Cinématique (débutant)/Systèmes de coordonnées

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En cinématique, on utilise différents systèmes de coordonnées pour étudier des mouvements. Ainsi un repère cartésien sera bien plus adapté pour étudier un mouvement de translation qu'un repère cylindrique. Nous allons dans ce chapitre présenter distinguer les trois systèmes de coordonnées utilisés en cinématique pour exprimer la position d'un point, sa vitesse et son accélération.

Coordonnées cartésiennes

Repérage d'un point

On munit l'espace euclidien d'une origine arbitraire O et d'une base de trois vecteurs $({\vec {u}}_{x},{\vec {u}}_{y},{\vec {u}}_{z})$ supposée pour simplifier orthonormale directe.

Ces trois vecteurs sont fixes dans le temps et dans l'espace.

Tout point M de l'espace est repéré par un triplet de réels ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ tel que ${\overrightarrow {\rm {OM}}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}$

Ces réels sont appelés les coordonnées du point M dans le repère $({\rm {O}};{\vec {u}}_{x},{\vec {u}}_{y},{\vec {u}}_{z})$

Déplacement élémentaire

Exemple de déplacement élémentaire dans l'espace

On suppose que le point M subit un déplacement élémentaire pour se retrouver en M'.

Dans le repère $({\rm {O}};{\vec {u}}_{x},{\vec {u}}_{y},{\vec {u}}_{z})$, le point M' a pour coordonnées ${\begin{pmatrix}x+{\rm {d}}x\\y+{\rm {d}}y\\z+{\rm {d}}z\end{pmatrix}}$.

Le déplacement élémentaire que vient de subir le point M est représenté par le vecteur ${\overrightarrow {\rm {OM'}}}-{\overrightarrow {\rm {OM}}}={\rm {d}}x\,{\vec {u}}_{x}+{\rm {d}}y\,{\vec {u}}_{y}+{\rm {d}}z\,{\vec {u}}_{z}$.

Cette quantité étant un infiniment petit, on peut l'écrire sous la forme :

${\rm {d}}{\overrightarrow {\rm {OM}}}={\rm {d}}x{\vec {u}}_{x}+{\rm {d}}y{\vec {u}}_{y}+{\rm {d}}z{\vec {u}}_{z}$

Expression de la vitesse et de l'accélération

Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée temporelle du vecteur position :

${\begin{aligned}{\vec {v}}&={\frac {\rm {d{\overrightarrow {\rm {OM}}}}}{{\rm {d}}t}}\\&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left(x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}\right)\\&={\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}t}}\,{\vec {u}}_{x}+{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}t}}\,{\vec {u}}_{y}+{\frac {{\rm {d}}z}{{\rm {d}}t}}\,{\vec {u}}_{z}+x\,{\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{x}}{{\rm {d}}t}}+y\,{\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{y}}{{\rm {d}}t}}+z\,{\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{z}}{{\rm {d}}t}}\\\end{aligned}}$

${\vec {v}}={\dot {x}}\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}\,{\vec {u}}_{z}$

De même, on calcule l'accélération :

${\vec {\gamma }}={\ddot {x}}\,{\vec {u}}_{x}+{\ddot {y}}\,{\vec {u}}_{y}+{\ddot {z}}\,{\vec {u}}_{z}$

Coordonnées polaires

Ce type de repère sert à repérer des points dans le plan euclidien.

Repérage d'un point : vecteur position

On munit le plan euclidien d'une origine arbitraire O et d'un vecteur ${\vec {u}}_{x}$ unitaire fixes dans le temps et dans l'espace.

Tout point M du plan est repéré par :

• la distance au point O, notée $r$
• l'angle orienté $({\vec {u}}_{x},{\overrightarrow {\rm {OM}}})$, noté $\theta$

Le point M est alors, en termes de coordonnées, repéré par un couple de réels ${\begin{pmatrix}r\\\theta \end{pmatrix}}$.

La différence essentielle par rapport au cas cartésien est que, dans le cas polaire, la base de vecteurs choisie est une base liée au point M, qui se déplace et tourne avec lui. On prend ainsi pour vecteurs unitaires de base :

• un vecteur ${\vec {u}}_{r}={\frac {\overrightarrow {\rm {OM}}}{\|{\overrightarrow {\rm {OM}}}\|}}$, qui repère la direction (OM)
• un vecteur noté ${\vec {u}}_{\theta }$ qu'on choisit de telle manière que $({\vec {u}}_{r},{\vec {u}}_{\theta })$ soit une base orthonormée directe. Le vecteur ${\vec {u}}_{\theta }$ est dirigé dans le sens des θ croissants.

Le vecteur position est ${\overrightarrow {\rm {OM}}}=r{\vec {u}}_{r}$

Passage entre repère cartésien du plan et repère polaire

${\begin{cases}x=r\cos(\theta )\\y=r\sin(\theta )\end{cases}}$

Ce passage entre ces deux repères peut s'avérer utile lors d'une étude de mouvements dans un repère cylindrique ou sphérique, caractérisés par des bases mobiles (les vecteurs ${\vec {u}}_{\theta }$ et ${\vec {u}}_{r}$ par exemple, sont mobiles avec le point M). Il peut donc s'avérer judicieux de projeter ces vecteurs sur des axes portés par des vecteurs fixes que sont ${\vec {u}}_{x}$, ${\vec {u}}_{y}$ et ${\vec {u}}_{z}$, notamment pour exprimer des vitesses ou des accélérations.

Déplacement élémentaire

On suppose que le point M subit un déplacement élémentaire pour se retrouver en M'. Ce déplacement élémentaire est représenté par le vecteur ${\overrightarrow {\rm {MM'}}}={\rm {d}}{\overrightarrow {\rm {OM}}}$.

Dans le repère polaire, ce déplacement se décompose en deux composantes :

• Une rotation (variation de l'angle θ seul en conservant le même r) pour « pointer dans la direction de M' »
• Une variation de la distance r pour arriver en M'

${\rm {d}}{\overrightarrow {\rm {OM}}}=r\,{\rm {d}}\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+{\rm {d}}r\,{\vec {u}}_{r}$

Expression de la vitesse et de l'accélération

Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée temporelle du vecteur position :

${\begin{aligned}{\vec {v}}&={\frac {\rm {d{\overrightarrow {\rm {OM}}}}}{{\rm {d}}t}}\\&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left(r\,{\vec {u}}_{r}\right)\\&={\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}t}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{r}}{{\rm {d}}t}}\\\end{aligned}}$

On a dit que ${\vec {u}}_{r}$ était un vecteur dépendant de M, donc dépendant du temps ! Ceci implique que ${\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{r}}{{\rm {d}}t}}\neq {\vec {0}}$ !

Pour déterminer ${\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{r}}{{\rm {d}}t}}$, faisons un petit crochet par les coordonnées cartésiennes :

${\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{y}$

${\vec {u}}_{\theta }=-\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{y}$

Dérivons ces deux expressions par rapport à θ:

${\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{r}}{{\rm {d}}\theta }}=-\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{x}+\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{y}$

${\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{\theta }}{{\rm {d}}\theta }}=-\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{x}-\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{y}$

D'où :

${\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{r}}{{\rm {d}}\theta }}={\vec {u}}_{\theta }$

${\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{\theta }}{{\rm {d}}\theta }}=-{\vec {u}}_{r}$

Pour calculer alors ${\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{r}}{{\rm {d}}t}}$, on utilise la formule de la dérivation de la composée :

${\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{r}}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{r}}{{\rm {d}}\theta }}{\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}={\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

${\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{\theta }}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}{\vec {u}}_{\theta }}{{\rm {d}}\theta }}{\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{r}$

${\vec {v}}={\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$

De même, on calcule l'accélération :

${\begin{aligned}{\vec {\gamma }}&={\frac {{\rm {d}}{\vec {v}}}{{\rm {d}}t}}\\&={\ddot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }+r\left({\ddot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }-{\dot {\theta }}^{2}\,{\vec {u}}_{r}\right)+{\dot {r}}{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)\,{\vec {u}}_{r}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\end{aligned}}$

${\vec {\gamma }}=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)\,{\vec {u}}_{r}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }$

Coordonnées cylindriques

Vecteur position

Les coordonnées cylindriques sont une extension des coordonnées polaires à l'espace. En plus des coordonnées (r, θ), on considère un axe z normal au plan polaire pour repérer la cote.

Un point M de l'espace est alors repéré par un triplet de réels ${\begin{pmatrix}r\\\theta \\z\end{pmatrix}}$.

Le vecteur position est ${\overrightarrow {\rm {OM}}}=r{\vec {u}}_{r}+z\,{\vec {u}}_{z}$

Déplacement élémentaire

On suppose que le point M subit un déplacement élémentaire pour se retrouver en M'. Ce déplacement élémentaire est représenté par le vecteur ${\overrightarrow {\rm {MM'}}}={\rm {d}}{\overrightarrow {\rm {OM}}}$.

${\rm {d}}{\overrightarrow {\rm {OM}}}=r\,{\rm {d}}\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+{\rm {d}}r\,{\vec {u}}_{r}+{\rm {d}}z\,{\vec {u}}_{z}$

Expression de la vitesse et de l'accélération

${\begin{cases}{\vec {v}}={\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}\,{\vec {u}}_{z}\\{\vec {\gamma }}=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)\,{\vec {u}}_{r}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }+{\ddot {z}}\,{\vec {u}}_{z}\end{cases}}$