une lame qui, traversée par une lumière se propageant perpendiculairement à ses faces :

transmet la totalité de l'énergie associée au champ électrique $\;\parallel \;$ à une direction particulière des plans transverses considérés, direction appelée « direction de transmission privilégiée » et
absorbe la totalité de l'énergie associée au champ électrique $\;\perp \;$ à cette direction.

Notant « $\;{\vec {u}}_{P}\;$ le vecteur unitaire définissant la direction de transmission privilégiée », nous pouvons vérifier les propriétés ci-dessus avec l'une des rares sources naturellement polarisée « une diode laser » ^[46] ;

plaçant un écran perpendiculairement au faisceau émis par une diode laser à une distance approximative de

\;2\,m\;

et interposant un polariseur monté sur un support tournant dont la position angulaire est repérée par une aiguille solidaire du support relativement à un rapporteur fixe gradué de

\;0\;{\text{à}}\;360\,{\text{°}}\;

^[47], on observe qu'il existe

deux positions angulaires séparées de

\;180\,{\text{°}}\;

pour lesquelles l'onde est intégralement absorbée et

deux autres positions angulaires décalées de

\;90\,{\text{°}}\;

pour lesquelles la puissance lumineuse moyenne reçue par l'écran est maximale, ce qui permet de conclure au « caractère polarisé rectilignement » ^[48] de l'onde émise par la diode laser ;

soit

\;\alpha _{0}\;

l'angle correspondant à une position de l'aiguille quand la transmission est intégrale ^[49], les positions repérées par un angle

\;\alpha \neq \alpha _{0}\;

à

\;{\dfrac {\pi }{2}}\;

près correspondent à une puissance lumineuse moyenne reçue partielle, le champ électrique

\;{\vec {E}}(M,\,t)\;

se décomposant sur la direction

\;{\vec {u}}_{P}\;

ainsi que sur sa direction

\;\perp \;

dans le plan du polaroïd

\;{\vec {u}}_{PP}\;

^[50] et

seule la composante sur

\;{\vec {u}}_{P}\;

«

\;{\vec {E}}(M,\,t)\!\cdot \!{\vec {u}}_{P}=E(M,\,t)\,\cos(\alpha _{0}-\alpha )\;

» de valeur absolue strictement inférieure à «

\;\vert E(M,\,t)\vert =

\left\Vert {\vec {E}}(M,\,t)\right\Vert \;

» étant intégralement transmise

\;{\big (}

voir figure ci-contre

{\big )}

,

l'autre «

\;{\vec {E}}(M,\,t)\!\cdot \!{\vec {u}}_{PP}=E(M,\,t)\,\sin(\alpha _{0}-\alpha )\;

» étant intégralement absorbée.

Production d'une onde lumineuse polarisée rectilignement

On utilise un polaroïd qui joue son rôle premier de « polariseur » : un polaroïd $\;{\big (}$ ou polariseur ${\big )}\;$ transforme une lumière naturelle en lumière polarisée rectilignement selon sa direction de transmission privilégiée $\;{\vec {u}}_{P}\;$ ^[51] ;

le champ électrique

\;{\vec {E}}(M,\,t)\;

d'une lumière non polarisée ayant une direction aléatoire dont seule la composante sur

\;{\vec {u}}_{P}\;

est totalement transmise, la composante

\;\perp \;

à

\;{\vec {u}}_{P}\;

étant totalement absorbée, il ne reste, à la sortie du polariseur, qu'un champ électrique selon

\;{\vec {u}}_{P}

;

la répartition isotrope de la direction de

\;{\vec {E}}(M,\,t)\;

avant le polariseur fait que la puissance lumineuse moyenne de l'onde à la sortie de ce dernier représente

\;50\,\%\;

de celle de l'onde à son entrée,

\;50\,\%\;

ayant été absorbée.

     Comme vu au paragraphe « polariseur (ou polaroïd) » plus haut dans ce chapitre, un polaroïd peut aussi transformer une lumière polarisée rectilignement en une lumière moins puissante polarisée rectilignement suivant une autre direction ;
     dans le cas exposé le paragraphe précité ci-dessus où « la direction liée au polaroïd fait un angle $\;\alpha _{0}-\alpha \;$ relativement à celle correspondant au maximum de transmission »,
     dans le cas exposé le paragraphe précité ci-dessus « la direction de polarisation de $\;{\vec {E}}'(M,\,t)\;$ à la sortie du polaroïd a tourné de l'angle $\;\alpha _{0}-\alpha \;$ relativement à celle de $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ à son entrée » et
     dans le cas exposé le paragraphe précité ci-dessus « la puissance lumineuse moyenne de l'onde de sortie est celle de l'onde d'entrée multipliée par le facteur $\;\cos ^{2}(\alpha _{0}-\alpha )\;$ » ^[52].

Détection d'une onde lumineuse polarisée rectilignement

     On utilise là encore un polaroïd qui joue son rôle second d'« analyseur » ^[53] :
     « une onde lumineuse arrivant perpendiculairement sur un polaroïd $\;{\big (}$ ou analyseur ${\big )}\;$ et qui est totalement absorbée pour deux positions angulaires opposées de ce dernier est une onde polarisée rectilignement dont la direction de polarisation est $\;\perp \;$ à la direction de transmission privilégiée de l'analyseur lors de l'absorption » ^[54] ;
     revoir l'expérience avec la diode laser $\;\ldots$

Démarche expérimentale autour de la loi de Malus

Énoncé de la loi de Malus

Loi de Malus

Quand une onde lumineuse polarisée rectilignement traverse un polaroïd telle que la direction de polarisation de l'onde fasse l'angle

\;\alpha \;

avec la direction de transmission privilégiée du polaroïd, l'éclairement

\;{\mathcal {E}}'\;

de l'onde transmise est liée à l'éclairement

\;{\mathcal {E}}\;

de l'onde incidente

par «

\;{\mathcal {E}}'={\mathcal {E}}\;\cos ^{2}(\alpha )\;

».

Démonstration de la loi de Malus

Soit $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ le champ électrique de l'onde lumineuse polarisée rectilignement et arrivant perpendiculairement sur le polaroïd en faisant l'angle $\;\alpha \;$ avec la direction de transmission privilégiée $\;{\vec {u}}_{P}$ ;

décomposant ce champ sur $\;{\vec {u}}_{P}\;$ et sur $\;{\vec {u}}_{PP}\;$ vecteur unitaire $\;\perp \;$ au précédent situé dans le plan du polaroïd ^[50], nous en déduisons l'expression du champ électrique de l'onde incidente « $\;{\vec {E}}(M,\,t)=$ $E(M,\,t)\,\cos(\alpha )\,{\vec {u}}_{P}+E(M,\,t)\,\sin(\alpha )\,{\vec {u}}_{PP}\;$ » dans laquelle seule la composante sur $\;{\vec {u}}_{P}\;$ est transmise ;

à la sortie du polaroïd, le champ électrique de l'onde transmise polarisée rectilignement s'écrit alors « $\;{\vec {E}}'(M,\,t)=E(M,\,t)\,\cos(\alpha )\,{\vec {u}}_{P}\;$ » et nous en déduisons que « les amplitudes des harmoniques du champ électrique transmis s'obtiennent à partir de celles des harmoniques de même fréquence du champ électrique incident en multipliant ces dernières par le facteur $\;\cos(\alpha )\;$ » ;

d'après la définition de l'éclairement d'une onde en un point $\;M\;$ « $\;{\mathcal {E}}(M)=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}{\mathcal {E}}(f,\,M)\,df=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}K\,\left[A(f,\,M)\right]^{2}\,df\;$ » nous en déduisons l'« éclairement de l'onde transmise en un point $\;M\;$ situé au-delà du polariseur $\;{\mathcal {E}}'(M)=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}K\,\left[A'(f,\,M)\right]^{2}\,df=$ $\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}K\,\left[A(f,\,M)\,\cos(\alpha )\right]^{2}\,df\;$ » et, en notant « $\;{\mathcal {E}}(M)$ $=\displaystyle \int _{f_{1}}^{f_{2}}K\,\left[A(f,\,M)\right]^{2}\,df\;$ l'éclairement de l'onde incidente en ce même point $\;M\;$ en absence de polariseur », nous obtenons effectivement la loi de Malus ^[55] « $\;{\mathcal {E}}'(M)={\mathcal {E}}(M)\,cos^{2}(\alpha )\;$ » après factorisation par $\;cos^{2}(\alpha )\;$ dans l'expression de $\;{\mathcal {E}}'(M)$ .

Vérification expérimentale de la loi de Malus

On peut utiliser un photorécepteur pour mesurer l'éclairement « relatif » ^[56] $-$ par exemple une photodiode en mode photovoltaïque aux bornes de laquelle on mesure la tension à l'aide d'un multimètre numérique $-$ la variation de la direction de polarisation étant réalisée grâce à un analyseur, l'onde polarisée l'étant naturellement ou obtenue par l'action d'un polariseur sur une onde non polarisée $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre ${\big )}$ :

On repère d'abord une position angulaire $\;\theta _{0}\;$ de l'analyseur correspondant au maximum de puissance lumineuse moyenne transmise en notant la valeur de la tension $\;U_{0}\;$ mesurée par le multimètre branché sur la photodiode puis

on fait tourner progressivement $-$ dans le sens croissant $-$ l'analyseur en notant simultanément sa position angulaire $\;\theta \;$ ${\big (}$ l'angle de rotation par rapport à la position correspondant au maximum de puissance lumineuse moyenne étant $\;\alpha =$ $\theta -\theta _{0}{\big )}\;$ et la valeur de la tension $\;U\;$ mesurée par le multimètre ;

pour vérifier la loi de Malus il reste à « tracer $\;{\dfrac {U}{U_{0}}}\;$ en fonction de $\;\cos ^{2}(\alpha )\;$ » et

pour vérifier la loi de Malus il reste à « vérifier que c'est une droite croissante de pente $\;1\;$ ».

Retour sur la transmission d'une lumière naturelle par un polariseur idéal

Nous avons affirmé que $\;50\,\%\;$ de l'éclairement d'une lumière naturelle $\;{\big (}$ donc non polarisée ${\big )}\;$ était transmis à la sortie d'un polariseur idéal en effet :

toutes les directions de polarisation du champ électrique de l'onde se réalisant pratiquement de façon aléatoire avant la traversée du polariseur, quand la direction de

\;{\vec {E}}\;

fait l'angle

\;\theta \;

avec la direction

\;{\vec {u}}_{P}\;

de transmission privilégiée, l'« éclairement transmis correspondant vaut

\;{\mathcal {E}}_{0}\,\cos ^{2}(\theta )\;

» ^[57] ;

il convient alors de faire la moyenne sur toutes les valeurs de

\;\theta \;

« également probables » ^[58] en utilisant «

\;\left\langle \cos ^{2}(\theta )\right\rangle =

{\dfrac {1}{2\,\pi }}\,\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }\cos ^{2}(\theta )\,d\theta \;

» ^[59] soit «

\;\left\langle \cos ^{2}(\theta )\right\rangle ={\dfrac {1}{2}}\;

» d'où l'« éclairement de l'onde transmise représentant

\;50\,\%\;

de l'éclairement de l'onde incidente ».

Remarque : En fait le cœfficient de transmission par un polariseur réel est plus faible à cause des pertes par réflexion entre autres.

Notes et références

↑ Une onde optique $\;{\big (}$ et il en est de même d'une onde électromagnétique ${\big )}\;$ peut traverser des milieux, ces derniers $-$ dans le cas d'une onde optique $-$ sont dits « transparents » $\;{\big [}$ dans le cas contraire ils sont dits « opaques » ${\big ]}$ .
↑ Ce n'est toutefois pas le cas dans les milieux « homogènes » où l'onde électromagnétique $\;{\big (}$ et donc optique ${\big )}\;$ est encore transversale.
↑ « Moyenne temporelle » car la fréquence des ondes lumineuses est trop élevée pour qu'un récepteur réagisse avec la même rapidité $-$ l'inertie du récepteur est trop grande pour une réponse instantanée $-$ il répond donc en valeur moyenne temporelle $\;{\big (}$ on définit le temps de réponse $\;\tau \;$ du récepteur et la moyenne est faite sur cette durée qui correspond à un très grand nombre de périodes ${\big )}$ .
↑ La grandeur vibrante est en fait le champ électrique $\;{\big [}$ ou magnétique ${\big ]}\;$ et devrait être notée « $\;{\vec {E}}(x_{\text{récepteur}},\,t)\;$ » $\;{\big [}$ ou « $\;{\vec {B}}(x_{\text{récepteur}},\,t)\;$ » ${\big ]}\;$ mais certaines propriétés sont indépendantes du caractère vectoriel de la grandeur vibrante et on note cette dernière « $\;s(x_{\text{récepteur}},\,t)$ » ; en faisant ceci on adopte le « modèle scalaire » de la lumière $\;{\big (}$ on fait cela pour simplifier les notations ${\big )}$ .
↑ « $\;\left\langle \right\rangle \;$ » signifie « valeur moyenne temporelle », la définition de la « moyenne temporelle de $\;g(t)\;$ sur une durée $\;\tau \;$ » est « $\;\left\langle g(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{\tau }}\displaystyle \int _{0}^{\tau }g(t)dt\;$ ».
↑ Le calcul conduit à « $\;\left\langle \left[s(x_{\text{récepteur}},\,t)\right]^{2}\right\rangle ={\dfrac {1}{\tau }}\displaystyle \int _{0}^{\tau }\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}\cos ^{2}\!\left[2\,\pi \,f\,t+\varphi (x_{\text{récepteur}})\right]dt\;$ » que l'on intègre en linéarisant selon « $\;\cos ^{2}(\theta )\;$ selon $\;{\dfrac {1+\cos(2\,\theta )}{2}}\;$ », la valeur moyenne de « $\;{\dfrac {\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}\cos \!\left[4\,\pi \,f\,t+\varphi (x_{\text{récepteur}})\right]}{2}}\;$ étant nulle » car admettant une primitive en « $\;{\dfrac {\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}\sin \!\left[4\,\pi \,f\,t+\varphi (x_{\text{récepteur}})\right]}{8\,\pi \,f}}\;$ » à prendre entre $\;0\;$ et $\;\tau =n\,T\;$ où $\;n\;$ est très grand $\;{\big (}T$ étant très petite ${\big )}\;$ et celle de l'autre terme $\;{\dfrac {\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}}{2}}\;$ étant égale à lui-même dans la mesure où ce terme est constant $\;\ldots$
↑ Lors de la propagation, la puissance est distribuée sur toute la surface d'onde au point considéré, ceci implique une puissance par unité de surface inversement $\;\propto \;$ à l'aire de la surface d'onde $\;4\,\pi \,d^{2}\;$ ${\big (}$ aire d'une sphère de rayon $\;d{\big )}\;$ et comme la puissance par unité de surface est proportionnelle au carré de l'amplitude, cette dernière est inversement $\;\propto \;$ à $\;d$ .
↑ C.-à-d. constitué de deux semi-conducteurs juxtaposés l'un dopé $\;P\;$ ${\big (}$ à porteurs de charges mobiles les « trous $\;p\;$ » ${\big )}\;$ et l'autre dopé $\;N\;$ ${\big (}$ à porteurs de charges mobiles les « électrons $\;n\;$ » ${\big )}$ , la jonction étant une zone intermédiaire les séparant où les trous et les électrons s'annihilent et où il reste uniquement les charges fixes $\;{\big (}$ charge $\;<0\;$ du côté $\;P\;$ et $\;>0\;$ du côté $\;N{\big )}\;$ ce qui crée une d.d.p. aux bornes de cette jonction $\;V_{N,\,{\text{jonct}}}-V_{P,\,{\text{jonct}}}=$ $U_{\text{seuil}}>0$ ;
   en absence de polarisation de la diode imposée de l'extérieur, les porteurs $\;p\;$ de la zone $\;P\;$ étant d'énergie potentielle $\;e\,V_{P,\,{\text{jonct}}}<e\,V_{N,\,{\text{jonct}}}\;$ ne peuvent pas franchir cette barrière d'énergie potentielle et il en est de même des porteurs $\;n\;$ de la zone $\;N\;$ d'énergie potentielle $\;-e\,V_{N,\,{\text{jonct}}}<-e\,V_{P,\,{\text{jonct}}}\;$ d'où l'absence de courant hors polarisation externe ;
   par contre si la polarisation externe $\;{\big (}$ nécessairement telle que $\;V_{P}>V_{N}\;$ pour qu'il y est possibilité de courant $-$ la polarisation est alors dite « directe » ${\big )}\;$ est suffisante, c.-à-d. si $\;U_{PN}>U_{\text{seuil}}$ , pour permettre aux porteurs des différentes zones d'avoir l'énergie suffisante pour franchir la barrière d'énergie potentielle, la diode est traversée par un courant de $\;P\;$ vers $\;N$ ,
   à défaut il ne peut y avoir de courant $\;{\big (}$ cas de la polarisation directe avec $\;U_{PN}<U_{\text{seuil}}\;$ ou cas de la polarisation inverse ${\big )}$ .
↑ On peut aussi avoir un photon arrivant sur la jonction et créant une paire « trou $-$ électron » séparée par le champ électrique interne à la jonction, le trou se retrouvant dans la zone $\;P\;$ et l'électron dans la zone $\;N\;$ avec une énergie suffisante pour franchir la barrière de potentiel extérieur $\;{\big (}$ voir figure ${\big )}$ .
↑ Les photons reçus n'étant absorbés que s'ils rencontrent un porteur $\;\ldots$
↑ Lequel résulte des photons arrivant sur la photodiode et absorbés par les trous du côté $\;P\;$ ou par les électrons du côté $\;N\;$ ${\big (}$ ou encore un photon arrivant sur la jonction et créant une paire « trou $-$ électron » séparée par le champ électrique interne à la jonction, le trou se retrouvant dans la zone $\;P\;$ et l'électron dans la zone $\;N{\big )}\;$ ce qui leur permettent de circuler dans le conducteur ohmique de $\;N\;$ vers $\;P$ .
↑ Cela dépend bien sûr de la tension imposée aux bornes de la photorésistance $\;{\big (}$ usuellement entre $\;0,5\;$ et $\;1\,V{\big )}$ ;
   en supposant que la puissance moyenne reçue provienne d'une source de $\;1\;W\!\cdot \!m^{-2}\;$ et que la surface sensible soit de $\;25\,mm^{2}$ , cette dernière reçoit $\;25\;\mu W\;$ d'où la résistance de la photorésistance $\;R={\dfrac {1}{\left[25\;10^{-6}\right]^{0,5}}}=200\,\Omega \;$ si $\;n=0,5\;$ ${\big (}$ avec un cœfficient de proportionnalité supposé égal à $\;1\,\Omega \!\cdot \!W^{0,5}{\big )}$ , l'intensité, sous une tension de $\;U=0,5\,V$ , étant alors égale à $\;I={\dfrac {U}{R}}={\dfrac {0,5}{200}}=$ $2,5\,10^{-3}\;A=2,5\,mA$ ;
   on donne préférentiellement les valeurs de résistances suivant la puissance lumineuse moyenne reçue par $\;m^{2}$ :
      « en obscurité $\;R\simeq 100\,M\Omega \;$ »,
      « sous une puissance lumineuse moyenne par $\;m^{2}\;$ de $\;1\;W\!\cdot \!m^{-2}$ , $\;R\simeq 200\,\Omega \;$ » $\ldots$
↑ L'énergie lumineuse s'accompagne d'énergie thermique surtout dans le domaine du rouge et des infra-rouges.
↑
Un thermocouple utilise l'« effet Seebeck » c.-à-d. l'apparition d'une d.d.p. dépendant de la différence de température entre une température à mesurer et une température de référence ; le thermocouple est constitué de deux fils de matériaux différents, soudés en une de leur extrémité placée à la température à déterminer $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ extrémité commune appelée « soudure chaude » ${\big )}$ ${\big )}$ , les deux autres extrémités restant libres et étant mises à la température de référence $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ ensemble de ces deux extrémités libres appelé « soudure froide » ${\big )}$ ${\big )}$ , on détermine alors une d.d.p. aux bornes des extrémités libres approximativement $\;\propto \;$ $\;\propto \;$ à la d.d.T. $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ différence de température ${\big )}$ ${\big )}$ ;
exemples de matériaux à fort cœfficient de Seebeck en valeur absolue :
- le fer a un cœfficient de Seebeck de $\;+11,6\;\mu V\!\cdot \!K^{-1}\;$ ${\big (}$ d.d.p. de même signe que la d.d.T. ${\big )}$ ,
- le nickel a un cœfficient de Seebeck de $\;-8,5\;\mu V\!\cdot \!K^{-1}\;$ ${\big (}$ d.d.p. de signe contraire à la d.d.T. ${\big )}$ $\;\ldots$
Thomas Johann Seebeck (1770 - 1831) physicien allemand ayant découvert en $\;1810\;$ $\;1810\;$ la sensibilité d'une solution aqueuse d'oxyde argentique dont l'usage a permis par la suite la photographie couleur puis en $\;1821\;$ $\;1821\;$ l'effet Seebeck $\;\ldots$ $\;\ldots$
↑ Il existe aussi des thermopiles à thermocouples montés en série $\;{\big (}$ simplement évoqué ${\big )}$ .
↑ Mais le plus gros inconvénient est que les différentes longueurs d'onde ne créent pas le même effet thermique, effet plus important du côté du rouge et des infra-rouges.
↑ Bryce Edward Bayer (1929 - 2012) scientifique américain inventeur de la matrice de Bayer breveté en $\;1976$ , invention ayant permis l'essor de la photographie numérique.
↑ Raison de sensibilité de l'œil.
↑ George Elwood Smith (né en 1930) est un physicien américain connu essentiellement pour son invention $-$ partagée avec Willard Sterling Boyle $-$ du capteur C.C.D., ce qui leur valut de partager une moitié de prix Nobel de physique en $\;2009$ .
↑ Willard Sterling Boyle (1924 - 2011) est un physicien canadien, inventeur du 1^er laser à rubis à émission continue en $\;1962$ , puis a participé au programme Apollo pendant deux ans et de retour aux Laboratoires Bell a travaillé au développement des circuits intégrés ; essentiellement connu pour son invention partagée avec George Elwood Smith du capteur C.C.D., ce qui leur valut à chacun un quart de prix Nobel de physique en $\;2009$
↑ L'autre moitié étant revenu à « Charles Kuen Kao (1933 - 2018) », ingénieur américano-britannique d'origine chinoise, ayant reçu en $\;2009\;$ une moitié de prix Nobel de physique décerné « pour ses réalisations remarquables en matière de transmission de la lumière dans les fibres pour la communication optique ».
↑ En adoptant le modèle « scalaire » de la lumière car le caractère vectoriel ne joue aucun rôle ici et en supposant la propagation unidirectionnelle suivant l'axe $\;Ox$ .
↑ Le cœfficient de proportionnalité étant $\;\propto \;$ à l'aire de la surface.
↑ Obtenu en divisant la puissance lumineuse moyenne traversant la surface $\;({\mathcal {S}}_{M})\;$ placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde en $\;M\;$ par l'aire de cette surface, d'où le cœfficient de proportionnalité ne dépend plus de l'aire de la surface.
↑ Qui englobe le facteur $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ et que l'on ne précise en général pas $\;{\big (}$ car ce sont les éclairements relatifs qui nous intéressent $-$ savoir par exemple si un éclairement est double d'un autre $-$ et par suite la constante $\;K\;$ disparaît dans le rapport ${\big )}$ .
↑ Dans le cas général les fréquences des harmoniques appartiennent à un intervalle continu de fréquences $\;{\big (}$ par exemple la lumière solaire ${\big )}$ ,
dans des cas particuliers elles ne correspondent qu'à quelques valeurs de cet intervalle $\;{\big (}$ par exemple la lumière d'émission des lampes à vapeur métallique ${\big )}$ .
↑ Cela résulte du « théorème de Parseval » introduit au chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ici en fonction de $\;m$ .
↑ Ou encore le « spectre d'éclairement » c.-à-d. la courbe donnant l'éclairement en fonction de la fréquence, il s'agit, dans le cas présent, d'un spectre de raies tout comme le spectre d'amplitude.
↑ Ou de pulsations $\;{\big (}$ temporelles ${\big )}$ .
↑ « $\;A(f,\,x)\;$ » est la « densité d'amplitude par unité de fréquence », la « grandeur ayant la même homogénéité que $\;s(x,\,t)\;$ » étant « $\;A(f,\,x)\,df\;$ ».
↑ Dans le cas où la borne supérieure serait l'infini, l'intégrale sur un segment devient une intégrale généralisée ou impropre $\;{\big [}$ voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , celle-ci étant définie comme la limite de l'intégrale sur un segment à borne supérieure finie quand cette dernière tend vers l'infini $\;{\big (}$ si cette limite n'existe pas, l'intégrale impropre ne peut être définie et on dit que l'intégrale diverge ${\big )}$ ;
on a donc « $\;\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim \limits _{b\rightarrow \infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\;$ ».
↑ Encore notée « $\;{\mathcal {E}}_{f}(x)\;$ ».
↑ L'éclairement spectral « $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)\;$ » est une « densité d'éclairement par unité de fréquence », la « grandeur ayant la même homogénéité que $\;{\mathcal {E}}(x)\;$ » étant « $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)\,df\;$ ».
↑ Lequel est continu dans le cas présent.
↑ $\;f_{1}<f_{2}\;$ correspondant à $\;\lambda _{0,\,1}>\lambda _{0,\,2}$ , on permute les bornes d'intégration et on change le signe de la fonction à intégrer.
↑ « $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)\,df\;$ ayant l'homogénéité d'un éclairement », il en est de même de « $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)\,f\;$ » et par suite de « $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)\,\lambda _{0}\;$ » car « $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)=$ ${\mathcal {E}}(f,\,x)\,{\dfrac {f}{\lambda _{0}}}\;$ », l'« éclairement spectral relativement à la longueur d'onde dans le vide $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)\;$ encore noté $\;{\mathcal {E}}_{\lambda _{0}}(x)\;$ » représente la « densité spectrale d'éclairement relativement à la longueur d'onde dans le vide ».
↑ En effet « $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)={\mathcal {E}}(f,\,x)\,{\dfrac {f}{\lambda _{0}}}\;$ » s'exprime en $\;W\cdot m^{-2}\cdot s\times {\dfrac {s^{-1}}{m}}=W\cdot m^{-3}\;$ ».
↑ Fonctionnent sur le principe de l'émission thermique, sont assez pauvres en courte longueur d'onde $\;{\big (}$ donnant de la lumière jaunâtre ${\big )}\;$ mais riches en infra-rouges d'où un chauffage nuisible.
↑ À base de tubes à décharge fournissant une lumière à spectre discret, laquelle est partiellement absorbée par une substance fluorescente qui réémet une lumière au spectre continu ; finalement le spectre est continu avec les pics d'émission du tube à décharge.
La fluorescence est une émission lumineuse suivant immédiatement l'excitation d'une molécule laquelle est excitée le plus souvent par absorption de lumière ;
à distinguer de la phosphorescence où l'émission lumineuse se fait avec retard, lequel peut être grand.
↑ Élaboré en $\;1950\;$ par Alfred Kastler (1902 - 1984) physicien français, prix Nobel de physique en $\;1966\;$ « pour la découverte et le développement de méthodes optiques pour l'étude des résonances hertziennes dans les atomes ».
↑ Quand un électron de l'hélium passe de son état fondamental $\;1s\;$ à un 1^er état excité $\;2s$ , l'énergie qu'il acquiert dépend de l'état quantique de l'atome : l'écriture $\;2S\;$ a la même signification que $\;2s\;$ mais pour l'atome complet $\;{\big (}$ plus précisément le nombre quantique caractérisant le moment cinétique orbital total est nul ${\big )}$ ,
          le chiffre en exposant à gauche de $\;S\;$ est $\;2\,S_{s}+1\;$ avec $\;S_{s}\;$ le nombre quantique caractérisant le spin électronique total de l'atome, ainsi $^{1}\!S\;$ correspond à $\;S_{s}=0\;$ état singlet et $^{3}\!S\;$ correspond à $\;S_{s}=1\;$ état triplet, enfin
          le chiffre en indice à droite de $\;S\;$ est $\;L\;$ le nombre quantique caractérisant le moment cinétique électronique total de l'atome, ainsi $\;S_{0}\;$ correspond à $\;L=0\;$ et $\;S_{1}\;$ correspond à $\;L=1\;$ $\dots$
   Ceci n'étant qu'un « survol à très haute altitude » des notions relatives à l'addition des moments cinétiques ou de spins ou des deux entre eux.
   Les atomes d'hélium excités dans l'état $\;2\,^{1}\!S_{0}\;$ ou $\;2\,^{3}\!S_{1}\;$ excitent par collision des atomes de Néon de leur état fondamental $\;2\,p\;$ aux états $\;5\,s\;$ ou $\;4\,s\;$ d'énergie très voisine à celle des niveaux excités des atomes d'hélium ; le peuplement des niveaux excités des atomes de Néon $\;\searrow \;$ rapidement par émission stimulée et $\;\nearrow \;$ rapidement par collision avec les atomes d'hélium excités $\;{\big (}$ dont l'excitation est maintenue par décharge ${\big )}$ , on aboutit à un équilibre correspondant à un peuplement inversé des niveaux d'énergie des atomes de Néon relativement à leur niveau fondamental $\;{\big (}$ définition du pompage optique ${\big )}$ .
↑ Un faisceau parallèle correspondant à une source ponctuelle à l'infini.
↑ Dans le cas d'une onde plane se propageant dans notre espace physique tridimensionnel orienté à droite $\;{\big [}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteur » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big )}$ , $\;{\vec {B}}(M,\,t)\;$ est orthogonal à $\;{\vec {E}}(M,\,t)$ , le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {k}},\,{\vec {E}},\,{\vec {B}}\right\rbrace \;$ étant orthogonal « direct » $\;{\big [}$ c.-à-d. suivant la règle du « tire-bouchon de Maxwell », le tire-bouchon tournant du 1^er vecteur vers le 2^ème et se déplaçant dans le sens du 3^ème $-$ voir aussi d'autres règles équivalentes pour déterminer le caractère direct d'un trièdre dans un espace orienté à droite au chap. $7$ dans le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
↑ Dans la mesure où toutes les directions possibles de $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ sont équiprobables.
↑ C'est une diode à jonction $\;NP\;$ particulière polarisée en direct dans laquelle la jonction est émettrice par « électroluminescence » $\;{\big [}$ se dit d'une émission de lumière résultant d'une annihilation d'une paire « électron – trou », le fort courant traversant la diode quand elle est polarisée en direct assurant le peuplement de la bande de conduction de la zone $\;N\;$ par des électrons et celui de la zone $\;P\;$ par des trous $\;{\big (}$ peuplement s'opposant au dépeuplement dû à l'annihilation de paires « électron – trou » conduisant à l'émission de lumière ${\big )}\;$ c.-à-d. réalisant le pompage optique nécessaire au fonctionnement de tout laser ${\big ]}$ ; de plus les extrémités de la diode jouant le rôle de miroirs réfléchissants, cela permet un effet amplificateur ;
composant essentiel des lecteurs et graveurs de disques optiques, elle est encore utilisée dans les dispositifs électroniques de mesure de distance ou de vitesse, de guidage ou pointage précis.
↑ Le plus souvent la direction de l'aiguille indique la direction perpendiculaire à $\;{\vec {u}}_{P}\;$ c.-à-d. la direction du champ électrique qui est intégralement absorbé.
↑ Dans le cas où la direction de l'aiguille indique la direction perpendiculaire à $\;{\vec {u}}_{P}$ , la direction de polarisation du champ électrique est $\;\perp \;$ à l'aiguille quand la puissance lumineuse moyenne reçue est maximale.
↑ Dans le cas où la direction de l'aiguille indique la direction $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{P}$ , la direction de polarisation du champ électrique est repérée par l'angle $\;\alpha _{0}\pm {\dfrac {\pi }{2}}$ .
↑ ^50,0 et ^50,1 $\;{\vec {u}}_{PP}\;$ est choisi dans le plan du polaroïd $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{P}\;$ tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {k,}}\,{\vec {u}}_{P},\,{\vec {u}}_{PP}\right\rbrace \;$ soit direct $\;{\big [}$ voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ mais ce choix est tout à fait arbitraire.
↑ Quand on parle d'onde polarisée rectilignement la direction de polarisation est toujours celle du champ électrique.
↑ On rappelle que la puissance lumineuse moyenne est proportionnelle au carré de l'amplitude.
↑ En fait seul le nom change car il s'agit exactement du même appareil.
↑ Dans le cas où la direction de l'aiguille indique la direction $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{P}$ , lorsque le réglage de l'analyseur correspond à l'absorption intégrale de l'onde polarisée rectilignement arrivant sur lui, on en déduit que la direction du champ électrique avant l'analyseur est celle de l'aiguille de l'analyseur.
↑ Étienne Louis Malus (1775 - 1812) ingénieur, physicien et mathématicien français, surtout connu pour ses travaux mathématiques liés à la lumière, a mis en évidence la polarisation de cette dernière par réflexion en $\;1809$ ; il fut de la 1^ère promotion de l’École centrale des travaux publics $\;{\big (}$ connue actuellement sous le nom d'École Polytechnique ${\big )}\;$ promotion $\;X1794\;$ et y devint brièvement directeur des études de $\;1811\;$ jusqu'à sa mort ; sa découverte la plus célèbre est la loi de Malus mais on lui doit aussi le théorème de Malus stipulant que les surfaces d'onde émises par une source ponctuelle sont $\;\perp \;$ aux rayons lumineux issus de cette source.
↑ Un photorécepteur aurait besoin d'être étalonné pour donner l'éclairement absolu mais ici on a besoin seulement de déterminer le rapport « $\;{\dfrac {{\mathcal {E}}'}{\mathcal {E}}}\;$ » c.-à-d. l'éclairement relatif de l'onde transmise par rapport à celui de l'onde incidente.
↑ $\;{\mathcal {E}}_{0}\;$ étant l'éclairement de l'onde incidente.
↑ En raison de l'isotropie de la direction du champ pour une onde non polarisée ; la probabilité d'obtenir $\;\theta \;$ à $\;d\theta \;$ près devant être indépendante de $\;\theta \;$ et normalisée vaut $\;{\dfrac {d\theta }{2\,\pi }}$ .
↑ La justification de cette définition étant que la valeur $\;\cos ^{2}(\theta )\;$ définie à $\;d\theta \;$ près est pondérée par sa probabilité $\;{\dfrac {d\theta }{2\,\pi }}$ ;
le calcul de l'intégrale se fait en linéarisant $\;\cos ^{2}(\theta )\;$ selon $\;\cos ^{2}(\theta )={\dfrac {1+\cos(2\,\theta )}{2}}$ , la moyenne de $\;{\dfrac {\cos(2\,\theta )}{2}}\;$ étant nulle d'une part et d'autre part celle de $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ valant évidemment $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ $\ldots$

Signaux physiques (PCSI)

Propag. d'un signal : Diffraction à l'infini

Optique géomét. : sources lumineuses, milieu transp., approxim. de l'optique géomét.

[1] Une onde optique $\;{\big (}$ et il en est de même d'une onde électromagnétique ${\big )}\;$ peut traverser des milieux, ces derniers $-$ dans le cas d'une onde optique $-$ sont dits « transparents » $\;{\big [}$ dans le cas contraire ils sont dits « opaques » ${\big ]}$ .

[2] Ce n'est toutefois pas le cas dans les milieux « homogènes » où l'onde électromagnétique $\;{\big (}$ et donc optique ${\big )}\;$ est encore transversale.

[3] « Moyenne temporelle » car la fréquence des ondes lumineuses est trop élevée pour qu'un récepteur réagisse avec la même rapidité $-$ l'inertie du récepteur est trop grande pour une réponse instantanée $-$ il répond donc en valeur moyenne temporelle $\;{\big (}$ on définit le temps de réponse $\;\tau \;$ du récepteur et la moyenne est faite sur cette durée qui correspond à un très grand nombre de périodes ${\big )}$ .

[4] La grandeur vibrante est en fait le champ électrique $\;{\big [}$ ou magnétique ${\big ]}\;$ et devrait être notée « $\;{\vec {E}}(x_{\text{récepteur}},\,t)\;$ » $\;{\big [}$ ou « $\;{\vec {B}}(x_{\text{récepteur}},\,t)\;$ » ${\big ]}\;$ mais certaines propriétés sont indépendantes du caractère vectoriel de la grandeur vibrante et on note cette dernière « $\;s(x_{\text{récepteur}},\,t)$ » ; en faisant ceci on adopte le « modèle scalaire » de la lumière $\;{\big (}$ on fait cela pour simplifier les notations ${\big )}$ .

[5] « $\;\left\langle \right\rangle \;$ » signifie « valeur moyenne temporelle », la définition de la « moyenne temporelle de $\;g(t)\;$ sur une durée $\;\tau \;$ » est « $\;\left\langle g(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{\tau }}\displaystyle \int _{0}^{\tau }g(t)dt\;$ ».

[6] Le calcul conduit à « $\;\left\langle \left[s(x_{\text{récepteur}},\,t)\right]^{2}\right\rangle ={\dfrac {1}{\tau }}\displaystyle \int _{0}^{\tau }\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}\cos ^{2}\!\left[2\,\pi \,f\,t+\varphi (x_{\text{récepteur}})\right]dt\;$ » que l'on intègre en linéarisant selon « $\;\cos ^{2}(\theta )\;$ selon $\;{\dfrac {1+\cos(2\,\theta )}{2}}\;$ », la valeur moyenne de « $\;{\dfrac {\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}\cos \!\left[4\,\pi \,f\,t+\varphi (x_{\text{récepteur}})\right]}{2}}\;$ étant nulle » car admettant une primitive en « $\;{\dfrac {\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}\sin \!\left[4\,\pi \,f\,t+\varphi (x_{\text{récepteur}})\right]}{8\,\pi \,f}}\;$ » à prendre entre $\;0\;$ et $\;\tau =n\,T\;$ où $\;n\;$ est très grand $\;{\big (}T$ étant très petite ${\big )}\;$ et celle de l'autre terme $\;{\dfrac {\left[A(x_{\text{récepteur}})\right]^{2}}{2}}\;$ étant égale à lui-même dans la mesure où ce terme est constant $\;\ldots$

[7] Lors de la propagation, la puissance est distribuée sur toute la surface d'onde au point considéré, ceci implique une puissance par unité de surface inversement $\;\propto \;$ à l'aire de la surface d'onde $\;4\,\pi \,d^{2}\;$ ${\big (}$ aire d'une sphère de rayon $\;d{\big )}\;$ et comme la puissance par unité de surface est proportionnelle au carré de l'amplitude, cette dernière est inversement $\;\propto \;$ à $\;d$ .

[8] C.-à-d. constitué de deux semi-conducteurs juxtaposés l'un dopé $\;P\;$ ${\big (}$ à porteurs de charges mobiles les « trous $\;p\;$ » ${\big )}\;$ et l'autre dopé $\;N\;$ ${\big (}$ à porteurs de charges mobiles les « électrons $\;n\;$ » ${\big )}$ , la jonction étant une zone intermédiaire les séparant où les trous et les électrons s'annihilent et où il reste uniquement les charges fixes $\;{\big (}$ charge $\;<0\;$ du côté $\;P\;$ et $\;>0\;$ du côté $\;N{\big )}\;$ ce qui crée une d.d.p. aux bornes de cette jonction $\;V_{N,\,{\text{jonct}}}-V_{P,\,{\text{jonct}}}=$ $U_{\text{seuil}}>0$ ;
en absence de polarisation de la diode imposée de l'extérieur, les porteurs $\;p\;$ de la zone $\;P\;$ étant d'énergie potentielle $\;e\,V_{P,\,{\text{jonct}}}<e\,V_{N,\,{\text{jonct}}}\;$ ne peuvent pas franchir cette barrière d'énergie potentielle et il en est de même des porteurs $\;n\;$ de la zone $\;N\;$ d'énergie potentielle $\;-e\,V_{N,\,{\text{jonct}}}<-e\,V_{P,\,{\text{jonct}}}\;$ d'où l'absence de courant hors polarisation externe ;
par contre si la polarisation externe $\;{\big (}$ nécessairement telle que $\;V_{P}>V_{N}\;$ pour qu'il y est possibilité de courant $-$ la polarisation est alors dite « directe » ${\big )}\;$ est suffisante, c.-à-d. si $\;U_{PN}>U_{\text{seuil}}$ , pour permettre aux porteurs des différentes zones d'avoir l'énergie suffisante pour franchir la barrière d'énergie potentielle, la diode est traversée par un courant de $\;P\;$ vers $\;N$ ,
à défaut il ne peut y avoir de courant $\;{\big (}$ cas de la polarisation directe avec $\;U_{PN}<U_{\text{seuil}}\;$ ou cas de la polarisation inverse ${\big )}$ .

[9] On peut aussi avoir un photon arrivant sur la jonction et créant une paire « trou $-$ électron » séparée par le champ électrique interne à la jonction, le trou se retrouvant dans la zone $\;P\;$ et l'électron dans la zone $\;N\;$ avec une énergie suffisante pour franchir la barrière de potentiel extérieur $\;{\big (}$ voir figure ${\big )}$ .

[10] Les photons reçus n'étant absorbés que s'ils rencontrent un porteur $\;\ldots$

[11] Lequel résulte des photons arrivant sur la photodiode et absorbés par les trous du côté $\;P\;$ ou par les électrons du côté $\;N\;$ ${\big (}$ ou encore un photon arrivant sur la jonction et créant une paire « trou $-$ électron » séparée par le champ électrique interne à la jonction, le trou se retrouvant dans la zone $\;P\;$ et l'électron dans la zone $\;N{\big )}\;$ ce qui leur permettent de circuler dans le conducteur ohmique de $\;N\;$ vers $\;P$ .

[12] Cela dépend bien sûr de la tension imposée aux bornes de la photorésistance $\;{\big (}$ usuellement entre $\;0,5\;$ et $\;1\,V{\big )}$ ;
en supposant que la puissance moyenne reçue provienne d'une source de $\;1\;W\!\cdot \!m^{-2}\;$ et que la surface sensible soit de $\;25\,mm^{2}$ , cette dernière reçoit $\;25\;\mu W\;$ d'où la résistance de la photorésistance $\;R={\dfrac {1}{\left[25\;10^{-6}\right]^{0,5}}}=200\,\Omega \;$ si $\;n=0,5\;$ ${\big (}$ avec un cœfficient de proportionnalité supposé égal à $\;1\,\Omega \!\cdot \!W^{0,5}{\big )}$ , l'intensité, sous une tension de $\;U=0,5\,V$ , étant alors égale à $\;I={\dfrac {U}{R}}={\dfrac {0,5}{200}}=$ $2,5\,10^{-3}\;A=2,5\,mA$ ;
on donne préférentiellement les valeurs de résistances suivant la puissance lumineuse moyenne reçue par $\;m^{2}$ :
« en obscurité $\;R\simeq 100\,M\Omega \;$ »,
« sous une puissance lumineuse moyenne par $\;m^{2}\;$ de $\;1\;W\!\cdot \!m^{-2}$ , $\;R\simeq 200\,\Omega \;$ » $\ldots$

[13] L'énergie lumineuse s'accompagne d'énergie thermique surtout dans le domaine du rouge et des infra-rouges.

[14] Un thermocouple utilise l'« effet Seebeck » c.-à-d. l'apparition d'une d.d.p. dépendant de la différence de température entre une température à mesurer et une température de référence ; le thermocouple est constitué de deux fils de matériaux différents, soudés en une de leur extrémité placée à la température à déterminer $\;{\big (}$ extrémité commune appelée « soudure chaude » ${\big )}$ , les deux autres extrémités restant libres et étant mises à la température de référence $\;{\big (}$ ensemble de ces deux extrémités libres appelé « soudure froide » ${\big )}$ , on détermine alors une d.d.p. aux bornes des extrémités libres approximativement $\;\propto \;$ à la d.d.T. $\;{\big (}$ différence de température ${\big )}$ ;
exemples de matériaux à fort cœfficient de Seebeck en valeur absolue :
le fer a un cœfficient de Seebeck de $\;+11,6\;\mu V\!\cdot \!K^{-1}\;$ ${\big (}$ d.d.p. de même signe que la d.d.T. ${\big )}$ ,

le nickel a un cœfficient de Seebeck de $\;-8,5\;\mu V\!\cdot \!K^{-1}\;$ ${\big (}$ d.d.p. de signe contraire à la d.d.T. ${\big )}$ $\;\ldots$
Thomas Johann Seebeck (1770 - 1831) physicien allemand ayant découvert en $\;1810\;$ la sensibilité d'une solution aqueuse d'oxyde argentique dont l'usage a permis par la suite la photographie couleur puis en $\;1821\;$ l'effet Seebeck $\;\ldots$

[15] r a un cœfficient de Seebeck de $\;+11,6\;\mu V\!\cdot \!K^{-1}\;$ ${\big (}$ d.d.p. de même signe que la d.d.T. ${\big )}$ ,

[16] un cœfficient de Seebeck de $\;-8,5\;\mu V\!\cdot \!K^{-1}\;$ ${\big (}$ d.d.p. de signe contraire à la d.d.T. ${\big )}$ $\;\ldots$

[15] Il existe aussi des thermopiles à thermocouples montés en série $\;{\big (}$ simplement évoqué ${\big )}$ .

[16] Mais le plus gros inconvénient est que les différentes longueurs d'onde ne créent pas le même effet thermique, effet plus important du côté du rouge et des infra-rouges.

[Bayer-17] Bryce Edward Bayer (1929 - 2012) scientifique américain inventeur de la matrice de Bayer breveté en $\;1976$ , invention ayant permis l'essor de la photographie numérique.

[18] Raison de sensibilité de l'œil.

[Smith-19] George Elwood Smith (né en 1930) est un physicien américain connu essentiellement pour son invention $-$ partagée avec Willard Sterling Boyle $-$ du capteur C.C.D., ce qui leur valut de partager une moitié de prix Nobel de physique en $\;2009$ .

[Boyle-20] Willard Sterling Boyle (1924 - 2011) est un physicien canadien, inventeur du 1^er laser à rubis à émission continue en $\;1962$ , puis a participé au programme Apollo pendant deux ans et de retour aux Laboratoires Bell a travaillé au développement des circuits intégrés ; essentiellement connu pour son invention partagée avec George Elwood Smith du capteur C.C.D., ce qui leur valut à chacun un quart de prix Nobel de physique en $\;2009$

[21] L'autre moitié étant revenu à « Charles Kuen Kao (1933 - 2018) », ingénieur américano-britannique d'origine chinoise, ayant reçu en $\;2009\;$ une moitié de prix Nobel de physique décerné « pour ses réalisations remarquables en matière de transmission de la lumière dans les fibres pour la communication optique ».

[22] En adoptant le modèle « scalaire » de la lumière car le caractère vectoriel ne joue aucun rôle ici et en supposant la propagation unidirectionnelle suivant l'axe $\;Ox$ .

[23] Le cœfficient de proportionnalité étant $\;\propto \;$ à l'aire de la surface.

[24] Obtenu en divisant la puissance lumineuse moyenne traversant la surface $\;({\mathcal {S}}_{M})\;$ placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde en $\;M\;$ par l'aire de cette surface, d'où le cœfficient de proportionnalité ne dépend plus de l'aire de la surface.

[25] Qui englobe le facteur $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ et que l'on ne précise en général pas $\;{\big (}$ car ce sont les éclairements relatifs qui nous intéressent $-$ savoir par exemple si un éclairement est double d'un autre $-$ et par suite la constante $\;K\;$ disparaît dans le rapport ${\big )}$ .

[26] Dans le cas général les fréquences des harmoniques appartiennent à un intervalle continu de fréquences $\;{\big (}$ par exemple la lumière solaire ${\big )}$ ,
dans des cas particuliers elles ne correspondent qu'à quelques valeurs de cet intervalle $\;{\big (}$ par exemple la lumière d'émission des lampes à vapeur métallique ${\big )}$ .

[27] Cela résulte du « théorème de Parseval » introduit au chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[28] Ici en fonction de $\;m$ .

[29] Ou encore le « spectre d'éclairement » c.-à-d. la courbe donnant l'éclairement en fonction de la fréquence, il s'agit, dans le cas présent, d'un spectre de raies tout comme le spectre d'amplitude.

[30] Ou de pulsations $\;{\big (}$ temporelles ${\big )}$ .

[31] « $\;A(f,\,x)\;$ » est la « densité d'amplitude par unité de fréquence », la « grandeur ayant la même homogénéité que $\;s(x,\,t)\;$ » étant « $\;A(f,\,x)\,df\;$ ».

[32] Dans le cas où la borne supérieure serait l'infini, l'intégrale sur un segment devient une intégrale généralisée ou impropre $\;{\big [}$ voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , celle-ci étant définie comme la limite de l'intégrale sur un segment à borne supérieure finie quand cette dernière tend vers l'infini $\;{\big (}$ si cette limite n'existe pas, l'intégrale impropre ne peut être définie et on dit que l'intégrale diverge ${\big )}$ ;
on a donc « $\;\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim \limits _{b\rightarrow \infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\;$ ».

[33] Encore notée « $\;{\mathcal {E}}_{f}(x)\;$ ».

[34] L'éclairement spectral « $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)\;$ » est une « densité d'éclairement par unité de fréquence », la « grandeur ayant la même homogénéité que $\;{\mathcal {E}}(x)\;$ » étant « $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)\,df\;$ ».

[35] Lequel est continu dans le cas présent.

[36] $\;f_{1}<f_{2}\;$ correspondant à $\;\lambda _{0,\,1}>\lambda _{0,\,2}$ , on permute les bornes d'intégration et on change le signe de la fonction à intégrer.

[37] « $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)\,df\;$ ayant l'homogénéité d'un éclairement », il en est de même de « $\;{\mathcal {E}}(f,\,x)\,f\;$ » et par suite de « $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)\,\lambda _{0}\;$ » car « $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)=$ ${\mathcal {E}}(f,\,x)\,{\dfrac {f}{\lambda _{0}}}\;$ », l'« éclairement spectral relativement à la longueur d'onde dans le vide $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)\;$ encore noté $\;{\mathcal {E}}_{\lambda _{0}}(x)\;$ » représente la « densité spectrale d'éclairement relativement à la longueur d'onde dans le vide ».

[38] En effet « $\;{\mathcal {E}}(\lambda _{0},\,x)={\mathcal {E}}(f,\,x)\,{\dfrac {f}{\lambda _{0}}}\;$ » s'exprime en $\;W\cdot m^{-2}\cdot s\times {\dfrac {s^{-1}}{m}}=W\cdot m^{-3}\;$ ».

[39] Fonctionnent sur le principe de l'émission thermique, sont assez pauvres en courte longueur d'onde $\;{\big (}$ donnant de la lumière jaunâtre ${\big )}\;$ mais riches en infra-rouges d'où un chauffage nuisible.

[40] À base de tubes à décharge fournissant une lumière à spectre discret, laquelle est partiellement absorbée par une substance fluorescente qui réémet une lumière au spectre continu ; finalement le spectre est continu avec les pics d'émission du tube à décharge.
La fluorescence est une émission lumineuse suivant immédiatement l'excitation d'une molécule laquelle est excitée le plus souvent par absorption de lumière ;
à distinguer de la phosphorescence où l'émission lumineuse se fait avec retard, lequel peut être grand.

[41] Élaboré en $\;1950\;$ par Alfred Kastler (1902 - 1984) physicien français, prix Nobel de physique en $\;1966\;$ « pour la découverte et le développement de méthodes optiques pour l'étude des résonances hertziennes dans les atomes ».

[42] Quand un électron de l'hélium passe de son état fondamental $\;1s\;$ à un 1^er état excité $\;2s$ , l'énergie qu'il acquiert dépend de l'état quantique de l'atome : l'écriture $\;2S\;$ a la même signification que $\;2s\;$ mais pour l'atome complet $\;{\big (}$ plus précisément le nombre quantique caractérisant le moment cinétique orbital total est nul ${\big )}$ ,
le chiffre en exposant à gauche de $\;S\;$ est $\;2\,S_{s}+1\;$ avec $\;S_{s}\;$ le nombre quantique caractérisant le spin électronique total de l'atome, ainsi $^{1}\!S\;$ correspond à $\;S_{s}=0\;$ état singlet et $^{3}\!S\;$ correspond à $\;S_{s}=1\;$ état triplet, enfin
le chiffre en indice à droite de $\;S\;$ est $\;L\;$ le nombre quantique caractérisant le moment cinétique électronique total de l'atome, ainsi $\;S_{0}\;$ correspond à $\;L=0\;$ et $\;S_{1}\;$ correspond à $\;L=1\;$ $\dots$
Ceci n'étant qu'un « survol à très haute altitude » des notions relatives à l'addition des moments cinétiques ou de spins ou des deux entre eux.
Les atomes d'hélium excités dans l'état $\;2\,^{1}\!S_{0}\;$ ou $\;2\,^{3}\!S_{1}\;$ excitent par collision des atomes de Néon de leur état fondamental $\;2\,p\;$ aux états $\;5\,s\;$ ou $\;4\,s\;$ d'énergie très voisine à celle des niveaux excités des atomes d'hélium ; le peuplement des niveaux excités des atomes de Néon $\;\searrow \;$ rapidement par émission stimulée et $\;\nearrow \;$ rapidement par collision avec les atomes d'hélium excités $\;{\big (}$ dont l'excitation est maintenue par décharge ${\big )}$ , on aboutit à un équilibre correspondant à un peuplement inversé des niveaux d'énergie des atomes de Néon relativement à leur niveau fondamental $\;{\big (}$ définition du pompage optique ${\big )}$ .

[43] Un faisceau parallèle correspondant à une source ponctuelle à l'infini.

[44] Dans le cas d'une onde plane se propageant dans notre espace physique tridimensionnel orienté à droite $\;{\big [}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteur » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big )}$ , $\;{\vec {B}}(M,\,t)\;$ est orthogonal à $\;{\vec {E}}(M,\,t)$ , le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {k}},\,{\vec {E}},\,{\vec {B}}\right\rbrace \;$ étant orthogonal « direct » $\;{\big [}$ c.-à-d. suivant la règle du « tire-bouchon de Maxwell », le tire-bouchon tournant du 1^er vecteur vers le 2^ème et se déplaçant dans le sens du 3^ème $-$ voir aussi d'autres règles équivalentes pour déterminer le caractère direct d'un trièdre dans un espace orienté à droite au chap. $7$ dans le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.

[45] Dans la mesure où toutes les directions possibles de $\;{\vec {E}}(M,\,t)\;$ sont équiprobables.

[46] C'est une diode à jonction $\;NP\;$ particulière polarisée en direct dans laquelle la jonction est émettrice par « électroluminescence » $\;{\big [}$ se dit d'une émission de lumière résultant d'une annihilation d'une paire « électron – trou », le fort courant traversant la diode quand elle est polarisée en direct assurant le peuplement de la bande de conduction de la zone $\;N\;$ par des électrons et celui de la zone $\;P\;$ par des trous $\;{\big (}$ peuplement s'opposant au dépeuplement dû à l'annihilation de paires « électron – trou » conduisant à l'émission de lumière ${\big )}\;$ c.-à-d. réalisant le pompage optique nécessaire au fonctionnement de tout laser ${\big ]}$ ; de plus les extrémités de la diode jouant le rôle de miroirs réfléchissants, cela permet un effet amplificateur ;
composant essentiel des lecteurs et graveurs de disques optiques, elle est encore utilisée dans les dispositifs électroniques de mesure de distance ou de vitesse, de guidage ou pointage précis.

[47] Le plus souvent la direction de l'aiguille indique la direction perpendiculaire à $\;{\vec {u}}_{P}\;$ c.-à-d. la direction du champ électrique qui est intégralement absorbé.

[48] Dans le cas où la direction de l'aiguille indique la direction perpendiculaire à $\;{\vec {u}}_{P}$ , la direction de polarisation du champ électrique est $\;\perp \;$ à l'aiguille quand la puissance lumineuse moyenne reçue est maximale.

[49] Dans le cas où la direction de l'aiguille indique la direction $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{P}$ , la direction de polarisation du champ électrique est repérée par l'angle $\;\alpha _{0}\pm {\dfrac {\pi }{2}}$ .

[Choix_de_sens-50] 50,0 et ^50,1 $\;{\vec {u}}_{PP}\;$ est choisi dans le plan du polaroïd $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{P}\;$ tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\vec {k,}}\,{\vec {u}}_{P},\,{\vec {u}}_{PP}\right\rbrace \;$ soit direct $\;{\big [}$ voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ mais ce choix est tout à fait arbitraire.

[51] Quand on parle d'onde polarisée rectilignement la direction de polarisation est toujours celle du champ électrique.

[52] On rappelle que la puissance lumineuse moyenne est proportionnelle au carré de l'amplitude.

[53] En fait seul le nom change car il s'agit exactement du même appareil.

[54] Dans le cas où la direction de l'aiguille indique la direction $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{P}$ , lorsque le réglage de l'analyseur correspond à l'absorption intégrale de l'onde polarisée rectilignement arrivant sur lui, on en déduit que la direction du champ électrique avant l'analyseur est celle de l'aiguille de l'analyseur.

[55] Étienne Louis Malus (1775 - 1812) ingénieur, physicien et mathématicien français, surtout connu pour ses travaux mathématiques liés à la lumière, a mis en évidence la polarisation de cette dernière par réflexion en $\;1809$ ; il fut de la 1^ère promotion de l’École centrale des travaux publics $\;{\big (}$ connue actuellement sous le nom d'École Polytechnique ${\big )}\;$ promotion $\;X1794\;$ et y devint brièvement directeur des études de $\;1811\;$ jusqu'à sa mort ; sa découverte la plus célèbre est la loi de Malus mais on lui doit aussi le théorème de Malus stipulant que les surfaces d'onde émises par une source ponctuelle sont $\;\perp \;$ aux rayons lumineux issus de cette source.

[56] Un photorécepteur aurait besoin d'être étalonné pour donner l'éclairement absolu mais ici on a besoin seulement de déterminer le rapport « $\;{\dfrac {{\mathcal {E}}'}{\mathcal {E}}}\;$ » c.-à-d. l'éclairement relatif de l'onde transmise par rapport à celui de l'onde incidente.

[57] $\;{\mathcal {E}}_{0}\;$ étant l'éclairement de l'onde incidente.

[58] En raison de l'isotropie de la direction du champ pour une onde non polarisée ; la probabilité d'obtenir $\;\theta \;$ à $\;d\theta \;$ près devant être indépendante de $\;\theta \;$ et normalisée vaut $\;{\dfrac {d\theta }{2\,\pi }}$ .

[59] La justification de cette définition étant que la valeur $\;\cos ^{2}(\theta )\;$ définie à $\;d\theta \;$ près est pondérée par sa probabilité $\;{\dfrac {d\theta }{2\,\pi }}$ ;
le calcul de l'intégrale se fait en linéarisant $\;\cos ^{2}(\theta )\;$ selon $\;\cos ^{2}(\theta )={\dfrac {1+\cos(2\,\theta )}{2}}$ , la moyenne de $\;{\dfrac {\cos(2\,\theta )}{2}}\;$ étant nulle d'une part et d'autre part celle de $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ valant évidemment $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ $\ldots$

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