Intégrale double/Intégration sur un pavé compact

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Définitions

Définition

On appelle pavé de $\mathbb {R} ^{n}$ tout sous-ensemble $P$ de $\mathbb {R} ^{n}$ de la forme :

$P=\left[a_{1},b_{1}\right]\times \dots \times \left[a_{n},b_{n}\right]$

où $\forall i\in \{1,\dots ,n\}\quad a_{i}<b_{i}$.

Dans la suite de cette leçon, on se restreindra au cas des intégrales doubles, donc des pavés d'intégration de $\mathbb {R} ^{2}$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f:\left[a,b\right]\times \left[c,d\right]\to \mathbb {R}$ continue. Alors $x\mapsto \int _{c}^{d}f(x,\cdot )$ et $y\mapsto \int _{a}^{b}f(\cdot ,y)$ sont intégrables et :

$\int _{a}^{b}\left(\int _{c}^{d}f(x,\cdot )\right)\,\mathrm {d} x=\int _{c}^{d}\left(\int _{a}^{b}f(\cdot ,y)\right)\,\mathrm {d} y$.

Fin du théorème

Démonstration

La méthode est de remplacer la borne fixe $b$ par une variable $X$ et de montrer que les deux fonctions de $X$ obtenues coïncident sur tout l'intervalle $\left[a,b\right]$ (en particulier en $b$) parce qu'elles coïncident en $a$ et ont même dérivée.

Considérons donc ces deux fonctions (évidemment nulles en $a$) :

• $F:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ,\;X\mapsto \int _{a}^{X}\left(\int _{c}^{d}f(x,\cdot )\right)\,\mathrm {d} x$ ;
• $G:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} ,\;X\mapsto \int _{c}^{d}\left(\int _{a}^{X}f(\cdot ,y)\right)\,\mathrm {d} y$.

$F$ est bien définie car la fonction $x\mapsto \int _{c}^{d}f(x,\cdot )$ est intégrable même continue sur $\left[a,b\right]$, d'après le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre ($f$ est continue sur un pavé compact, donc on peut majorer $\left|f\right|$ par une constante, qui est intégrable sur $\left[c,d\right]$). De plus, d'après le théorème fondamental de l'analyse, $F$ est dérivable et sa dérivée est cette fonction continue :

$\forall X\in \left[a,b\right]\quad F'(X)=\int _{c}^{d}f(X,\cdot )$.

$G$ est bien définie car — à nouveau d'après le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre — pour $X$ fixé, $y\mapsto \int _{a}^{X}f(\cdot ,y)$ est continue sur $\left[c,d\right]$ (donc intégrable). De plus — à nouveau d'après le théorème fondamental de l'analyse — ${\frac {\partial }{\partial X}}\int _{a}^{X}f(\cdot ,y)=f(X,y)$ donc — d'après le théorème de dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre — $G$ est dérivable et

$\forall X\in \left[a,b\right]\quad G'(X)=\int _{c}^{d}f(X,y)\,\mathrm {d} y$,

ce qui achève la preuve.

 

Définition

Sous les mêmes hypothèses qu'au théorème précédent, on appelle intégrale double de $f$ sur le pavé $P=\left[a,b\right]\times \left[c,d\right]$, et l'on note $\iint _{P}f$, la quantité commune :

$\int _{a}^{b}\left(\int _{c}^{d}f(x,\cdot )\right)\,\mathrm {d} x=\int _{c}^{d}\left(\int _{a}^{b}f(\cdot ,y)\right)\,\mathrm {d} y$.

Intégrale double comme volume situé entre un pavé du plan et son image (la surface) par une fonction.

Dans le cadre numérique, l'intégrale double peut se voir comme le volume délimité par le pavé et la nappe des valeurs de la fonction sur ce pavé.

Début de l'exemple

Exemple

Sur $P=[a,b]\times [c,d]$ on a :

$\iint _{P}1=(b-a)(c-d)$.

Fin de l'exemple

Propriétés

L'intégrale double vérifie, comme l'intégrale simple, plusieurs propriétés élémentaires comme :

• la linéarité : $\iint _{P}(\lambda f+\mu g)=\lambda \iint _{P}f+\mu \iint _{P}g$ ;
• l'inégalité triangulaire : $\left|\iint _{P}f\right|\leq \iint _{P}|f|$.