Évolution temporelle des systèmes mécaniques/La mécanique de Newton

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Rappels

Définition d’un système

Définition

Un système mécanique correspond au corps - en général solide - dont on veut étudier le mouvement.

On le note entre crochets. C'est la première chose à préciser quand on commence un exercice de mécanique.

Ex de système mécanique: une suspension de voiture constituée :

• de son vérin,
• de son ressort,
• de son fluide visqueux interne d'amortissement.

On rappelle que le centre d'inertie G d’un système (appelé aussi centre de gravité) est le barycentre relatif à la masse du système. Ainsi :

• si le système est un point matériel de position M, alors G est confondu avec M,
• si le système est un corps homogène (ex: un cube d'acier), alors G est situé au centre géométrique du corps.

Repère d'espace et de temps

Pour décrire le mouvement d’un corps, il faut se donner un repère d'espace $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}},{\overrightarrow {k}})$ lié à un solide de référence (par ex: le coin nord-est de votre chambre à coucher et ses 3 murs) et un repère de temps (par ex: votre date et heure de naissance = T0). La date (ou l'instant) est notée $t$. Le solide de référence (ie: votre chambre à coucher), les repères d'espace (ie: les 3 plinthes de votre chambre) et de temps constituent un référentiel dénommé Référentiel Galiléen.
Tous les mouvements qui seront étudiés se dérouleront dans le référentiel terrestre ou géocentrique.
À une date $t$, la position de G est repérée par ses coordonnées $x_{G}(t),y_{G}(t){\mbox{ et }}z_{G}(t)$ dans le référentiel galiléen. On peut également définir le vecteur position de G à partir de l'origine O du repère d'espace : ${\overrightarrow {OG}}(t)=x_{G}(t){\overrightarrow {i}}+y_{G}(t){\overrightarrow {j}}+z_{G}(t){\overrightarrow {k}}$ avec:

• xG(t) = abscisse du centre de gravité du solide [S] dont on suit le mouvement, mesurée en m,
• yG(t) = ordonnée du centre de gravité du solide [S], mesurée en m,
• zG(t) = cote du centre de gravité du solide [S], mesurée également en m.

On définit également le vecteur vitesse de G ${\overrightarrow {v_{G}}}(t)$ comme étant la dérivée par rapport au temps du vecteur ${\overrightarrow {OG}}(t)$.
On a alors ${\overrightarrow {v_{G}}}(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\overrightarrow {OG}}}{\Delta t}}$, soit ${\overrightarrow {v_{G}}}(t)={\frac {d\,{\overrightarrow {OG}}(t)}{dt}}$

d'où ${\overrightarrow {v_{G}}}(t)={\frac {d\,x_{G}(t)}{dt}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {d\,y_{G}(t)}{dt}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {d\,z_{G}(t)}{dt}}{\overrightarrow {k}}$

La vitesse d’un solide se mesure en m/s.

Par ex: le champion du monde du 100 mètres en athlétisme se déplace à 10 m/s environ, soit 36 km/h.

Bilan de forces

Faire un bilan de forces revient à faire l’inventaire de toutes les forces extérieures agissant sur le système. Pour chaque force, on précise sa direction, son sens, sa norme ainsi que le point d'application.
Une force peut contribuer à maintenir un objet en équilibre (au repos).
Une force s'exerçant sur un objet peut le mettre en mouvement.
Une force s'exerçant sur un objet en mouvement peut en modifier la vitesse, la trajectoire ou les deux à la fois.
Si la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur un solide est nulle alors le solide est dit pseudo-isolé.

Précisions sur les référentiels

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Un référentiel galiléen (aussi appelé référentiel inertiel) est un référentiel de Copernic, ayant comme centre le Soleil et comme axes les demi-droites ayant pour origine le centre du Soleil et passant par des étoiles dites lointaines et immobiles notées A, B et C. (repère $({\mbox{Soleil, A, B, C}})$)
Tout référentiel en mouvement de translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui aussi galiléen.
Le référentiel géocentrique $({\mbox{Terre, A, B, C}})$ est considéré comme galiléen pour des mouvements de courte durée, par exemple pour étudier le mouvement des satellites. Le référentiel terrestre est lui aussi considéré comme galiléen, pour des durées très courtes.

Principe d'inertie ou première loi de Newton

Début d’un principe

Première loi de Newton

On postule l’existence de référentiels particuliers, qualifiés de galiléens, dans lesquels un point matériel isolé (c'est-à-dire qui n'est soumis à aucune force) ou pseudo-isolé (c'est-à-dire quand $\sum {\overrightarrow {F_{ext}}}={\overrightarrow {0}}$) est immobile ou a un mouvement rectiligne uniforme : le vecteur vitesse ${\overrightarrow {v}}$ de ce point matériel est constant.

Fin du principe

Le principe d'inertie constitue la définition d’un référentiel galiléen.

Principe des actions réciproques ou troisième loi de Newton

Début d’un principe

Troisième loi de Newton

Lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une action mécanique modélisée par la force ${\overrightarrow {F}}_{A\rightarrow B}$, alors le corps B exerce sur le corps A une action mécanique modélisée par la force ${\overrightarrow {F}}_{B\rightarrow A}$.

${\overrightarrow {F}}_{A\rightarrow B}=-{\overrightarrow {F}}_{B\rightarrow A}$

Fin du principe

Cette loi est valide dans tous les référentiels, pas uniquement les référentiels galiléens.

Deuxième loi de Newton

Le vecteur accélération

Détermination approchée

${\overrightarrow {a}}(t)={\frac {{\overrightarrow {v}}(t+h)-{\overrightarrow {v}}(t-h)}{(t+h)-(t-h)}}$

$[a]=m.s^{-2}$

Définition mathématique

${\overrightarrow {a_{t}}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\overrightarrow {V}}}{\Delta t}}={\frac {d\,{\overrightarrow {v_{t}}}}{dt}}$ De même, on peut définir le vecteur vitesse instantané :

de façon approchée, expérimentalement

${\overrightarrow {V_{6}}}={\frac {\overrightarrow {A_{5}A_{7}}}{t_{7}-t_{5}}}={\frac {{\overrightarrow {OA_{7}}}-{\overrightarrow {OA_{5}}}}{t_{7}-t_{5}}}$

avec les outils mathématiques

${\overrightarrow {v_{t}}}={\frac {d\,{\overrightarrow {OA_{t}}}}{dt}}$

On obtient donc cette expression du vecteur accélération

${\overrightarrow {a_{t}}}={\frac {d^{2}\,{\overrightarrow {OA_{t}}}}{dt^{2}}}$

Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique

Début d’un principe

Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures s'appliquant sur un système à l'instant t est égale au produit de la masse du système par le vecteur accélération du centre d'inertie G.

$\sum {\overrightarrow {F_{ext}}}=m\,{\overrightarrow {a_{G}}}$

Fin du principe