Propositions et opération élémentaire/Définition

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Proposition

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer une seule valeur : VRAI ou FAUX (format texte). La valeur en question peut être notée sous format numérique : 1 ou 0.

- La valeur VRAI est équivalente à la valeur 1.

- La valeur FAUX est équivalente à la valeur 0.

Exemple:

$1+1=2$	Vrai
Isaac Newton était russe	Faux (puisqu'Isaac Newton était de nationalité anglaise)
$x^{2}=-1,x\in \mathbb {R}$ possède au moins une solution	Faux
$x^{2}=-1,x\in \mathbb {C}$ possède au moins une solution	Vraie

Remarques :

Dans le cadre d'équations mathématiques faisant intervenir des variables, il est important de préciser l'ensemble de définition de chaque variable.

De plus, certaines propositions ne sont ni vraies ni fausses. L'exemple célèbre est la phrase « En disant ceci, je mens ». En effet, si on suppose la phrase vraie, alors la proposition ("je mens") est fausse puisqu'alors la personne énonçant cette phrase ne ment pas. De même, si on suppose que la phrase est fausse, alors la proposition ("je mens") est vraie puisque la personne énonçant cette phrase ment.

On comprend alors la nécessité d'axiomes et de preuves, c'est-à-dire qu’il faut connaître les règles avec lesquelles on peut décider de la vérité d'une proposition (si elle est vraie ou fausse) : dans l'exemple $1+1=2$, ce sont des règles arithmétiques apprises qui imposent le résultat. Il faut un raisonnement logique pour parvenir à décider si une proposition est vraie ou fausse : dans l'exemple de « Isaac Newton était russe », ce sont des faits simples — une preuve de sa naissance en Angleterre de parents anglais — qui, par un raisonnement simple mais logique, permettent de parvenir à la conclusion que la proposition est fausse.