Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions trigonométriques inverses

**Fonctions trigonométriques inverses**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 9
Chap. préc. :	Grandeurs associées à une fonction sinusoïdale du temps : amplitude complexe et vecteur de Fresnel
Chap. suiv. :	Complexes, formes algébrique et trigonométrique

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions trigonométriques inverses », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Rappel et additif sur les fonctions trigonométriques directes[modifier | modifier le wikicode]

Ce sont les fonctions sinus

\;\sin()

, cosinus

\;\cos()

, tangente

\;\tan()\;

et cotangente

\;\cot()\;

^[1] :

     le domaine de définition est « $\;\mathbb {R} \;$ pour les deux 1^ères », « $\;\mathbb {R} -\left\lbrace {\dfrac {\pi }{2}}+n\,\pi ,\;n\in \mathbb {Z} \right\rbrace \;$ pour tangente » et « $\;\mathbb {R} -\left\lbrace n\,\pi ,\;n\in \mathbb {Z} \right\rbrace \;$ pour cotangente » ;
     « les deux 1^ères sont $\;2\,\pi$ -périodiques » et « les deux suivantes $\;\pi$ -périodiques » ;
     elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », leurs dérivées étant respectivement :

elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », $\bullet \;$ « $\;{\dfrac {d\left[\sin(x)\right]}{dx}}=\cos(x)=\sin \!\left(x+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$ » ^[2],

elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », $\bullet \;$ « $\;{\dfrac {d\left[\cos(x)\right]}{dx}}=-\sin(x)=\cos \!\left(x+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$ » ^[2],

elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », $\bullet \;$ « $\;{\dfrac {d\left[\tan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)\;$ » ^[3] et

elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », $\bullet \;$ « $\;{\dfrac {d\left[\cot(x)\right]}{dx}}=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}(x)}}=-\left[1+\cot ^{2}(x)\right]\;$ » ^[4] ;
les tracés sont rappelés ci-dessous ^[5].

Tracé du graphe de $\;\sin(x)\;$ et choix de son domaine d'inversabilité
Tracé du graphe de $\;\cos(x)\;$ et choix de son domaine d'inversabilité

Tracé du graphe de $\;\tan(x)\;$ et choix de son domaine d'inversabilité
Tracé du graphe de $\;\cot(x)\;$ et choix de son domaine d'inversabilité

Condition pour qu'une fonction soit inversible, notion de fonction bijective[modifier | modifier le wikicode]

Définition de fonction bijective[modifier | modifier le wikicode]

Une fonction est « bijective » si et seulement si « tout élément du domaine des valeurs a un et un seul antécédent du domaine de définition » c.-à-d. encore « si tout élément du domaine des valeurs est image d'exactement un élément du domaine de définition » ;
une fonction bijective est à la fois « injective » ^[6] et « surjective » ^[7].

Condition pour qu'une fonction soit inversible[modifier | modifier le wikicode]

Pour qu'une fonction soit inversible elle doit être bijective ^[8] :

si l'ensemble de départ est son domaine de définition et l'ensemble d'arrivée son domaine de valeurs, elle est nécessairement surjective ^[7] car tout élément du domaine de valeurs a au moins un antécédent dans le domaine de définition mais elle peut ne pas être injective ^[6] car des éléments du domaine des valeurs peuvent avoir plusieurs antécédents dans le domaine de définition $\;{\big (}$ c'est le cas de la fonction « sinus » appliquant $\;\mathbb {R} \;$ dans $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]{\big )}\;$ $\ldots$
si la fonction n'est pas injective ^[6] quand on considère son domaine de définition complet $\;{\big (}$ cas de la fonction « sinus » ${\big )}$ , on peut restreindre le domaine de définition en maintenant le domaine des valeurs pour que la « fonction restreinte » devienne injective ^[6]^, ^[9], tout en restant surjective ^[7]^, ^[10].

Fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus[modifier | modifier le wikicode]

« Pour que la fonction $\;\sin()\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » ^[8] et
« Pour que la fonction $\;\color {transparent}{\sin()}\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à $\;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ » ;

     « $\;y=\arcsin(x)\;$ fonction inverse de $\;x=\sin(y)\;$ », pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à $\;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ » et
     « $\;\color {transparent}{y=\arcsin(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\sin(y)}\;$ », pour cette dernière le « domaine des valeurs restant $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ » on en déduit
     « $\;\color {transparent}{y=\arcsin(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\sin(y)}\;$ », « le domaine de définition de la fonction $\;\arcsin()\;$ $\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ » et
     « $\;\color {transparent}{y=\arcsin(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\sin(y)}\;$ », « son domaine de valeurs $\;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ » ;

tracé du graphe de la fonction $\;y=\arcsin(x)$ : voir ci-contre
tracé ${\big [}$ le graphe de $\;y=\arcsin(x)\;$ est le symétrique de celui de $\;x=\sin(y)\;$ par rapport à la 1^ère diagonale ${\big ]}$ ;

     on observe que la fonction est « $\;\nearrow \;$ »,
     on observe que la fonction est « continue sur $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ » et
     on observe que la fonction est « dérivable sur $\;\left]-1\,{\text{,}}\,+1\right[\;$ », sa dérivée valant « $\;{\dfrac {d\left[\arcsin(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ » ;

     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction « $\;y=\arcsin(x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\sin(y)\;$ » ^[11], puis
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « $\;dx=\cos(y)\,dy\;$ » dont on tire
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « $\;dy={\dfrac {dx}{\cos(y)}}\;$ à condition que $\;\cos(y)\;$ ne soit pas nul », « réalisé si $\;y\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$ ou $\;x\neq \pm 1\;$ » ^[12],
     justification de la dérivée : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec « $\;\cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}={\sqrt {1-x^{2}}}\;$ » ^[13] soit « $\;dy={\dfrac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ » ;

conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\arcsin()\;$ qu'« une primitive de $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ est $\;\arcsin(x)+cste\;$ ».

Fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus[modifier | modifier le wikicode]

« Pour que la fonction $\;\cos()\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » ^[8] et
« Pour que la fonction $\;\color {transparent}{\cos()}\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à $\;\left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ » ;

     « $\;y=\arccos(x)\;$ fonction inverse de $\;x=\cos(y)\;$ », pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à $\;\left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ » et
     « $\;\color {transparent}{y=\arccos(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\cos(y)}\;$ », pour cette dernière le « domaine des valeurs restant $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ » on en déduit
     « $\;\color {transparent}{y=\arccos(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\cos(y)}\;$ », « le domaine de définition de la fonction $\;\arccos()\;$ $\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ » et
     « $\;\color {transparent}{y=\arccos(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\cos(y)}\;$ », « son domaine de valeurs $\;\left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ » ;

tracé du graphe de la fonction $\;y=\arccos(x)$ : voir ci-contre
tracé ${\big [}$ le graphe de $\;y=\arccos(x)\;$ est le symétrique de celui de $\;x=\cos(y)\;$ par rapport à la 1^ère diagonale ${\big ]}$ ;

     on observe que la fonction est « $\;\searrow \;$ »,
     on observe que la fonction est « continue sur $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ » et
     on observe que la fonction est « dérivable sur $\;\left]-1\,{\text{,}}\,+1\right[\;$ », sa dérivée valant « $\;{\dfrac {d\left[\arccos(x)\right]}{dx}}={\dfrac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ » ;

     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction « $\;y=\arccos(x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\cos(y)\;$ » ^[14], puis
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « $\;dx=-\sin(y)\,dy\;$ » dont on tire
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « $\;dy={\dfrac {-dx}{\sin(y)}}\;$ à condition
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne que $\;\sin(y)\;$ ne soit pas nul », « réalisé si $\;y\neq \left\lbrace 0\;{\text{,}}\;+\pi \right\rbrace \;$ ou $\;x\neq \pm 1\;$ » ^[15],
     justification de la dérivée : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec « $\;\sin(y)={\sqrt {1-\cos ^{2}(y)}}={\sqrt {1-x^{2}}}\;$ » ^[16] soit « $\;dy={\dfrac {-dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ » ;

conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\arccos()\;$ qu'« une primitive de $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ est aussi $\;-\arccos(x)+cste\;$ ».

Relation entre les fonctions trigonométriques inverses arcsinus et arccosinus

« Le fait qu'une primitive de

\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;

» s'écrive «

\;\arcsin(x)+cste'\;

» ou «

\;-\arccos(x)+cste''\;

» montre qu'il existe un lien entre les deux fonctions trigonométriques inverses

\;\arcsin()\;

et

\;\arccos()\;

s'écrivant «

\;\arcsin(x)=-\arccos(x)+cste\;

» ou «

\;\arcsin(x)+\arccos(x)=cste\;

»,

     la valeur de $\;cste\;$ étant déterminée en donnant à $\;x\;$ une valeur particulière par exemple $\;0\;$ et
     la valeur de $\;\color {transparent}{cste}\;$ étant déterminée en sachant que $\;\arcsin(0)=0\;$ et que $\;\arccos(0)=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$
     la valeur de $\;\color {transparent}{cste}\;$ étant déterminée d'où la relation : « $\;\arcsin(x)+\arccos(x)=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ».

Fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente[modifier | modifier le wikicode]

« Pour que la fonction $\;\tan()\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » ^[8] et
« Pour que la fonction $\;\color {transparent}{\sin()}\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ » ;

     « $\;y=\arctan(x)\;$ fonction inverse de $\;x=\tan(y)\;$ », pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ » et
     « $\;\color {transparent}{y=\arctan(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\tan(y)}\;$ », pour cette dernière le « domaine des valeurs restant $\;\mathbb {R} \;$ » on en déduit
     « $\;\color {transparent}{y=\arctan(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\tan(y)}\;$ », « le domaine de définition de la fonction $\;\arctan()\;$ $\mathbb {R} \;$ » et
     « $\;\color {transparent}{y=\arctan(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\tan(y)}\;$ », « son domaine de valeurs $\;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ » ;

tracé du graphe de la fonction $\;y=\arctan(x)$ : voir ci-contre
tracé ${\big [}$ le graphe de $\;y=\arctan(x)\;$ est le symétrique de celui de $\;x=\tan(y)\;$ par rapport à la 1^ère diagonale ${\big ]}$ ;

     on observe que la fonction est « $\;\nearrow \;$ »,
     on observe que la fonction est « continue sur $\;\mathbb {R} \;$ » et
     on observe que la fonction est « dérivable sur $\;\mathbb {R} \;$ », sa dérivée valant « $\;{\dfrac {d\left[\arctan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{1+x^{2}}}\;$ » ;

     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction « $\;y=\arctan(x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\tan(y)\;$ » ^[17], puis
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « $\;dx=\left[1+\tan ^{2}(y)\right]dy\;$ » $\Rightarrow$
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « $\;dy={\dfrac {dx}{1+\tan ^{2}(y)}}\;$ »,
     justification de la dérivée : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec « $\;\tan(y)=x\;$ » soit « $\;dy={\dfrac {dx}{1+x^{2}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {1}{1+x^{2}}}\;$ » ;

conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\arctan()\;$ qu'« une primitive de $\;{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\;$ est $\;\arctan(x)+cste\;$ ».

Fonction inverse de la fonction cotangente : fonction arccotangente[modifier | modifier le wikicode]

Remarque préliminaire : La fonction $\;\cot()\;$ étant très peu utilisée par rapport à la fonction $\;\tan()$ , il en est de même de leur fonction inverse, $\;\operatorname {arccot}()\;$ quasiment jamais utilisée par rapport à $\;\arctan()$ ,
Remarque préliminaire : La fonction $\;\color {transparent}{\cot()}\;$ étant très peu utilisée par rapport à la fonction $\;\color {transparent}{\tan()}$ , il en est de même de leur fonction inverse, la fonction $\;\arctan()\;$ suffisant amplement ^[18].

« Pour que la fonction $\;\cot()\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » ^[8] et
« Pour que la fonction $\;\color {transparent}{\cot()}\;$ soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à $\;\left]0\,{\text{,}}\,+\pi \right[\;$ » ;

     « $\;y=\operatorname {arccot}(x)\;$ fonction inverse de $\;x=\cot(y)\;$ », pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à $\;\left]0\,{\text{,}}\,+\pi \right[\;$ » et
     « $\;\color {transparent}{y=\operatorname {arccot}(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\cot(y)}\;$ », pour cette dernière le « domaine des valeurs restant $\;\mathbb {R} \;$ » on en déduit
     « $\;\color {transparent}{y=\operatorname {arccot}(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\cot(y)}\;$ », « le domaine de définition de la fonction $\;\operatorname {arccot}()\;$ $\;\mathbb {R} \;$ » et
     « $\;\color {transparent}{y=\operatorname {arccot}(x)}\;$ fonction inverse de $\;\color {transparent}{x=\cot(y)}\;$ », « son domaine de valeurs $\;\left]0\,{\text{,}}\,+\pi \right[\;$ » ;

tracé du graphe de la fonction $\;y=\operatorname {arccot}(x)$ : voir ci-contre
tracé ${\big [}$ le graphe de $\;y=\operatorname {arccot}(x)\;$ est le symétrique de celui de $\;x=\cot(y)\;$ par rapport à la 1^ère diagonale ${\big ]}$ ;

     on observe que la fonction est « $\;\searrow \;$ »,
     on observe que la fonction est « continue sur $\;\mathbb {R} \;$ » et
     on observe que la fonction est « dérivable sur $\;\mathbb {R} \;$ », sa dérivée valant « $\;{\dfrac {d\left[\operatorname {arccot}(x)\right]}{dx}}={\dfrac {-1}{1+x^{2}}}\;$ » ;

     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction « $\;y=\operatorname {arccot}(x)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x=\cot(y)\;$ » ^[19], puis
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « $\;dx=-\left[1+\cot ^{2}(y)\right]dy\;$ » $\Rightarrow$
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « $\;dy={\dfrac {-dx}{1+\cot ^{2}(y)}}\;$ »,
     justification de la dérivée : on termine en éliminant $\;y\;$ au profit de $\;x\;$ avec « $\;\cot(y)=x\;$ » soit « $\;dy={\dfrac {-dx}{1+x^{2}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {-1}{1+x^{2}}}\;$ » ;

conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction $\;\operatorname {arccot}()\;$ qu'« une primitive de $\;{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\;$ est aussi $\;-\operatorname {arccot}(x)+cste\;$ ».

Relation entre les fonctions trigonométriques inverses arctangente et arccotangente

« Le fait qu'une primitive de

\;{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\;

» s'écrive «

\;\arctan(x)+cste'\;

» ou «

\;-\operatorname {arccot}(x)+cste''\;

» montre qu'il existe un lien entre les deux fonctions trigonométriques inverses

\;\arctan()\;

et

\;\operatorname {arccot}()\;

s'écrivant «

\;\arctan(x)=-\operatorname {arccot}(x)+cste\;

» ou «

\;\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=cste\;

»,

     la valeur de $\;cste\;$ étant déterminée en donnant à $\;x\;$ une valeur particulière par exemple $\;1\;$ et
     la valeur de $\;\color {transparent}{cste}\;$ étant déterminée en sachant que $\;\arctan(1)=+{\dfrac {\pi }{4}}\;$ et que $\;\operatorname {arccot}(1)=+{\dfrac {\pi }{4}}\;$
     la valeur de $\;\color {transparent}{cste}\;$ étant déterminée d'où la relation : « $\;\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ » ^[20].

Simplification de fonction composée de grandeurs trigonométriques directe et inverse[modifier | modifier le wikicode]

Nous nous proposons de simplifier des expressions du genre « $\;\cos \!\left[\arcsin(x)\right]\;$ » ou « $\;\sin \!\left[\arctan(x)\right]\;$ » ^[21]

Présentation de la méthode de simplification sur le premier exemple[modifier | modifier le wikicode]

Soit à simplifier « $\;\cos \!\left[\arcsin(x)\right]\;$ » :

Posant « $\;\alpha =\arcsin(x)\;$ », on cherche donc à « évaluer $\;\cos(\alpha )\;$ en fonction de $\;x\;$ » ^[22] ;

« l'inversion de $\;\alpha =\arcsin(x)\;$ conduit à $\;x=\sin(\alpha )\;$ », avec « $\;\alpha \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ dont on déduit $\;\cos(\alpha )\geqslant 0\;$ » ;

     il reste alors à utiliser le lien entre « ce qu'on cherche à évaluer $\;\cos(\alpha )\;$ » et « ce qu'on connaît $\;\sin(\alpha )=x\;$ » par
     il reste alors à utiliser le lien « $\;\cos ^{2}(\alpha )+\sin ^{2}(\alpha )=1\;$ » dont on tire « $\;\vert \cos(\alpha )\vert ={\sqrt {1-\sin ^{2}(\alpha )}}\;$ » et comme $\;\cos(\alpha )\;$ est $\;\geqslant 0$ ,
     il reste alors à utiliser le lien « $\;\cos(\alpha )={\sqrt {1-\sin ^{2}(\alpha )}}\;$ » soit, avec $\;\sin(\alpha )=x$ , « $\;\cos(\alpha )={\sqrt {1-x^{2}}}\;$ » ou finalement

«

\;\cos \!\left[\arcsin(x)\right]={\sqrt {1-x^{2}}}\;

».

Développement de la méthode de simplification sur le deuxième exemple[modifier | modifier le wikicode]

Soit à simplifier « $\;\sin \!\left[\arctan(x)\right]\;$ » :

Posant « $\;\alpha =\arctan(x)\;$ », on cherche donc à « évaluer $\;\sin(\alpha )\;$ en fonction de $\;x\;$ » ^[23] ;

« l'inversion de $\;\alpha =\arctan(x)\;$ conduit à $\;x=\tan(\alpha )\;$ », avec « $\;\alpha \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ », « $\;\sin(\alpha )\;$ étant de signe quelconque » mais « $\;\cos(\alpha )\;$ étant quant à elle $\;>0\;$ » ;

     il reste alors à utiliser le lien entre « ce qu'on cherche à évaluer $\;\sin(\alpha )\;$ » et « ce qu'on connaît $\;\tan(\alpha )=x\;$ » soit
     il reste alors à utiliser le lien « $\;\sin(\alpha )=\tan(\alpha )\times \cos(\alpha )\;$ »,
     il reste alors à utiliser le lien « $\;\color {transparent}{\sin(\alpha )=\tan(\alpha )\times }$ $\;\cos(\alpha )\;$ s'exprimant en fonction de $\;\tan(\alpha )\;$ par $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha )}}=1+\tan ^{2}(\alpha )\;$ $\Rightarrow$ « $\;\vert \cos(\alpha )\vert ={\dfrac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\alpha )}}}\;$ » ou, avec $\;\cos(\alpha )>0$ ,

il reste alors à utiliser le lien « $\;\color {transparent}{\sin(\alpha )=\tan(\alpha )\times }$ « $\;\cos(\alpha )={\dfrac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\alpha )}}}\;$ » d'où

il reste alors à utiliser le lien « $\;\sin(\alpha )={\dfrac {\tan(\alpha )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\alpha )}}}\;$ » soit, avec $\;\tan(\alpha )=x$ , « $\;\sin(\alpha )=$ ${\dfrac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;$ » ou finalement

«

\;\sin \!\left[\arctan(x)\right]={\dfrac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\;

».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

↑ Cette dernière étant très peu utilisée.
↑ ^2,0 et ^2,1 Cette dernière expression peut se déduire $\;{\dfrac {d\left[\exp(i\,x)\right]}{dx}}=i\,\exp(i\,x)=\exp \!\left[i\left(x+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\right]\;$ soit, en en prenant la partie imaginaire $\;{\big (}$ respectivement la partie réelle ${\big )}\;$ et sachant que la dérivée de la partie imaginaire $\;{\big (}$ respectivement de la partie réelle ${\big )}\;$ est la partie imaginaire $\;{\big (}$ respectivement de la partie réelle ${\big )}\;$ de la dérivée, la dernière expression énoncée concernant la dérivée de $\;\sin(x)\;$ ou de $\;\cos(x)$ .
↑ On dérive $\;\tan(x)={\dfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}\;$ comme un quotient et on obtient $\;{\dfrac {d\left[\tan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {\cos(x)\,\cos(x)-\sin(x)\left[-\sin(x)\right]}{\cos ^{2}(x)}}\;$ soit, en utilisant $\;\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ , $\;{\dfrac {d\left[\tan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\cos ^{2}(x)}}\;$ d'une part, et d'autre part en remplaçant $\;1\;$ par $\;\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)\;$ et en distribuant le dénominateur $\;{\dfrac {d\left[\tan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {\cos ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}+{\dfrac {\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)$ ; ces deux expressions sont à connaître.
↑ La fonction cotangente est liée à la fonction tangente par $\;\cot(x)={\dfrac {1}{\tan(x)}}$ ; du caractère $\;\nearrow \;$ de la fonction tangente sur les intervalles continus où elle est définie, et donc de la positivité de sa dérivée, on en déduit que la fonction cotangente est $\;\searrow \;$ sur les intervalles continus où elle est définie et que sa dérivée est négative d'où le signe « $\;-\;$ » précédant $\;{\dfrac {1}{\sin ^{2}(x)}}$ ;
on établit l'expression de la dérivée en dérivant $\;\cot(x)={\dfrac {\cos(x)}{\sin(x)}}\;$ comme un quotient et on obtient $\;{\dfrac {d\left[\cot(x)\right]}{dx}}=$ ${\dfrac {\sin(x)\,\left[-\sin(x)\right]-\cos(x)\,\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}\;$ ou, avec $\;\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ , $\;{\dfrac {d\left[\cot(x)\right]}{dx}}=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}(x)}}\;$ d'une part, et d'autre part en réintroduisant $\;\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\;$ et en distribuant le dénominateur $\;\sin ^{2}(x)\;$ on obtient $\;{\dfrac {d\left[\cot(x)\right]}{dx}}=-\left[{\dfrac {\sin ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}+{\dfrac {\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}\right]=$ $-\left[1+\cot ^{2}(x)\right]$ ; ce résultat est beaucoup moins important que le précédent.
↑ On remarque que les fonctions « sinus », « tangente » et « cotangente » sont impaires, alors que la fonction « cosinus » est paire.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 et ^6,3 Une fonction est injective si tout élément du domaine des valeurs a au plus un antécédent du domaine de définition ; la fonction « sinus » appliquant $\;\mathbb {R} \;$ dans $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ n'est pas injective car tout élément de $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ possède une infinité d'antécédents.
↑ ^7,0 ^7,1 et ^7,2 Une fonction est surjective si tout élément du domaine des valeurs a au moins un antécédent du domaine de définition ; la fonction « sinus » appliquant $\;\mathbb {R} \;$ dans $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ est surjective car tout élément de $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ possède au moins un antécédent ;
si l'ensemble de départ est le domaine de définition et l'ensemble d'arrivée le domaine des valeurs, une fonction est nécessairement surjective mais
si l'ensemble de départ est restreint en maintenant l'ensemble d'arrivée confondu avec le domaine de toutes les valeurs possibles, par exemple la fonction sinus considérée comme appliquant $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ dans $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]$ , l'application peut ne pas être surjective et c'est le cas sur l'exemple de l'application sinus appliquant $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ dans $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ non surjective car aucun élément de $\;\left[-1\,{\text{,}}\,0\right[\;$ n'a d'antécédent dans $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ .
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 et ^8,4 Voir le paragraphe « définition de fonction bijective » plus haut dans ce chapitre.
↑ La restriction du domaine de définition doit être telle que tout élément du domaine des valeurs ait au plus un antécédent dans le domaine restreint : par exemple la fonction « sinus » restreinte au domaine de définition $\;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ , l'ensemble d'arrivée restant $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]$ .
↑ Attention à ne pas trop restreindre le domaine de définition de façon qu'il n'existe aucun élément du domaine des valeurs n'ayant plus d'antécédent dans le domaine de définition restreint :
par exemple la fonction « sinus » restreinte au domaine de définition $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ , l'ensemble d'arrivée restant $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]$ , est certes injective car tout élément de $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ a au plus un antécédent dans $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ $\;{\big (}$ en effet l'antécédent existe et est unique si l'élément d'arrivée $\;\in \left[0\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ et l'antécédent n'existe pas si l'élément d'arrivée $\;\in \left[-1\,{\text{,}}\,0\right[{\big )}\;$ mais n'est plus surjective $\;{\bigg (}$ aucun élément de $\;\left[-1\,{\text{,}}\,0\right[\;$ n'ayant d'antécédent dans $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]{\bigg )}$ .
↑ L'équivalence n'étant correcte que pour $\;x\in \left[-1\,{\text{;}}+1\right]\;$ et $\;y\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{;}}+{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ .
↑ D'où le domaine de dérivabilité de la fonction $\;\arcsin()\;$ restreint à $\;\left]-1\,{\text{,}}\,+1\right[$ .
↑ $\;y\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ $\Rightarrow$ $\;\cos(y)\;$ est $\;>0\;$ d'où $\;\cos(y)\;$ égal à $\;+{\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}$ .
↑ L'équivalence n'étant correcte que pour $\;x\in \left[-1\,{\text{;}}+1\right]\;$ et $\;y\in \left[0\,{\text{;}}+\pi \right]$ .
↑ D'où le domaine de dérivabilité de la fonction $\;\arccos()\;$ restreint à $\;\left]-1\,{\text{,}}\,+1\right[$ .
↑ $\;y\in \left]0\,{\text{,}}\,\pi \right[\;$ $\Rightarrow$ $\;\sin(y)\;$ est $\;>0\;$ d'où $\;\sin(y)\;$ égal à $\;+{\sqrt {1-\cos ^{2}(y)}}$ .
↑ L'équivalence n'étant correcte que pour $\;x\in \mathbb {R} \;$ et $\;y\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{;}}+{\dfrac {\pi }{2}}\right[$ .
↑ Toutefois, pour des raisons de symétrie d'exposé, l'introduction est faite, mais vous ne l'utiliserez vraisemblablement jamais.
↑ L'équivalence n'étant correcte que pour $\;x\in \mathbb {R} \;$ et $\;y\in \left]0\,{\text{;}}+\pi \right[$ .
↑ Ce lien justifiant que l'on pourrait se passer d'introduire la fonction $\;\operatorname {arccot}()\;$ puisque qu'elle n'est que le complément à $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ de la fonction $\;\arctan()$ ;
bien que le lien entre $\;\arccos()\;$ et $\;\arcsin()\;$ soit le même, la fonction $\;\arccos()\;$ est usuellement introduite bien qu'elle pourrait ne pas l'être, la fonction $\;\arccos()\;$ n'étant que le complément à $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ de la fonction $\;\arcsin()$ ; toutefois ce n'est que lors de la prise de primitive que l'on privilégie la fonction $\;\arcsin()\;$ au profit de la fonction $\;\arccos()$ .
↑ Ces deux exemples quelconques devraient suffire pour présenter la méthode de simplification.
↑ Le fait de baptiser $\;\alpha \;$ la fonction $\;\arcsin(x)\;$ va permettre de préciser « son domaine de valeurs plus simplement $\;\alpha \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ », « son domaine de définition étant $\;x\in \left[-1{\text{ ; }}+1\right]\;$ ».
↑ Le fait de baptiser $\;\alpha \;$ la fonction $\;\arctan(x)\;$ va permettre de préciser « son domaine de valeurs plus simplement $\;\alpha \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ », « son domaine de définition étant $\;x\in \mathbb {R} \;$ ».

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Grandeurs associées à une fonct. sinus. de t : amplit. complexe, vect. de Fresnel

Complexes, formes algébrique et trigonométrique

[1] Cette dernière étant très peu utilisée.

[Dérivée_sin,_cos-2] 2,0 et ^2,1 Cette dernière expression peut se déduire $\;{\dfrac {d\left[\exp(i\,x)\right]}{dx}}=i\,\exp(i\,x)=\exp \!\left[i\left(x+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\right]\;$ soit, en en prenant la partie imaginaire $\;{\big (}$ respectivement la partie réelle ${\big )}\;$ et sachant que la dérivée de la partie imaginaire $\;{\big (}$ respectivement de la partie réelle ${\big )}\;$ est la partie imaginaire $\;{\big (}$ respectivement de la partie réelle ${\big )}\;$ de la dérivée, la dernière expression énoncée concernant la dérivée de $\;\sin(x)\;$ ou de $\;\cos(x)$ .

[3] On dérive $\;\tan(x)={\dfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}\;$ comme un quotient et on obtient $\;{\dfrac {d\left[\tan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {\cos(x)\,\cos(x)-\sin(x)\left[-\sin(x)\right]}{\cos ^{2}(x)}}\;$ soit, en utilisant $\;\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ , $\;{\dfrac {d\left[\tan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {1}{\cos ^{2}(x)}}\;$ d'une part, et d'autre part en remplaçant $\;1\;$ par $\;\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)\;$ et en distribuant le dénominateur $\;{\dfrac {d\left[\tan(x)\right]}{dx}}={\dfrac {\cos ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}+{\dfrac {\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)$ ; ces deux expressions sont à connaître.

[4] La fonction cotangente est liée à la fonction tangente par $\;\cot(x)={\dfrac {1}{\tan(x)}}$ ; du caractère $\;\nearrow \;$ de la fonction tangente sur les intervalles continus où elle est définie, et donc de la positivité de sa dérivée, on en déduit que la fonction cotangente est $\;\searrow \;$ sur les intervalles continus où elle est définie et que sa dérivée est négative d'où le signe « $\;-\;$ » précédant $\;{\dfrac {1}{\sin ^{2}(x)}}$ ;
on établit l'expression de la dérivée en dérivant $\;\cot(x)={\dfrac {\cos(x)}{\sin(x)}}\;$ comme un quotient et on obtient $\;{\dfrac {d\left[\cot(x)\right]}{dx}}=$ ${\dfrac {\sin(x)\,\left[-\sin(x)\right]-\cos(x)\,\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}\;$ ou, avec $\;\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ , $\;{\dfrac {d\left[\cot(x)\right]}{dx}}=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}(x)}}\;$ d'une part, et d'autre part en réintroduisant $\;\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\;$ et en distribuant le dénominateur $\;\sin ^{2}(x)\;$ on obtient $\;{\dfrac {d\left[\cot(x)\right]}{dx}}=-\left[{\dfrac {\sin ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}+{\dfrac {\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}\right]=$ $-\left[1+\cot ^{2}(x)\right]$ ; ce résultat est beaucoup moins important que le précédent.

[5] On remarque que les fonctions « sinus », « tangente » et « cotangente » sont impaires, alors que la fonction « cosinus » est paire.

[fonction_injective-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 et ^6,3 Une fonction est injective si tout élément du domaine des valeurs a au plus un antécédent du domaine de définition ; la fonction « sinus » appliquant $\;\mathbb {R} \;$ dans $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ n'est pas injective car tout élément de $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ possède une infinité d'antécédents.

[fonction_surjective-7] 7,0 ^7,1 et ^7,2 Une fonction est surjective si tout élément du domaine des valeurs a au moins un antécédent du domaine de définition ; la fonction « sinus » appliquant $\;\mathbb {R} \;$ dans $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ est surjective car tout élément de $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ possède au moins un antécédent ;
si l'ensemble de départ est le domaine de définition et l'ensemble d'arrivée le domaine des valeurs, une fonction est nécessairement surjective mais
si l'ensemble de départ est restreint en maintenant l'ensemble d'arrivée confondu avec le domaine de toutes les valeurs possibles, par exemple la fonction sinus considérée comme appliquant $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ dans $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]$ , l'application peut ne pas être surjective et c'est le cas sur l'exemple de l'application sinus appliquant $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ dans $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ non surjective car aucun élément de $\;\left[-1\,{\text{,}}\,0\right[\;$ n'a d'antécédent dans $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ .

[fonction_bijective-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 et ^8,4 Voir le paragraphe « définition de fonction bijective » plus haut dans ce chapitre.

[9] La restriction du domaine de définition doit être telle que tout élément du domaine des valeurs ait au plus un antécédent dans le domaine restreint : par exemple la fonction « sinus » restreinte au domaine de définition $\;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ , l'ensemble d'arrivée restant $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]$ .

[10] Attention à ne pas trop restreindre le domaine de définition de façon qu'il n'existe aucun élément du domaine des valeurs n'ayant plus d'antécédent dans le domaine de définition restreint :
par exemple la fonction « sinus » restreinte au domaine de définition $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ , l'ensemble d'arrivée restant $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]$ , est certes injective car tout élément de $\;\left[-1\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ a au plus un antécédent dans $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ $\;{\big (}$ en effet l'antécédent existe et est unique si l'élément d'arrivée $\;\in \left[0\,{\text{,}}\,+1\right]\;$ et l'antécédent n'existe pas si l'élément d'arrivée $\;\in \left[-1\,{\text{,}}\,0\right[{\big )}\;$ mais n'est plus surjective $\;{\bigg (}$ aucun élément de $\;\left[-1\,{\text{,}}\,0\right[\;$ n'ayant d'antécédent dans $\;\left[0\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right]{\bigg )}$ .

[11] L'équivalence n'étant correcte que pour $\;x\in \left[-1\,{\text{;}}+1\right]\;$ et $\;y\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{;}}+{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ .

[12] D'où le domaine de dérivabilité de la fonction $\;\arcsin()\;$ restreint à $\;\left]-1\,{\text{,}}\,+1\right[$ .

[13] $\;y\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ $\Rightarrow$ $\;\cos(y)\;$ est $\;>0\;$ d'où $\;\cos(y)\;$ égal à $\;+{\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}$ .

[14] L'équivalence n'étant correcte que pour $\;x\in \left[-1\,{\text{;}}+1\right]\;$ et $\;y\in \left[0\,{\text{;}}+\pi \right]$ .

[15] D'où le domaine de dérivabilité de la fonction $\;\arccos()\;$ restreint à $\;\left]-1\,{\text{,}}\,+1\right[$ .

[16] $\;y\in \left]0\,{\text{,}}\,\pi \right[\;$ $\Rightarrow$ $\;\sin(y)\;$ est $\;>0\;$ d'où $\;\sin(y)\;$ égal à $\;+{\sqrt {1-\cos ^{2}(y)}}$ .

[17] L'équivalence n'étant correcte que pour $\;x\in \mathbb {R} \;$ et $\;y\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{;}}+{\dfrac {\pi }{2}}\right[$ .

[18] Toutefois, pour des raisons de symétrie d'exposé, l'introduction est faite, mais vous ne l'utiliserez vraisemblablement jamais.

[19] L'équivalence n'étant correcte que pour $\;x\in \mathbb {R} \;$ et $\;y\in \left]0\,{\text{;}}+\pi \right[$ .

[20] Ce lien justifiant que l'on pourrait se passer d'introduire la fonction $\;\operatorname {arccot}()\;$ puisque qu'elle n'est que le complément à $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ de la fonction $\;\arctan()$ ;
bien que le lien entre $\;\arccos()\;$ et $\;\arcsin()\;$ soit le même, la fonction $\;\arccos()\;$ est usuellement introduite bien qu'elle pourrait ne pas l'être, la fonction $\;\arccos()\;$ n'étant que le complément à $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ de la fonction $\;\arcsin()$ ; toutefois ce n'est que lors de la prise de primitive que l'on privilégie la fonction $\;\arcsin()\;$ au profit de la fonction $\;\arccos()$ .

[21] Ces deux exemples quelconques devraient suffire pour présenter la méthode de simplification.

[22] Le fait de baptiser $\;\alpha \;$ la fonction $\;\arcsin(x)\;$ va permettre de préciser « son domaine de valeurs plus simplement $\;\alpha \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}}{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ », « son domaine de définition étant $\;x\in \left[-1{\text{ ; }}+1\right]\;$ ».

[23] Le fait de baptiser $\;\alpha \;$ la fonction $\;\arctan(x)\;$ va permettre de préciser « son domaine de valeurs plus simplement $\;\alpha \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}{\text{ ; }}{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ », « son domaine de définition étant $\;x\in \mathbb {R} \;$ ».

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