Étude des systèmes électriques/Exercices/Défibrillateur cardiaque (RC)

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé au Baccalauréat (septembre 2003).

Un défibrillateur cardiaque permet d'appliquer un choc électrique sur le thorax d'une victime en arrêt cardiaque : les fibres musculaires du cœur se contractent alors de façon désordonnée (fibrillation). On peut représenter son schéma de fonctionnement de façon simplifiée comme sur la figure 1.

• Le condensateur a une capacité C = 470 µF
• Le thorax du patient sera assimilé à un conducteur ohmique de résistance R = 50 Ω

Figure 1

Figure 2

Figure 3

Mise en fonction du défibrillateur

Cette mise en fonction correspond à la fermeture de l'interrupteur K1 afin de charger le condensateur (l'interrupteur K2 restant ouvert).

1. Quel est, parmi les deux graphiques donnés en figures 2 et 3, celui qui correspond à cette phase du processus ?
2. Déterminer la constante de temps $\tau '$ du circuit de charge par la méthode de votre choix.
3. Calculer la valeur maximale $E_{max}$ de l'énergie que peut stocker le condensateur.
4. Donner l’ordre de grandeur du temps de mise en fonction du défibrillateur.

Envoi du choc électrique

Une fois le condensateur chargé, l'interrupteur K1 s'ouvre et le manipulateur peut choisir le niveau d'énergie du choc électrique qui sera envoyé au patient, par exemple E = 400 J. À la date t = 0, il ferme l'interrupteur K2, ce qui provoque la décharge partielle du condensateur : celle-ci est automatiquement arrêtée dès que l'énergie choisie a été délivrée.

Équation différentielle de la décharge

1. Montrer qu’à un instant t quelconque de la décharge, la tension u aux bornes du condensateur vérifie l'équation différentielle ${\frac {du}{dt}}+{\frac {1}{RC}}u=0$
2. La solution d'une telle équation est de la forme $u(t)=A.e^{-{\frac {t}{\tau }}}$. Déterminer graphiquement la valeur de A et calculer $\tau$.

Étude de l'intensité du courant

1. Montrer que l'intensité du courant électrique peut s'écrire sous la forme $i(t)=B.e^{-{\frac {t}{\tau }}}$ où B est une constante qu'on peut exprimer en fonction de deux des trois constantes A, R et C.
2. A quelle date l'intensité est-elle maximale ? Calculer cette valeur $I_{max}$
3. Quelle était la valeur de l'intensité juste avant la décharge ? Conclusion.

Énergie délivrée au patient

Rappelons que la décharge a été stoppée automatiquement lorsque l'énergie délivrée avait atteint 400 J.

1. Déterminer graphiquement la date $t_{1}$ à laquelle la décharge a été stoppée
2. Calculer $u(t_{1})$ et vérifier graphiquement cette valeur
3. L'énergie délivrée est-elle bien de 400 J ?