Introduction à la magnétohydrodynamique/MHD non idéale

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La prise en compte de la résistance électrique dans les effets magnétohydrodynamiques, qui amène au modèle de « MHD résistive » ou « non-idéale » est relativement complexe d'un point de vue calculatoire. Aussi devrons nous admettre dans ce chapitre certains résultats, dont on pourra vérifier qu’ils redonnent ceux de la MHD idéale lorsque la résistance s'annule.

Équation d'onde et relation de dispersion

Lorsque la conductivité n’est pas infinie, l'onde b obéit à l'équation de propagation suivante :

${\frac {\partial ^{2}b}{\partial t^{2}}}-{\frac {B_{0}^{2}}{\mu _{0}\mu }}{\frac {\partial ^{2}b}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{\mu _{0}\gamma }}{\frac {\partial ^{3}b}{\partial t\partial z^{2}}}$

Cette relation est toujours linéaire, nous allons donc chercher ses solutions sous la forme d'harmoniques complexes, c'est-à-dire des ondes de la forme :

$b\left(z,t\right)=b_{0}\exp \left[i\left(\omega t-kz\right)\right]$

La relation de propagation est donc vérifiée lorsque :

$-\omega ^{2}-v_{A}^{2}k^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\gamma }}k^{2}i\omega$

Manipulons cette relation :

$k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v_{A}^{2}+{\frac {i\omega }{\mu _{0}\gamma }}}}=\left({\frac {\omega }{v_{A}}}\right)^{2}\cdot \left(1+{\frac {i\omega }{\mu _{0}\gamma v_{A}^{2}}}\right)^{-1}$

En notant « (1 + iX)⁻¹ » le terme de droite, nous avons ainsi une relation de dispersion de la forme :

$k^{2}=\left({\frac {\omega }{v_{A}}}\right)^{2}\left(1+i\mathrm {X} \right)^{-1}$ $\mathrm {X} ={\frac {\omega }{\mu _{0}\gamma v_{A}^{2}}}$

Forte conductivité

Si on fait l'hypothèse que la conductivité, bien que finie, soit « suffisamment grande », alors le terme X est petit devant 1 et on peut approcher k au premier ordre :

$k\approx \left({\frac {\omega }{v_{A}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {1}{2}}i\mathrm {X} \right)$

Soit enfin :

$k\approx {\frac {\omega }{v_{A}}}-i{\frac {1}{2}}{\frac {\omega ^{2}}{\mu _{0}\gamma v_{A}^{3}}}$

Ce nombre d'onde possède une partie complexe non-nulle (négative) : il y a absorption. Ainsi, l'onde MHD est atténuée. En effet, l'onde a alors pour expression, si on note k = k₁ - i K₂ :

${\begin{aligned}b&=b_{0}\exp \left[i\left(\omega t-\left(k_{1}-ik_{2}\right)z\right)\right]\\\ &=b_{0}\exp \left[i\left(\omega t-k_{1}z\right)\right]e^{-k_{2}z}\end{aligned}}$

Par conséquent, l'onde est absorbée sur une distance caractéristique δ :

$\delta ={\frac {1}{k_{2}}}$

Cette dissipation est liée à la perte d'énergie par effet Joule, due à la résistance du fluide. On peut également calculer la vitesse de phase de l'onde :

$v_{\phi }={\frac {\omega }{k_{1}}}=v_{A}$

En conclusion, à l’ordre un, le milieu est absorbant mais non-dispersif.

Faible conductivité

On suppose maintenant que la conductivité du fluide est suffisamment faible pour que $\mathrm {X} \gg 1$. On peut alors donner une expression de k’ dans ce cas limite :

$k'^{2}\approx \left({\frac {\omega }{v_{A}}}\right)^{2}\cdot \left(i\mathrm {X} \right)^{-1}=-{\frac {i\omega ^{2}}{v_{A}^{2}\mathrm {X} }}$

Ainsi, en supposant qu'onde progressive (au lieu de régressive), le nombre d'onde est :

$k'=+{\frac {\omega }{v_{A}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\mathrm {X} }}}\left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}\right)$

De même que précédemment, ce nombre d'onde possède une partie imaginaire négative : il y a absorption. En notant k' = k'₁ -ik'₂, cette absorption se fait sur une distance caractéristique :

$\delta '={\frac {1}{k_{2}'}}={\sqrt {\frac {2}{\mu _{0}\gamma \omega }}}$

On reconnait l'épaisseur de peau : la MHD à faible conductivité redonne le comportement des matériaux ohmiques. Seules des fréquences très faibles peuvent avoir une influence mesurable sur le fluide.

Limite MHD

Dans le cas d'une faible conductivité, l'hydrodynamique n'a plus tellement d'influence. On quantifie la limite entre un problème « électromagnétique » et un problème « magnétohydrodynamique » par un nombre : le nombre de Lundquist.

Il y a des effets magnétohydrodynamiques lorsque $L\gg 1$.