Conceptualisation par des expériences simples/Statique des fluides

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Hypothèses de base

Nous assumerons tout au long de ce chapitre que les fluides étudiés sont homogènes et isotropes.

Équations fondamentales de l'hydrostatique

Expérience n°1

Le Baromètre de Torricelli

Expériences sur la mécanique des fluides : barometre

Baromètre à mercure de Torricelli

Mise en contexte

Le baromètre à mercure fut inventé par Torricelli; il permet de mesurer la pression atmosphérique, c'est-à-dire la pression de l'air ambiant. D'un point de vue météorologique, cette pression de l'air permet de prévoir le temps qu’il fera.

Le principe de fonctionnement du Baromètre de Torricelli est simple et peut être reproduit à la maison. Malheureusement, le mercure étant un liquide 'toxique' et coûteux, son utilisation n’est pas conseillée. Nous avons donc remplacé le mercure par de l'eau pour expliquer le phénomène.

Expérience

Alors comment ça marche ?

Il faut d'un côté une bassine remplie d'eau, et de l'autre une bouteille partiellement remplie d'eau. Le principe est de renverser la bouteille d'eau dans la bassine de telle façon qu’il n'y ait pas trop d'eau qui s’échappe de la bouteille lors de la manipulation (On conseille de remplir la bouteille, de la boucher, puis de ne la déboucher que lorsque le goulot est immergé dans l'eau de la bassine). Ces manipulations sont visibles dans le film ci-dessus.

Intuitivement on aurait pu penser que la bouteille allait se vider mais on observe que l'eau ne s'écoule pas de la bouteille.

Pourquoi ?

L'air de la pièce est à la pression atmosphérique. Quelle est la pression, dans l'air qui se trouve dans en haut de la bouteille ?

Le fait que le niveau d'eau soit plus élevé dans la bouteille que dans la bassine, tient au fait que la pression est plus faible dans l'air en haut de la bouteille que dans l'air de la pièce. On a donc modifié la pression de l'air dans la bouteille en l’emprisonnant entre l'eau et la bouteille.

Un baromètre de Torricelli est représenté ci-contre. La bouteille est devenue un tube en verre fermé en haut et ouvert en bas mais retourné dans un bol qui contient aussi du mercure. Là où l’idée de Torricelli est astucieuse, c’est qu'avec un liquide très dense comme le mercure (densité 13 fois plus importante que l'eau), il est possible d'obtenir une pression presque nulle entre le contenant et le mercure (entre A et C), pour une hauteur raisonnable d'environ 76 cm (entre C et B). On entend par raisonnable, le fait que l’on peut ainsi construire un baromètre qui tient dans une pièce et qui peut être facilement déplacé. Si on voulait construire ce baromètre en utilisant de l'eau, il faudrait un tube haut d'environ 10 m…

Une fois le baromètre construit, les variations de la pression atmosphérique font varier la hauteur de mercure dans le tube. Il suffit alors de graduer ce tube pour pouvoir obtenir une valeur de cette pression.

Lois physiques

Schéma baromètre de Torricelli

Voyons les lois qui se cachent derrière ce phénomène:

Le schéma ci-contre représente le baromètre. Le liquide dans le tube est en équilibre.

La loi fondamentale de l'hydrostatique valable en tout point m du fluide nous donne dans ce cas:

$P_{m}+\rho _{f}gz_{m}=C^{te}$ 

ce qui implique:

$P_{A}+\rho _{f}gz_{A}=P_{B}+\rho _{f}gz_{B}$ 

Avec $P_{A}=P_{atm}$ ; $z_{A}=0$

Il nous reste donc deux inconnues, $P_{B}$ et $z_{B}$, il nous suffit d’en avoir une pour avoir l'autre.

$P_{B}=P_{atm}-\rho _{f}gz_{B}$ 
$z_{B}=P_{atm}-{\frac {P_{B}}{\rho _{f}g}}$

ATTENTION ici nous raisonnons avec les grandeurs scalaires, il n'en reste pas moins qu'une analyse vectorielle est préférable pour être sûr de ne pas intervertir le sens d'application des forces de pression.

Pour le plaisir on peut déterminer les hauteurs d'eau et de mercure qu’il faudrait pour avoir une pression nul, et donc faire le vide d'air dans la bouteille.

$z_{eau}=10,33m$
$z_{mercure}=0,76m$

avec:

$P_{atm}=101325Pa$
$g=9,81m.s^{-2}$
$\rho _{eau}=1000kg.m^{-3}$
$\rho _{mercure}=13545kg.m^{-3}$

Expérience n°2

La bouteille qui ne veut pas couler

Meca bouteille

Mise en contexte

L'expérience qui suit permet, après l'expérience n°1, de mettre en évidence l'importance du sens d'application de la force de pesanteur, et donc de traiter ce genre de problème avec des grandeurs vectorielles.

Expérience

Avec le même montage que celui utilisé dans l'expérience n°1, on plonge totalement la bouteille dans la bassine, de sorte que le niveau d'eau dans la bouteille soit au-dessous du niveau d'eau dans la bassine.

Si on lâche alors la bouteille, elle remonte jusqu'à la surface. ( il est préférable de prendre une bouteille en plastique pour minimiser le poids de cette dernière. Ici nous ne le prenons pas en compte.)

Cela est dû, qu’à l'inverse de l'expérience n°1, la hauteur d'eau à l'intérieur de la bouteille est plus faible que la hauteur d'eau à l'extérieur. Cela implique donc, que là où précédemment, la pression à l'intérieur de la bouteille était plus faible que la pression à l'extérieur, on se retrouve avec le phénomène inverse. la pression interne est maintenant plus élevée.

Lois physiques

Une bouteille qui veut pas couler

Comme précédemment dans l'expérience n°1, nous ne prendrons pas en compte le poids de la bouteille et le fait qu'on la tienne. On considérera que le système est en équilibre comme le montre le schéma ci-contre. Nous avons donc:

$P_{A}+\rho _{f}gz_{A}=P_{B}+\rho _{f}gz_{B}$ 

Avec $P_{A}=P_{atm}$ ; $z_{A}=0$

mais ici $z_{B}\geq 0$

ce qui donne:

$P_{B}=P_{atm}+\rho _{f}gz_{B}$ 

ATTENTION ici nous nous sommes basés sur L'équation fondamentale de l'hydrostatique pour comprendre le phénomène. IL serait tout aussi vrai de raisonner en force. On retrouverait alors le principe de la poussé d'Archimède dont nous parlerons un peu plus loin.

Expérience n°3

Le Cric hydraulique

Meca cric

Mise en contexte

Le cric hydraulique est un outil que l’on retrouve chez tous les mécaniciens et chez de nombreux particuliers. Très pratique pour lever des objets lourds comme les voitures, il est de nos jours couramment utilisé. Le principe qui se cache derrière cette merveille de la technologie, qui par ailleurs est très simple, se retrouve également dans les vérins hydrauliques présent sur de nombreuses machines. Ce principe met en avant un des liens fondamentaux entre la pression et la force.

Expérience

L'expérience ici est très simple. Prenons pour bien comprendre une voiture et un homme. Admettons que la voiture ait une masse d'une tonne. Il est évident que l'homme ne peut pas à lui seul soulever la voiture. Néanmoins avec le cric il y arrive aisément. Alors que se cache-t-il derrière cela ?

Pour bien voir le phénomène prenons deux seringues de diamètres différents; ces deux seringues sont reliées par un tuyau. Le tout est rempli avec de l'eau, de telle sorte que la plus grosse des seringues soit pleine d'eau et que l'autre soit vide ou quasiment vide (le tuyau lui, doit être plein).

Lorsque deux personnes engagent un duel pour savoir lequel sera le plus fort, on remarque que quelle que soit la taille, les muscles, l' âge, etc. C'est toujours la personne qui à la plus petite seringue qui gagne. Naturellement, cette expérience est à réaliser dans les limites du raisonnable. Si l’on confronte un bodybuildeur à une enfant, il se peut que la différence entre la force de l'un et la force de l'autre soit trop grande pour être contrebalancée par la différence de diamètre des seringues.

Expliquons:

Une des définitions la plus usuelle pour une pression est de la considérer comme une force que l’on applique sur une surface. Cela se traduit mathématiquement par une force divisée par une surface. Donc plus la force appliquée sur la seringue est grande plus la pression sera grande. À l'inverse, plus la surface (ou encore le diamètre dans notre cas) de la seringue est importante, plus la pression sera faible.

Dans notre système reliant les deux seringues, comme le diamètre de l'une est plus petit que le diamètre de l'autre, la surface sur laquelle on pousse (ou plus exactement la surface d'application de la force) est plus faible pour la première que pour la deuxième. Cela implique qu’il faut moins de force pour pousser sur la petite seringue que sur la grosse.

Lois physiques

Toujours d’après l'équation fondamentale de l'hydrostatique, nous pouvons écrire à l'équilibre de notre système que les pressions $P_{A}$ et $P_{B}$ dans les cylindres A et B sont égales :

$P_{A}-P_{B}=0$ 

or ces pressions peuvent être définies comme suit:

$P_{A}={\frac {F_{A}}{S_{A}}}$ ; $P_{B}={\frac {F_{B}}{S_{B}}}$

avec :

$F_{A}$ le poids appliqué en A ; 
$F_{B}$ le poids appliqué en B ;

$S_{A}=\pi {\frac {D_{A}^{2}}{4}}$ la surface de contact au niveau du piston A ;
  
$S_{B}=\pi {\frac {D_{B}^{2}}{4}}$ la surface de contact au niveau du piston B . 

ce qui nous donne au final :

$F_{A}=F_{B}*{\frac {D_{A}^{2}}{D_{B}^{2}}}$ 

ou encore :

$F_{A}=F_{B}*{\frac {S_{A}}{S_{B}}}$ 

On peut faire un petit calcul pour bien se rendre compte du potentiel de cette propriété des fluides.

Prenons un homme de 80 kg assit sur un support qui appuie sur un piston d'1 cm de diamètre. Ce piston est relié à un piston 1 m de diamètre par un tuyau. Sur ce deuxième piston on place aussi un support.

Ici négligeons toutes autres forces que le poids de l'homme et le poids du chargement présent sur l'autre partie du système. Soit:

$F_{Homme}=M_{Homme}*g$ ; $F_{charge}=M_{charge}*g$

Cela nous donne :

$M_{charge}=M_{Homme}*{\frac {100^{2}cm}{1^{2}cm}}$  

$M_{charge}={formatnum:800000}kg$ 

Si l’on considère la masse du système négligeable, alors notre homme peut soulever rien qu'en restant assit 10 000 fois sa masse soit 800 tonnes; ce qui correspond à environs 1000 vaches, 800 voitures, ou encore une dizaine d'avions A320.

Pour approfondir

• Leçon n°3: statique des fluides/équation fondamentale de l'hydrostatique

Poussée d’Archimède

Expérience n°4

Poids apparent/poids réel (La pierre traîtresse...)

==== Mise en contexte ====

Archimède fut un grand savant de l'antiquité grecque. Il est considéré comme le père de la statique, avec ses études sur les corps plongés dans les liquides, mais aussi l'étude des palans, des poulies, des engrenages et autres outils de levage. Ici nous allons nous intéresser à la poussée d'Archimède. Pour bien comprendre à quoi cette poussée correspond, laissons place à l'expérimentation

Expérience

Nous allons commencer par une application simple et parlante de la poussée d'Archimède. Nous avons d’une part une bassine d'eau suffisamment grande pour contenir une pierre relativement lourde. Il faut que le niveau d'eau soit assez important pour que la pierre soit totalement immergée. (Nous conseillons d’avoir au moins 20 cm d'eau au dessus de la pierre, pour bien mettre en avant le phénomène; même si celui-ci ne dépend pas de la hauteur d'eau.)

L'expérience consiste donc à peser la pierre dans l'eau puis en dehors de l'eau. On se rend alors compte que la pierre parait moins lourde dans l'eau qu’à l'extérieur de l'eau. Ce n’est pas qu'une impression...

Lorsqu'on plonge un objet solide dans un liquide, ce dernier exerce sur l’objet une force proportionnelle au volume de liquide déplacé. Lorsque l’objet est totalement immergé alors ce volume correspond au volume de l'objet, mais quand il s'agit d'un bateau par exemple, cela ne correspond qu'au volume du bateau qui est sous le niveau de l'eau.

Lorsqu'on sous-pèse la pierre dans l'eau il y a la force de nos bras, le poids de la pierre et cette force de réaction qui agissent sur la pierre (On considère que nous sommes en équilibre). Le poids apparent de la pierre,(celui que l’on ressent avec nos bras) est alors égal au poids de la pierre moins cette force de réaction qu'exerce le liquide sur l’objet étudié.

Lois physiques

(schéma explicatif à venir.)

La poussée d'Archimède s'exprime ainsi:

${\overrightarrow {F}}_{Archi}=-m_{fluide}{\overrightarrow {g}}=-\rho _{fluide}V{\overrightarrow {g}}$

La direction de la poussée d'Archimède, elle, est toujours dirigée du fluide vers le solide, et est normal à la surface d'application.

Plaçons-nous dans un premier temps dans la configuration où la pierre est plongée dans l'eau:

Notre système étant à l'équilibre, nous pouvons négliger les forces de pression car elles s'annulent entre elles. Nous avons donc le poids de la pierre, la poussée d'Archimède et la force de nos bras qui empêche la pierre de couler. Cela donne d’après le principe fondamental de l'hydrostatique:

${\overrightarrow {P}}_{pierre}=\rho _{p}V{\overrightarrow {g}}$
${\overrightarrow {F}}_{Archi}=-\rho _{eau}V{\overrightarrow {g}}$
${\overrightarrow {F}}_{bras}+{\overrightarrow {F}}_{Archi}+{\overrightarrow {P}}_{pierre}={\overrightarrow {0}}$

avec $\rho$ la masse volumique des différents corps ;$V$ le volume immergé du solide étudié et ${\overrightarrow {g}}$ la gravité.

Nous avons donc d'un point de vue scalaire:

$F_{bras}=\rho _{p}Vg-\rho _{eau}Vg=Vg(\rho _{p}-\rho _{eau})$

Maintenant si nous changeons de milieu et que nous faisons la même étude dans l'air, nous obtenons:

${\overrightarrow {F}}_{bras}+{\overrightarrow {F}}_{Archi}+{\overrightarrow {P}}_{pierre}={\overrightarrow {0}}$
$F_{bras}=\rho _{p}Vg-\rho _{air}Vg=Vg(\rho _{p}-\rho _{air})$

Ici nous faisons donc la différence entre le poids réel de la pierre:

$P_{reel}=\rho _{p}Vg$

et son poids apparent:

$P_{apparent}=Vg(\rho _{p}-\rho _{liquide})$

Faisons une petite application numérique pour visualiser le phénomène:

$V=10^{-3}m^{3};g=10m.s^{-2};\rho _{eau}=1000kg.m^{-3};\rho _{air}=1,3kg.m^{-3};$ et enfin $\rho _{pierre}=2500kg.m^{-3}$

Cela nous donne dans l'air:

$P_{reel}=25N\approx P_{apparent}=24,997N$ 

et dans l'eau:

$P_{reel}=25N\not \approx P_{apparent}=15N$

La force que nous devons développer pour soulever un objet dans l'eau est donc bien moins important que dans l'air.

Expérience n°5

Un œuf ça flotte ?

Meca oeuf

Mise en contexte

Nous avons vu dans l'expérience précédente que tout fluide dans lequel on plonge un solide, réagit à cette intrusion en exerçant une force sur celui-ci. On appelle cette force la poussée d'Archimède.

Cette force est présente que les objets flottent ou coulent. Le fait qu’ils flottent ou qu’ils coulent dépend de leur masse volumique, c'est-à-dire, leur masse divisée par leur volume. En effet quelle que soit la taille d'un caillou, il coule, et quelle que soit la taille d'un bout de bois, il flotte. Cela vient du fait qu'un caillou ou une pierre a une masse volumique plus grande que l'eau alors que le bois a une masse volumique plus faible.

D'autre part, on sait que certains liquides flottent ou coulent par rapport à l'eau. Par exemple, on a tous pu constater que lorsqu'on verse de l'huile dans une casserole d'eau avec des pâtes celle-ci reste à la surface. Cela veut dire que l'huile a une masse volumique plus faible que l'eau. Il ne faut pas confondre masse et masse volumique. Pour bien comprendre la différence, il suffit dans un bocal de verser 2 cm d'eau et 8 cm d'huile. Il y a alors plus d'huile que d'eau et la masse de l'huile est plus importante que la masse d'eau, toutefois c’est l'eau qui reste en dessous. C'est que la masse volumique de l'eau reste plus grande que celle de l'huile.

La question à laquelle nous allons essayer de répondre ici est: la nature du fluide peut-elle jouer sur la poussée d'Archimède ? Un objet peut-il flotter dans un liquide et couler dans un autre ?

Expérience

Cette expérience peut être réalisée dans n’importe quelle cuisine pour peu qu’il y ait des œufs. Il suffit d’avoir deux récipients, de l'eau, du sel et un œuf (dur de préférence, cela minimisera les dégâts s'il est cassé lors de la manipulation). On remplit les deux récipients avec de l'eau de telle sorte que l’œuf puisse être totalement immergé. On verse une bonne quantité de sel dans un des deux récipients (le mieux c’est qu’il en reste toujours au fond). Il faut attendre 4 à 5 minutes en remuant pour s'assurer que le sel se dissolve bien dans l'eau.

Nous avons donc un récipient avec de l'eau du robinet, et un avec de l'eau salée. Si l’on plonge l’œuf dans l'un puis dans l'autre, on constate qu’il flotte dans l'eau salée et qu’il coule dans l'eau du robinet. Étant donné que c’est le même œuf, cela ne peut venir que de l'ajout du sel dans l'eau. Ici nous avons le même phénomène que dans la mer morte où l’on voit les gens flotter. C'est également grâce à ce phénomène qu’il est plus facile de faire la planche dans la Méditerranée ou l'océan que dans une piscine.

Expliquons:

L'eau salée par définition est un mélange d'eau et de sel. C'est un liquide puisque le sel se dissout dans l'eau. Or avant que le sel ne se dissolve dans l'eau, il coule au fond du récipient. Cela veut dire que sa masse volumique est plus grande que celle de l'eau. Lorsqu'on mélange les deux pour obtenir de l'eau salée, on va avoir une masse volumique comprise entre celle de l'eau et celle du sel. Elle sera donc pus grande que la masse volumique de l'eau seule.

D'autre part, l’œuf coule dans l'eau cela veut dire que sa masse volumique est plus grande que celle de l'eau. Mais comme il flotte dans l'eau salée sa masse volumique sera plus faible cette fois. La masse volumique d'un œuf est donc comprise entre la masse volumique de l'eau et celle de l'eau salée.

Pour compléter cette expérience il est relativement facile de faire calculer la masse volumique des différents composants grâce à un bécher gradué et une balance. La graduation du bécher permet de déterminer le volume et la balance la masse. Pour ce qui est du volume de l’œuf, il suffit de le plonger dans l'eau et de relever la variation du volume d'eau. Cette variation sera le volume de l’œuf.

Lois physiques

Pour rappel, la poussée d'Archimède s'exprime ainsi:

${\overrightarrow {F}}_{Archi}=-m_{fluide}{\overrightarrow {g}}=-\rho _{fluide}V{\overrightarrow {g}}$

et la direction de la poussée d'Archimède, elle, est toujours dirigée du fluide vers le solide, et est normale à la surface d'application.

Ici nous allons déterminer si l’œuf flotte ou s'il coule. Pour cela, nous utilisons la poussée d'Archimède:

Si ${\overrightarrow {F}}_{Archi}\geq {\overrightarrow {P}}_{oeuf}$ alors l’œuf coule

Si ${\overrightarrow {F}}_{Archi}\leq {\overrightarrow {P}}_{oeuf}$ alors l’œuf flotte

Cela correspond à vérifier les expressions suivantes en développant la poussée d'Archimède:

$\rho _{oeuf}Vg-\rho _{liquide}Vg\geq 0\Rightarrow \rho _{oeuf}-\rho _{liquide}\geq 0$

ou

$\rho _{oeuf}Vg-\rho _{liquide}Vg\leq 0\Rightarrow \rho _{oeuf}-\rho _{liquide}\leq 0$ 

si l’on fait l’application numérique, cela nous donne:

$\rho _{eau}=1000kg.m^{-3};\rho _{eau\;salee}\approx 1200kg.m^{-3};$ et $\rho _{oeuf}\approx 1100kg.m^{-3}$

Soit:

Dans l'eau: $\textstyle {\rho _{oeuf}-\rho _{eau}=(1100-1000)=100kg.m^{-3}\geq 0}$ l’œuf coule donc.

Dans l'eau salée: $\textstyle {\rho _{oeuf}-\rho _{eau\;salee}=(1100-1200)=-100kg.m^{-3}\leq 0}$ Cette fois l’œuf flotte.

Pour approfondir

• Leçon n°3: statique des fluides/Poussée d’Archimède

Bibliographie

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