Introduction aux transferts thermiques/Équation de la chaleur

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On a vu au chapitre n°1 une mise en équation locale du phénomène de transfert thermique dans un corps. Cette approche ne traitait qu'une partie des questions liées à cette mise en équation. On traite ici un cas plus général.

Le système considéré, de volume $V$ et de surface externe $\Sigma$, est indéformable. Il en résulte que la capacité thermique massique à volume constant est égale à la capacité thermique massique à pression constante (J kg^-1 K^-1) : $c_{v}=c_{p}=c$.

Le taux de variation d'énergie interne $U$ du système s'écrit : $\iiint _{V}\rho \,c\,{\frac {\partial T}{\partial t}}\mathrm {d} V$, où $\rho$ est la masse volumique (kg m^-3)
L'énergie reçue par le système à ses frontières est : $\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }-{\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma =\iiint _{V}-\mathrm {div} \,{\vec {\varphi }}\,\mathrm {d} V$. On convient du signe positif quand le système reçoit effectivement cette énergie.

Le système peut éventuellement avoir des sources internes d'énergie (effet Joule, réaction chimique, etc.) qui s'écrivent : $\iiint _{V}q\,\mathrm {d} V$.Selon le premier principe de la thermodynamique :

$\iiint _{V}\rho \,c\,{\frac {\partial T}{\partial t}}\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }-{\vec {\varphi }}\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} \Sigma +\iiint _{V}q\,\mathrm {d} V$.

Le théorème de la divergence permet de ramener cette équation de bilan à une équation locale en chaque point, ci-dessous.

Équation indéfinie de la chaleur : $\rho \,c\,{\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathrm {div} \,{\vec {\varphi }}=q$.

Hypothèses supplémentaires :

• il n'y a aucun transfert d'énergie ne se produisant par déplacement de matière, il n'y a pas de transfert thermique par convection ;
• le milieu est opaque, il n'y a pas de transfert thermique par rayonnement ;
• le milieu est isotrope et homogène, les propriétés thermophysiques sont les même dans toutes les directions et dans tout le système.

Il en résulte que le flux thermique n'est dû qu'à la conduction thermique :

${\vec {\varphi }}=-\lambda \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,T$ , où $\lambda$ est la conductivité thermique (W K^-1 m^-1).

Dans le cas général, les propriétés thermophysiques $\lambda$, $\rho$, $c$ sont dépendantes de la température. Elle ne sont cependant pas dérivées spatialement. On peut alors écrire :

$-\mathrm {div} \,{\overrightarrow {\varphi }}=\mathrm {div} \left(\lambda (T)\,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,T\right)$;

$-\mathrm {div} {\overrightarrow {\varphi }}=\lambda (T)\,\mathrm {div} \!\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,T\right)+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,T\ {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,\lambda$ ;

$-\mathrm {div} {\overrightarrow {\varphi }}=\lambda (T)\Delta T+{\frac {\partial \lambda (T)}{\partial T}}\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,T\right)^{2}$.

L'équation de la chaleur devient :

$\rho \,C{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda (T)\Delta T+{\frac {\partial \lambda (T)}{\partial T}}\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,T\right)^{2}+q$

Équation de la chaleur avec thermodépendance : $\Delta T+{\frac {1}{\lambda (T)}}{\frac {\partial \lambda }{\partial T}}\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,T\right)^{2}-{\frac {\rho \,c}{\lambda (T)}}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {q}{\lambda (T)}}$.

Si, pour simplifier les calculs, on peut considérer la conduction thermique constante, on a Sans la thermodépendance on a :

$\Delta T-{\frac {\rho \,c}{\lambda }}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {q}{\lambda }}$.

On peut introduire la diffusivité thermique $a={\frac {\lambda }{\rho \,C}}$ en m² s^-1.

Équation linéaire de la chaleur sans thermodépendance : $\Delta T-{\frac {1}{a}}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {q}{\lambda }}$.

Autre démonstration de l'équation en partant d'un bilan énergétique

Comme précédemment, on étudie un corps incompressible de sorte que $c_{v}=c_{p}=c$. Écrivons le bilan thermique d'un élément de volume élémentaire $\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ en coordonnées cartésiennes, situé au point $M(x_{0},y_{0},z_{0})$, pour un intervalle de temps élémentaire $\mathrm {d} t$. La densité de flux thermique est par définition : ${\overrightarrow {\varphi }}=\varphi _{x}\,{\overrightarrow {e_{x}}}+\varphi _{y}\,{\overrightarrow {e_{y}}}+\varphi _{z}\,{\overrightarrow {e_{z}}}$.

• Énergie stockée :

$E_{\text{stock}}=\rho \,c\,\mathrm {d} V\mathrm {d} T$.

• Énergie échangée avec l'extérieur par transfert thermique $Q$.

Quantité d'énergie qui entre par transfert thermique par la face en $x_{0}$ :

$Q(x_{0})=-{\overrightarrow {\varphi }}(x_{0})\cdot {\overrightarrow {n}}(x_{0})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} t$.

Quantité d'énergie qui entre par transfert thermique par la face en $x_{0}+\mathrm {d} x$ :

$Q(x_{0}+\mathrm {d} x)=-{\overrightarrow {\varphi }}(x_{0}+\mathrm {d} x)\cdot {\overrightarrow {n}}(x_{0}+\mathrm {d} x)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} t$.

Puisque ${\overrightarrow {e_{x}}}=-{\overrightarrow {n}}(x_{0})={\overrightarrow {n}}(x_{0}+\mathrm {d} x)$ :

$Q(x_{0}+\mathrm {d} x)+Q(x_{0})=-\left({\overrightarrow {\varphi }}(x_{0}+\mathrm {d} x)-{\overrightarrow {\varphi }}(x_{0})\right)\cdot {\overrightarrow {e_{x}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} t=-{\frac {\partial {\overrightarrow {\varphi }}}{\partial x}}{\Bigg |}_{x_{0}}\!\!\!\!\!\cdot {\overrightarrow {e_{x}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} t$,

$Q(x_{0}+\mathrm {d} x)+Q(x_{0})=-\left(\varphi _{x}(x_{0}+\mathrm {d} x)-\varphi _{x}(x_{0})\right)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} t$,

$Q(x_{0}+\mathrm {d} x)+Q(x_{0})=-{\frac {\partial \varphi _{x}}{\partial x}}{\Bigg |}_{x_{0}}\!\!\!\!\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} t$.

Même raisonnement sur les face en $y_{0}$ et $y_{0}+\mathrm {d} y$ :

$Q(y_{0}+\mathrm {d} y)+Q(y_{0})=-{\frac {\partial \varphi _{y}}{\partial y}}{\Bigg |}_{y_{0}}\!\!\!\!\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} t$ ; et sur les face en $z_{0}$ et $z_{0}+\mathrm {d} z$ :

$Q(z_{0}+\mathrm {d} y)+Q(z_{0})=-{\frac {\partial \varphi _{z}}{\partial z}}{\Bigg |}_{z_{0}}\!\!\!\!\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} t$. Finalement :

$Q=-\left({\frac {\partial \varphi _{x}}{\partial x}}{\Bigg |}_{x_{0}}\!\!\!\!+{\frac {\partial \varphi _{y}}{\partial y}}{\Bigg |}_{y_{0}}\!\!\!\!+{\frac {\partial \varphi _{z}}{\partial z}}{\Bigg |}_{z_{0}}\right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} t=-\mathrm {div} {\overrightarrow {\varphi }}\mathrm {d} V\mathrm {d} t$.

• Énergie apportée par des sources internes :

$E_{\text{prod}}=q\,\mathrm {d} V\mathrm {d} t$.

On retrouve l'équation de la chaleur indéfinie :

$\rho \,c\,\mathrm {d} T=-\mathrm {div} {\overrightarrow {\varphi }}\mathrm {d} t+q\,\mathrm {d} t$.