Relativité restreinte/Dynamique relativiste

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Loi de Newton relativiste

Multiplions les deux membres de l'équation de la transformation des accélérations par la masse au repos m₀, constante: ${\frac {d\left(m_{0}\gamma v\right)}{dt}}={\frac {d\left(m_{0}v'\right)}{dt'}}=F'$ Dans le référentiel R' où la vitesse de la particule est faible ou nulle, la loi fondamentale de la dynamique classique de Newton s'applique. Le terme de droite représente donc la force F' dans le référentiel R'. Si on admet que la force ne dépend pas du référentiel puisqu'elle s'applique à la particule et est donc absolue, on a F=F' et, donc $\mathbf {F={\frac {d\left(m_{r}v\right)}{dt}}}$ où m_r est la masse relativiste, apparaissant à l'observateur distant, variable en fonction de la vitesse: $m_{r}={\frac {m_{0}}{\sqrt[{}]{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ L'apparition de la loi fondamentale de la dynamique en relativité restreinte montre bien que la restriction aux référentiels galiléens n’est pas une condition sine qua non.

Énergie cinétique

Dans un référentiel en mouvement à la vitesse v par rapport à l’observateur, contrairement à la transformation de Galilée, la transformation de Lorentz donne une accélération dépendant de la vitesse relative des référentiels, même galiléens (nous nous limitons au cas où vitesse et accélération sont colinéaires). Pour produire l’accélération a = dv/dt, il faut appliquer une force, définie par la loi de Newton relativiste, comme étant la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement m_rv. La variation d’énergie cinétique étant égale au travail de la force appliquée F pour un déplacement dx, on a, en utilisant la loi de Newton relativiste : $dT=Fdx=Fvdt={\frac {d\left(m_{r}v\right)}{dt}}vdt=m_{0}vd\left(\gamma v\right)$ Utilisons une identité analogue à celle de Lorentz, vue plus haut: $vd\left(\gamma v\right)=v\gamma dv+v^{2}d\gamma =v\gamma dv+v^{2}{\frac {\gamma v}{c^{2}-v^{2}}}dv=c^{2}d\gamma$ La variation d’énergie cinétique devient $dT=m_{0}c^{2}d\gamma$. En intégrant cette équation, on obtient $T=\left.m_{0}\gamma c^{2}\right.+constante$ L’énergie cinétique doit être nulle lorsque la vitesse v est nulle, c’est-à-dire lorsque γ=1. Pour annuler l'énergie cinétique au repos, la constante d'intégration doit être $-\left.m_{0}c^{2}\right.$ L’énergie cinétique est donc: $\mathbf {T=\left(m_{r}-m_{0}\right)c^{2}}$ à un coefficient universel près, égale à la différence entre la masse au repos m₀ et la masse en mouvement ou relativiste m_r. Les deux masses ont des indices pour éviter toute confusion due à l’utilisation de la lettre m seule.

Démonstration de E=mc²

L’énergie totale relativiste E = mc² ne doit pas être confondue avec l'énergie mécanique totale classique E = T + V qui est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, définie à une constante additive près. La proportionnalité entre masse et énergie est bien connue des automobilistes. L’énergie contenue dans une masse de carburant donnée lui est proportionnelle selon un coefficient dépendant du pouvoir calorifique du carburant. Il doit exister une valeur K de ce coefficient correspondant à l’énergie maximale disponible dans la matière, c’est-à-dire lorsque toute la matière est transformée en énergie pure, chaleur, rayonnement, électrique, mécanique ou autre. Ce coefficient de proportionnalité K doit être une constante universelle, indépendante de la nature du matériau et du référentiel, donc de la vitesse. Pour un même objet, l’énergie totale relativiste est E_r = Km_r dans le référentiel de l’observateur et E₀=Km₀ dans le référentiel propre de l’objet. La différence de ces deux énergies,

$T=\left(Km_{r}-Km_{0}\right)$

est due uniquement à la vitesse, puisque la masse relativiste m_r ne dépend que de la vitesse relative entre l’objet considéré et l'observateur: c’est l’énergie cinétique, récupérable par l’observateur en arrêtant par exemple un projectile dont la masse (relativiste) en mouvement m_r devient m₀ à l’arrêt. L’application de la transformation de Lorentz, de la loi fondamentale de la dynamique et de la définition de l’énergie a montré dans le paragraphe précédent que l’énergie cinétique était

$T=\left(m_{r}-m_{0}\right)c^{2}$

En identifiant ces dernières expressions, on trouve

$\left.K=c^{2}\right.$

L’énergie totale relativiste est donc, en appelant m la masse, qu'elle soit en mouvement ou au repos:

$\mathbf {\left.E=mc^{2}\right.}$

L'équation la plus célèbre du XX^e siècle a donc été démontrée à partir de la transformation de Lorentz et des lois de Newton.