Identités remarquables/Factorisation

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Nous avons déjà, dans la leçon Calcul littéral, commencé à étudier la factorisation. Nous allons, dans ce chapitre, continuer cette étude en envisageant des méthodes plus élaborées.

Définition

En mathématiques, factoriser signifie décomposer un polynôme en un produit de facteurs.

En général, il y a quatre méthodes pour factoriser un polynôme :

• La mise en évidence
• La mise en évidence successive
• Les identités remarquables
• Le trinôme du 2^e degré

Méthodes de factorisation

La mise en évidence

Prenons un exemple :

$ac+ad$

Nous pouvons constater qu’il y a un facteur commun, qui est "a". Nous allons donc le mettre en évidence, pour faire en sorte qu’il distribue les autres facteurs. La factorisation est la suivante :

$a(c+d)$

La mise en évidence successive

Prenons un exemple :

$ma+mb+na+nb$

Nous voyons deux fois deux facteurs communs (il y en a quatre fois deux en réalité mais c’est pour l'exemple) qui sont "m" et "n". Nous allons les mettre en évidence pour qu’ils distribuent chaque autre facteur, mais successivement :

$m(a+b)+n(a+b)$

Nous pouvons encore factoriser de la manière suivante, vu que nos termes "m" et "n" distribuent les mêmes binômes "(a+b)", ce qui donne au final :

$(a+b)(m+n)$

Les identités remarquables

Le carré d'une somme (1e)

Nous pouvons commencer par un exemple du carré d'une somme :

$4+4x+x^{2}$

Nous voyons directement qu’il s'agit de la première identité remarquable, (le carré d'une somme). Nous voyons deux carrés parfaits plus les deux produits de leur racine. Ce qui donne :

$(2+x)^{2}$

Le carré d'une différence (2e)

Un autre exemple avec le carré d'une différence :

$9-6x+x^{2}$

Il s'agit du carré d'une différence par ses deux carrés parfaits moins le double produit de ses deux termes. La factorisation sera donc :

$(3-x)^{2}$ ou $(x-3)^{2}$

Le carré d'une somme par une différence (3e)

Un dernier exemple avec le carré d'une somme pas une différence :

$9x^{2}-25$

Nous voyons le premier terme au carré moins le deuxième termes au carré, donc c'est la troisième identité remarquable à utiliser. En factorisant, nous trouvons :

$(3x+5)(3x-5)$

Le trinôme du 2^e degré

Prenons l'expression suivante :

$x^{2}+7x+10$

À ne pas confondre avec une identité remarquable ! Cela prête à confusion.

Passons directement à la réponse avec quelques explications :

$(x+2)(x+5)$

$(a+b)(a+c)$

Il n'y a pas de méthode exacte si ce n'est que le premier terme est un carré parfait, que le second est une addition du terme "b + c" multiplié par "a" et que le dernier est la multiplication des terme "b" et "c". Si nous voulons définir une règle, nous pouvons la faire de la manière suivante :

$(a+b)(a+c)=a^{2}+[a(b+c)]+bc$

Ou, pour plus simplifier encore :

$a^{2}+ab+ac+bc$.