Introduction aux transferts thermiques/Concepts généraux

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La science des transferts thermiques est une approche phénoménologique des échanges de chaleur au sens thermodynamique du terme. Elle est en lien direct avec la thermodynamique, et se rapproche notamment de la mécanique des fluides et de l’électromagnétisme.

Chaleur

La chaleur, est une notion non intuitive. Le terme chaleur est hérité des fondateurs de la thermodynamique. Il présente l'inconvénient d'introduire un risque de confusion avec la notion de température. Aussi, la chaleur est avantageusement nommée transfert thermique. Les expressions « transfert de chaleur » ou « transfert de chaleur » sont des pléonasmes très répandus.

On définira la chaleur par ce qu'elle n’est pas :

Définition La chaleur est un échange d'énergie interne qui n’est pas sous la forme d'un travail mécanique.

Hypothèses

De même que pour un problème thermodynamique, il convient avant toute considération sur les transferts thermiques de définir le système sur lequel on travaille. Le système est considéré sous l'hypothèse des milieux continus, ou échelle mésoscopique : on se limite à des volumes élémentaires arbitrairement petits du point de vue macroscopique, mais suffisamment grands à l'échelle moléculaire. Sous cette hypothèse, les grandeurs physiques sont définies de façon moyenne sur un volume élémentaire $\mathrm {d} V$.
​Par ailleurs, sauf mention contraire, on supposera dans toutes les leçons de ce département que les transferts thermiques se font sous l'hypothèse de l'équilibre thermodynamique local (ETL), qui est un « déséquilibre thermodynamique faible » : l'état du système considéré est à tout instant infiniment proche d'un état d'équilibre. Ainsi, les variables physiques dont la température peuvent être définies en tout point.

Premier principe de la thermodynamique

Dans un premier temps, considérons un système matériel fermé qui reçoit la chaleur $\delta Q$ et le travail $\delta W$ pendant la durée $\mathrm {d} t$. Le premier principe de la thermodynamique énonce que la variation élémentaire de l'énergie interne du système est, en l'absence de source d'énergie dans le système :

$\mathrm {d} U=\delta Q+\delta W$.

Si on considère que le travail des forces de pression est le seul travail échangé par le système avec l'extérieur :

$\delta W=-P\,\mathrm {d} V\Rightarrow \mathrm {d} U=\delta Q-P\,\mathrm {d} V$.

Selon la définition de l'enthalpie :

$\mathrm {d} H=\mathrm {d} U+P\mathrm {d} V+V\mathrm {d} P\Rightarrow \mathrm {d} H=\delta Q+V\,\mathrm {d} P$.

Pour un système soumis à un processus effectué à pression constante (isobare), la relation suivante

${\rm {d}}H=m\,c_{p}\,{\rm {d}}T={\delta }Q$,

où $\rho$ la mase volumique et $c_{p}$ la capacité thermique massique à pression constante.

De façon similaire pour un système soumis à un processus à volume constant (isochore) :

${\rm {d}}U=m\,c_{V}\,{\rm {d}}T={\delta }Q$.

Flux thermique

Le flux thermique ou flux de chaleur est la puissance échangée par transfert thermique, autrement dit sous forme de chaleur : $\Phi ={\frac {{\delta }Q}{{\rm {d}}t}}={\dot {Q}}$.

Densité de flux thermique

Vecteur densité de flux thermique

Le vecteur densité de flux thermique ou vecteur densité de flux de chaleur ${\vec {\varphi }}$ est le flux d'énergie thermique transféré localement par unité de surface.

${\frac {{\delta }Q}{{\rm {d}}t}}=\Phi =\int \!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma$

Définition On définit un champ vectoriel ${\vec {\varphi }}$ appelé vecteur densité de flux thermique, tel que l’on ait pour une surface d'échange $\Sigma$ : ${\frac {{\delta }Q}{{\rm {d}}t}}=\Phi =\int \!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma$, où $\Sigma$ désigne la surface frontière du système, et ${\vec {n}}$ est la normale unitaire à cette surface.

${\vec {\varphi }}$ représente la quantité et la direction dans laquelle le transfert thermique est effectué en un point. Le flux thermique $\Phi$ est positif s'il se produit dans la direction de ${\vec {n}}$.

Si on considère le flux thermique pour un système entier, où $\Sigma$ désigne la surface frontière du système, les conventions habituelles imposent ${\vec {n}}$ comme la normale unitaire sortante à cette surface : le flux thermique à travers la surface frontière est alors positif lorsque l'énergie est sortante. En revanche, les conventions de la thermodynamique imposent une valeur positive pour un gain d'énergie $Q$ par transfert thermique pour le système considéré. Par conséquent, il convient de corriger par un signe négatif :

${\frac {{\delta }Q}{{\rm {d}}t}}=-\Phi =-\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma$.

Densité de flux thermique scalaire

La plupart du temps, on ne s'intéresse au vecteur densité de flux thermique qu’à la frontière d'un système donné. Par conséquent, on dégrade souvent l'information et on utilise un champ scalaire densité de flux thermique ${\varphi }$. Il est tel qu'en un point de la surface frontière, on ait ${\varphi }={\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}$. L'unité SI de ${\varphi }$ est le watt par mètre carré (W m^-2).

Conservation de l'énergie

La plupart des transformations mettant en jeu un transfert thermique sont des transformations isobares. Si ${\dot {E}}_{\mathrm {gen} }$ est la puissance d'une source interne au système, la variation d'enthalpie du système peut s'écrire :

${\frac {{\rm {d}}H}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\delta }Q}{{\rm {d}}t}}+{\dot {E}}_{\mathrm {gen} }$,

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\rho }\,c_{p}\,T\,\mathrm {d} V=-\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma +{\dot {E}}_{\mathrm {gen} }$.

De plus, le théorème de Green-Ostrogradski donne le résultat suivant :

$\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma =\iiint _{V}\mathrm {div} \,{\vec {\varphi }}\,\mathrm {d} V$.

Si ${\dot {E}}_{\mathrm {gen} }=m\,{\dot {e}}_{\mathrm {gen} }$, où ${\dot {e}}_{\mathrm {gen} }$ est la puissance massique de la source :

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\rho }\,c_{p}\,T\right)+\mathrm {div} \,{\vec {\varphi }}=\rho \,{\dot {e}}_{\mathrm {gen} }$.