Dynamique des fluides parfaits/Applications pratiques

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Vidange d'un réservoir

Nous allons utiliser le cas de l'écoulement d'un fluide depuis un réservoir. On cherche à établir la loi de vidange h(t) correspondant à la hauteur de fluide dans le réservoir au temps t. La hauteur initiale est notée h0. Les questions qu’il est nécessaire de se poser sont toujours les mêmes.

Est-ce que le fluide peut être considéré comme parfait?

Oui, le fluide peut être considéré comme parfait car...

Est ce que le fluide peut être considéré comme incompressible?

Oui, le fluide peut être considéré comme incompressible car... On pourra utiliser la conservation du débit volumique.

$Q_{1}=Q_{2}\Rightarrow V_{1}.S_{1}=V_{2}.S_{2}\Rightarrow V_{1}={\frac {S_{2}}{S_{1}}}.V_{2}$

S2 étant plus petite que S1, on en déduit que V1 est plus petit que V2

De plus, la vitesse du fluide dans le réservoir (v1) correspond aux variations de la hauteur du fluide en fonction du temps:

$V_{1}=-{\frac {dh}{dt}}$

Est-ce que l'écoulement est permanent?

Non, l'écoulement n’est pas permanent car...

L'équation de Bernouilli est

$\int _{1}^{2}\rho .{\frac {\overrightarrow {d{v}}}{dt}}{\overrightarrow {dr}}+(P_{2}+\rho gz_{2}+0.5\rho v_{2}^{2})-(P_{1}+\rho gz_{1}+0.5\rho v_{1}^{2})=0$

On remarquera que:

$P_{1}=P_{2}=Patm$

$z_{1}=h(t)$ $z_{2}=h_{0}$

Il vient donc:

$\int _{1}^{2}\rho .{\frac {\overrightarrow {d{v}}}{dt}}{\overrightarrow {dr}}+0.5\rho v_{2}^{2}.(1+({\frac {S_{2}}{S_{1}}})^{2})-\rho gh(t)=0$

Est-ce qu’il y a une ligne de courant?

Oui, il existe au moins une ligne de courant, le long des parois. Cette ligne de courant passe par les points 1, 3 puis enfin 2.

$\int _{1}^{2}\rho .{\frac {\overrightarrow {d{v}}}{dt}}=\int _{1}^{3}\rho .{\frac {\overrightarrow {d{v}}}{dt}}+\int _{3}^{2}\rho .{\frac {\overrightarrow {d{v}}}{dt}}$

Entre 1 et 3 la vitesse est presque égale à la vitesse v1. Entre 3 et 2, la vitesse est presque égale à la vitesse v2. Mais comme, v1 est négligeable devant v2:

$\int _{1}^{2}\rho .{\frac {\overrightarrow {d{v}}}{dt}}{\overrightarrow {dr}}=\int _{3}^{2}\rho .{\frac {\overrightarrow {d{v_{2}}}}{dt}}{\overrightarrow {dr}}$

V2 ne dépend pas de r entre 2 et 3. Il dépend seulement du temps.

$\int _{3}^{2}\rho .{\frac {\overrightarrow {d{v_{2}}}}{dt}}=\rho {\frac {\overrightarrow {d{v_{2}}}}{dt}}\int _{3}^{2}{\overrightarrow {dr}}=l\rho {\frac {\overrightarrow {d{v_{2}}}}{dt}}$

Il vient donc finalement le système d'équation différentielle:

${\begin{cases}\int _{1}^{2}\rho .{\frac {\overrightarrow {d{v}}}{dt}}{\overrightarrow {dr}}+0.5\rho v_{2}^{2}.(1+({\frac {S_{2}}{S_{1}}})^{2})-\rho gh(t)=0\\V2=-{\frac {S_{1}}{S_{2}}}{\frac {dh}{dt}}\end{cases}}$

Si la longueur du conduit de 3 vers 2 (la sortie) est nulle (l = 0) alors:

${\begin{cases}v_{2}={\sqrt {2gh}}\\{\sqrt {2gh}}=-{\frac {S_{1}}{S_{2}}}.{\frac {dh}{dt}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}V_{2}={\sqrt {2gh}}\\\int _{H}^{0}{\frac {dh}{\sqrt {h}}}=-{\sqrt {2g}}.{\frac {S_{2}}{S_{1}}}.\int _{0}^{t}dt\end{cases}}$

Finalement, il vient donc:

$T={\frac {S_{1}}{S_{2}}}{\sqrt {\frac {H}{2g}}}$