Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme

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Nous étudierons ici la chute parabolique d'un solide dans un champ de pesanteur uniforme, dans un référentiel supposé galiléen. Il s'agit de la chute d'un solide lancé avec une vitesse initiale non nulle dans un champ ou la gravité ${\overrightarrow {g}}$ est verticale, dirigée vers le bas et de norme constante. On négligera toutes les forces de frottement et on se placera dans le repère $(xOz)~$ avec $x$ et $z$ représentant les dimensions horizontales et verticales; le mouvement se faisant dans un plan vertical, il n'y a besoin que de deux dimensions pour le décrire.

Aperçu de la situation

La trajectoire du mouvement étudié peut se représenter graphiquement de la façon suivante, ce qui simplifiera l'établissement des équations horaires :

Équations horaires du mouvement

Deuxième loi de Newton

L'étude d'une chute parabolique d'un solide indéformable que l’on assimile à un point M se fait dans un référentiel supposé galiléen. La deuxième loi de Newton indique :

$\Sigma {\overrightarrow {F_{ext}}}={\frac {d{\overrightarrow {p}}}{dt}}$

Où $\Sigma {\overrightarrow {F_{ext}}}$ est la somme des forces extérieures subies par le système étudié et ${\frac {d{\overrightarrow {p}}}{dt}}$ la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement de ce même système.

Supposant que le solide indéformable est de masse constante au cours du mouvement, la relation précédente devient :

$\Sigma {\overrightarrow {F_{ext}}}={\frac {d(m{\overrightarrow {v}})}{dt}}=m\cdot {\frac {d{\overrightarrow {v}}}{dt}}+{\overrightarrow {v}}\cdot {\frac {dm}{dt}}=m\cdot {\frac {d{\overrightarrow {v}}}{dt}}=m\cdot {\overrightarrow {a}}$

Les frottements étant négligés pour cette étude, on arrive à la conclusion que seul le poids s'applique au système ponctuel :

$m{\overrightarrow {g}}=m{\overrightarrow {a}}$

Le vecteur accélération

La formule trouvée ci-dessus, nous donne en simplifiant par $m$ :

${\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {g}}$

On en déduit ainsi facilement les coordonnées de l'accélération qui sont les mêmes que celle du vecteur ${\overrightarrow {g}}$ :

${\overrightarrow {a}}{\begin{cases}a_{x}=0\\a_{z}=-g\end{cases}}$

On voit en effet que sur l’axe $(Ox)~$ le vecteur pesanteur est nul et sur $(Oz)~$ sa projection est égale à sa norme et on rajoute un $-~$ puisqu’il est en sens opposé à ${\overrightarrow {z}}$

On va pouvoir maintenant déduire les coordonnées du vecteur vitesse.

Le vecteur vitesse

Les coordonnées de ce vecteur s'obtiennent par intégration selon le temps de celles du vecteur accélération, d’après la relation

${\overrightarrow {a}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}$

Ainsi, on obtient :

${\overrightarrow {v}}{\begin{cases}v_{x}=C\\v_{z}=-gt+C'\end{cases}}$

Où C et C’ sont des constantes que l’on va déterminer d’après les conditions initiales.

En effet, à $t=0$, on connait les coordonnées du vecteur vitesse initiale :

Le vecteur ${\overrightarrow {v_{o}}}$ a pour norme $v_{0}$ et fait avec l'horizontale un angle $\alpha$. Par projeté orthogonal, on trouve les valeurs $v_{0}x~$ et $v_{0}z~$ qui correspondent à nos deux constantes C et C’, on a alors :

${\overrightarrow {v}}{\begin{cases}v_{x}=v_{0}\cos(\alpha )\\v_{z}=-gt+v_{0}\sin(\alpha )\end{cases}}$

On peut à présent déterminer le vecteur vitesse du point M à tout instant de la chute libre. On va à présent déterminer la position de ce point dans le plan $(Oxz)~$

Le vecteur OM

De manière analogue que pour le vecteur vitesse, on a : ${\overrightarrow {v}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {OM}}}{\mathrm {d} t}}$

On procède donc de la même façon que pour la vitesse en intégrant ses coordonnées, on arrive à :

${\overrightarrow {OM}}{\begin{cases}x=v_{0}\cos(\alpha )t+C\\z=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}\sin(\alpha )t+C'\end{cases}}$

Toujours de façon similaire, on détermine les constantes C et C' en se plaçant à l'instant initial. Les constantes sont ainsi les coordonnées du point M à $t=0$, on les appelle $x_{0}$ et $z_{0}$ (en général le repère est tel que $x_{0}=0$ et l’on appelle h l'altitude $z_{0}$ initiale, cas que l’on utilisera ici). On arrive enfin aux équations horaires du mouvement a proprement parler :

${\overrightarrow {OM}}{\begin{cases}x=v_{0}\cos(\alpha )t\\z=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}\sin(\alpha )t+h\end{cases}}$

Équation de la trajectoire

On remarque que la trajectoire de la chute a une allure de parabole (d'où son nom) qu'en mathématique on peut définir par une fonction de la forme $y=ax^{2}+bx+c$, on va donc essayer de retrouver une équation de ce type d’après les équations horaires pour avoir l'équation de la trajectoire.

On va d’abord exprimer $t$ en fonction de $x$ puis remplacer ce dernier dans l’expression de $z$.

$x=v_{0}\cos(\alpha )\times t$ mène à $t={\frac {x}{v_{0}\cos(\alpha )}}$

et on arrive à :

$z=-{\frac {gx^{2}}{2(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}+{\frac {v_{0}\sin(\alpha )x}{v_{0}\cos(\alpha )}}+h$ qui mène par simplifications à :

$z=-{\frac {gx^{2}}{2(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}+\tan(\alpha )x+h$

Grandeurs caractéristiques de la trajectoire

La portée

La définition de la portée est a priori très instinctive, il s'agit de la distance qui sépare l'abscisse du point d'origine du mouvement avec l'abscisse du point d'impact du système sur le sol. En général, le repère est tel que le sol se trouve au niveau de l’axe $(0x)$ ($z=0$).

Ainsi, trouver l'abscisse de ce point d'impact revient à résoudre l'équation du second degré :

$-{\frac {gx^{2}}{2(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}+\tan(\alpha )x+h=0$

La résolution se fait de manière classique :

$\Delta =\tan ^{2}(\alpha )-4\times h\times {\frac {(-g)}{2(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}$ $\Delta =\tan ^{2}(\alpha )+{\frac {2gh}{(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}$ $\Delta ={\frac {(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )\tan ^{2}(\alpha )+2gh}{(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}$ $\Delta ={\frac {(v_{0})^{2}\sin ^{2}(\alpha )+2gh}{(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}$

Tous les termes étant positifs (de part le choix du repère et les carrés) l'équation admet deux solutions :

$x_{1}={\frac {-\tan(\alpha )-{\sqrt {\Delta }}}{2\times {\frac {-g}{2(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}}}$ $x_{1}=(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha ){\frac {\tan(\alpha )+{\sqrt {\Delta }}}{g}}$

et

$x_{2}={\frac {-\tan(\alpha )+{\sqrt {\Delta }}}{2\times {\frac {-g}{2(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}}}$ $x_{2}=(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha ){\frac {\tan(\alpha )-{\sqrt {\Delta }}}{g}}$

De ces deux solutions, seule la première correspond vraiment au point « d'impact » avec le sol, la deuxième a pour sens physique l'abscisse du point duquel serait parti le point M pour avoir suivi un telle trajectoire.

La portée est ensuite donnée simplement par $\Delta x=x_{2}-x_{1}~$.

La flèche

La flèche est, par définition, le point le plus haut de la trajectoire. On peut déterminer deux de ses caractéristiques de façon rapide à savoir la date à laquelle le point M se trouve au somment de sa trajectoire, ou l'abscisse ce point.

La date que nous appellerons $t_{f}$ s'obtient assez simplement si l’on remarque le phénomène physique qui coïncide avec la flèche, c'est-à-dire l'annulation de la vitesse verticale (attention la composante horizontale n'est cependant pas nulle ! ).

Si l’on reprend l’expression de la composante verticale de la vitesse, on a :

$v_{z}=-gt+v_{0}\sin(\alpha )~$

On résout donc :

$-gt_{h}+v_{0}\sin(\alpha )=0~$

$t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\alpha )}{g}}$

Une deuxième méthode consiste à revenir à la définition mathématique de la trajectoire et d'observer que la flèche correspond au point de la parabole dont la tangente est horizontale. On dérive donc $z(x)$ et on trouve $x$ tel que $z'(x)=0$.

$z=-{\frac {gx^{2}}{2(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}+\tan(\alpha )x+h$

${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {gx}{(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}+\tan(\alpha )$

Puis

$-{\frac {gx_{h}}{(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}}+\tan(\alpha )=0$ $x_{h}={\frac {\tan(\alpha )(v_{0})^{2}\cos ^{2}(\alpha )}{g}}={\frac {(v_{0})^{2}\cos(\alpha )\sin(\alpha )}{g}}$

Et on a ainsi l’expression de l'abscisse de la flèche de la trajectoire (qu'on pourra remplacer dans l’expression de z pour obtenir l'altitude maximale atteinte par le mobile.)

Fin de l'étude

On a déterminé ici les grandeurs caractéristiques d'une chute libre parabolique dans un champ de pesanteur uniforme, peuvent être posés d'autres problèmes qui seront en lien avec l’ensemble des grandeurs présentées ici.

Les expressions données ici dépendent des conditions initiales et du choix du repère, ainsi $x_{0}$ ne sera pas nécessairement nul et ${\overrightarrow {g}}$ pas forcément dans le sens opposé à ${\overrightarrow {z}}$. Il faudra adapter les calculs et expressions aux données du problème.