Diffraction/Montage de Fraunhofer

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Le montage de Fraunhofer permet d'observer la diffraction tout en simplifiant la résolution mathématique du problème. Il est donc fréquemment utilisé dans l'étude de la diffraction.

Montage de Fraunhofer

Le montage est constitué d'une source lumineuse, que l’on considèrera comme ponctuelle dans la suite du cours, placée dans le plan focal d'une lentille mince. Les rayons sont donc parallèles après la lentille. On place alors l’objet diffractant sur le trajet des rayons lumineux (fente, trou…). La lumière est ensuite collectée par une seconde lentille, et on observe dans le plan focal de cette seconde lentille. Ce montage présente donc l'avantage d'effectuer de la diffraction sur un faisceau de rayons parallèles, ce qui se révèlera extrêmement simplificateur.

Simplification courante

Dans les calculs de diffraction sur le montage de Fraunhofer, il est fréquent de placer la source directement au foyer objet de la première lentille. En outre, lorsque l’on a une fente longue (invariance par translation selon une direction), il est courant de considérer que l’on se place dans un plan et non dans l'espace.

Mise en équation

Soit S la source lumineuse. Sa position par rapport au sommet de la première lentille est repérée par $(x_{s},y_{s},-z_{s})$. Ceci représente aussi le vecteur dirigeant l'onde plane incidente (en effet, parmi le faisceau de rayons parallèles issu de la lentille, le rayon passant par le centre n'a pas été dévié). En divisant par la focale ƒ de la première lentille, on a :

${\vec {u}}_{s}={\begin{pmatrix}{\textstyle {\frac {-x_{s}}{f}}}\\\textstyle {\frac {-y_{s}}{f}}\\\textstyle {\frac {z_{s}}{f}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{f}}{\begin{pmatrix}{-x_{s}}\\-y_{s}\\z_{s}\end{pmatrix}}$

appelé vecteur directeur unitaire de l'onde incidente.

Soit un point M de coordonnées $(x_{m},y_{m},z_{m})$ le point d'observation considéré sur l'écran. Avec ƒ la focale de la seconde lentille, et par le même raisonnement, on a le vecteur directeur unitaire du front d'onde après diffraction qui convergera en M :

${\vec {u}}_{m}={\begin{pmatrix}{\textstyle {\frac {x_{m}}{f'}}}\\\textstyle {\frac {y_{m}}{f'}}\\\textstyle {\frac {z_{m}}{f'}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{f'}}{\begin{pmatrix}{x_{m}}\\y_{m}\\z_{m}\end{pmatrix}}$.

Soit O un point de l'ouverture diffractante. On considèrera que la phase en ce point est nulle. On repère par rapport à O les points de l'ouverture par leurs coordonnées (x,y,z), et on note ${\vec {u}}$ le vecteur :

${\overrightarrow {u}}={\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}}$.

Calculons la différence de marche entre un rayon passant par le point (x,y,z) et le rayon passant par O. Avant l'ouverture : $\delta _{1}=-{\vec {u}}_{s}\cdot {\vec {u}}$. Après l'ouverture : $\delta _{2}={\vec {u}}_{m}\cdot {\vec {u}}$.

La différence de marche totale est donc : $\delta =({\vec {u}}_{m}-{\vec {u}}_{s})\cdot {\vec {u}}$.

Après ces quelques précisions de notations et de calcul, il est temps de tenter d'exprimer explicitement la figure de diffraction. Mais cela va nécessiter d'écrire le principe de Huygens de manière un peu plus formelle.