Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les méthodes particulières

Exercice 4-1

Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l'équation :

${\frac {2x^{3}-x^{2}-4}{3x^{2}-1}}={\frac {8}{x}}~$

en exprimant les solutions à l'aide d'une fonction tangente.

Solution

Le domaine de définition de l'équation est :

$D=\mathbb {R} -\{-\tan {\left({\frac {\pi }{6}}\right)},0,\tan {\left({\frac {\pi }{6}}\right)}\}~$

Dans l'équation, en effectuant le produit en croix, on obtient :

$x(2x^{3}-x^{2}-4)=8(3x^{2}-1)~$

Ce qui, après développement et transfert dans le premier membre donne :

$2x^{4}-x^{3}-24x^{2}-4x+8=0~$

Nous rechercherons une racine évidente sous la forme p/q avec p diviseur de 8 et q diviseur de 4.

Les nombres susceptibles de marcher sont :

$1\quad -1\quad 2\quad -2\quad 4\quad -4\quad 8\quad -8\quad {\frac {1}{2}}\quad -{\frac {1}{2}}~$

Après essai, nous voyons que c’est 1/2 qui marche, ce qui signifie que l’on peut mettre 2x - 1 en facteur.

Pour trouver de quoi 2x - 1 est en facteur, nous pouvons effectuer une division euclidienne.

${\begin{array}{ccccccccc|ccccc}2x^{4}&-&x^{3}&-&24x^{2}&-&4x&+&8&2x&-&1\\\hline -2x^{4}&+&x^{3}&&&&&&&x^{3}&-&12x&-&8\\&&&-&24x^{2}&-&4x&+&8\\&&&+&24x^{2}&-&12x&&\\&&&&&-&16x&+&8\\&&&&&+&16x&-&8\\&&&&&&0&+&0\end{array}}$

Nous voyons alors que l'équation se factorise sous la forme :

$(2x-1)(x^{3}-12x-8)=0~$

Nous avons trouvé une première racine :

$x_{1}={\frac {1}{2}}~$

Pour trouver les trois racines manquantes, il nous reste à résoudre l'équation :

$x^{3}-12x-8=0~$

Qui est une équation de la forme :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~$

avec :

$a=1\qquad b=0\qquad c=-12\qquad d=-8~$

Comme il nous est demandé des solutions s'exprimant avec la fonction tangente, nous résoudrons l'équation en utilisant la méthode trigonométrique en tangente.

Nous commencerons par faire le changement de variable :

$x=z-{\frac {bc-9ad}{2(b^{2}-3ac)}}=z-1~$

On obtient :

$(z-1)^{3}-12(z-1)-8=0~$

Qui donne en développant :

$z^{3}-3z^{2}-9z+3=0~$

Qui est une équation de la forme :

$rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0~$

Avec :

$r=1\qquad s=-3\qquad p=-9\qquad q=3~$

On peut vérifier que l’on a bien sp - 9rq = 0.

Posons ensuite :

$z={\sqrt {-{\frac {p}{3r}}}}tan(\theta )={\sqrt {3}}.tan(\theta )~$

On obtient :

$3{\sqrt {3}}.tan^{3}\theta -9tan^{2}\theta -9{\sqrt {3}}.tan\theta +3=0~$

Que l’on peut écrire :

$3{\sqrt {3}}(tan^{3}\theta -3tan\theta )=3(3tan^{2}\theta -1)~$

Que l’on peut mettre sous la forme :

${\frac {tan^{3}\theta -3tan\theta }{3tan^{2}\theta -1}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}~$

Qui se simplifie sous la forme :

$tan(3\theta )={\frac {1}{\sqrt {3}}}~$

Qui peut encore s'écrire :

$tan(3\theta )=tan\left({\frac {\pi }{6}}\right)~$

Nous en déduisons :

$3\theta ={\frac {\pi }{6}}+k\pi \qquad \qquad k\in \mathbb {Z} ~$

Que l’on peut écrire :

$\theta ={\frac {\pi }{18}}+{\frac {k\pi }{3}}\qquad \qquad k\in \mathbb {Z} ~$

La représentation de l’ensemble de ces valeurs sur le cercle trigonométrique montre que l’on peut se limiter à :

$\theta \in \left\{{\frac {\pi }{18}},{\frac {13\pi }{18}},-{\frac {5\pi }{18}}\right\}~$

En reportant dans :

$z={\sqrt {3}}.tan(\theta )~$

Nous obtenons les trois valeurs :

${\begin{cases}z_{2}={\sqrt {3}}.tan({\frac {\pi }{18}})\\z_{3}={\sqrt {3}}.tan({\frac {7\pi }{18}})\\z_{4}={\sqrt {3}}.tan(-{\frac {5\pi }{18}})\end{cases}}$

En reportant finalement ces valeurs dans :

$x=z-1~$

on obtient :

${\begin{cases}x_{2}={\sqrt {3}}.tan({\frac {\pi }{18}})-1\\x_{3}={\sqrt {3}}.tan({\frac {7\pi }{18}})-1\\x_{4}={\sqrt {3}}.tan(-{\frac {5\pi }{18}})-1\end{cases}}$

En conclusion, les quatre racines de l'équation :

${\frac {2x^{3}-x^{2}-4}{3x^{2}-1}}={\frac {8}{x}}~$

sont :

${\begin{cases}x_{1}={\frac {1}{2}}\\x_{2}={\sqrt {3}}.tan({\frac {\pi }{18}})-1\\x_{3}={\sqrt {3}}.tan({\frac {7\pi }{18}})-1\\x_{4}={\sqrt {3}}.tan(-{\frac {5\pi }{18}})-1\end{cases}}$

 

Exercice 4-2

Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation :

${\frac {x^{4}+2}{x^{2}-2x+2}}=4x~$

Solution

Le discriminant du trinôme se trouvant au dénominateur du premier membre de l'équation étant négatif, le domaine de définition de l'équation est :

$D=\mathbb {R} ~$

Dans l'équation, en effectuant le produit en croix, on obtient :

$x^{4}+2=4x(x^{2}-2x+2)~$

Ce qui, après développement et transfert dans le premier membre donne :

$x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-8x+2=0~$

Nous avons une équation de la forme :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~$

Avec :

$a=1\qquad b=-4\qquad c=8\qquad d=-8\qquad e=2~$

Nous constatons alors que :

$b^{3}-4abc+8a^{2}d=(-4)^{3}-4\times (-4)\times 8+8\times 1^{2}\times (-8)=0~$

Nous pouvons donc nous ramener à une équation bicarrée du quatrième degré grâce au changement de variable :

$x=z-{\frac {b}{4a}}=z+1~$

On obtient :

$(z+1)^{4}-4(z+1)^{3}+8(z+1)^{2}-8(z+1)+2=0~$

Ce qui donne après développement :

$z^{4}+2z^{2}-1=0~$

Posons alors :

$X=z^{2}~$

On obtient :

$X^{2}+2X-1=0~$

Le discriminant de cette dernière équation est :

$\Delta =2^{2}-4\times 1\times (-1)=8=(2{\sqrt {2}})^{2}~$

On en déduit les deux racines

${\begin{cases}X={\frac {-2+2{\sqrt {2}}}{2}}=-1+{\sqrt {2}}\\ou\\X={\frac {-2-2{\sqrt {2}}}{2}}=-1-{\sqrt {2}}\end{cases}}$

Comme on a posé :

$X=z^{2}~$

On obtient :

${\begin{cases}z^{2}={\sqrt {2}}-1\\ou\\z^{2}=-{\sqrt {2}}-1\end{cases}}$

Ce qui nous donne les quatre racines :

${\begin{cases}z_{1}={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\\z_{2}=-{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\\z_{3}=i{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}\\z_{3}=-i{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}\end{cases}}$

Et en reportant dans :

$x=z+1~$

On peut conclure que les racines de l'équation :

${\frac {x^{4}+2}{x^{2}-2x+2}}=4x~$

sont :

${\begin{cases}x_{1}={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}+1\\x_{2}=-{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}+1\\x_{3}=i{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1\\x_{3}=-i{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1\end{cases}}$

 

Exercice 4-3

Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation :

${\frac {(x^{2}-3x-1)(x^{2}-3x+1)}{6x}}=i~$

(avec i² = -1.)

Solution

Après développement, produit en croix et regroupement dans le premier membre, l'équation s'écrit :

$x^{4}-6x^{3}+9x^{2}-6ix-1=0~$

L'équation vérifiant la condition ad² = eb², nous diviserons tous les termes par x², on obtient :

$x^{2}-6x+9-{\frac {6i}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}=0~$

Que l’on factorisera sous la forme :

$x^{2}-{\frac {1}{x^{2}}}-6\left(x+{\frac {i}{x}}\right)+9=0~$

Posons alors :

$z=x+{\frac {i}{x}}~$

Il s'en suit :

$x^{2}-{\frac {1}{x^{2}}}=x^{2}+2x{\frac {i}{x}}+\left({\frac {i}{x}}\right)^{2}-2i=\left(x+{\frac {i}{x}}\right)^{2}-2i=z^{2}-2i~$

En portant dans l'équation, nous obtenons :

$z^{2}-6z+9-2i=0~$

Qui s'écrit :

$(z-3)^{2}-(i+1)^{2}=0~$

D'après une très célèbre identité remarquable, on obtient :

$(z-3+i+1)(z-3-i-1)=0~$

En simplifiant :

$(z-2+i)(z-4-i)=0~$

et par conséquent :

${\begin{cases}z=2-i\\ou\\z=4+i\end{cases}}$

Premier cas : si z=2-i.

Nous avions posé :

$z=x+{\frac {i}{x}}~$

Nous aurons donc :

$2-i=x+{\frac {i}{x}}~$

Qui nous donnera l'équation du second degré suivante :

$x^{2}-(2-i)x+i=0~$

Calculons le discriminant :

$\Delta =(2-i)^{2}-4i=4-4i-1-4i=3-8i=\left({\sqrt {\frac {{\sqrt {73}}+3}{2}}}-i{\sqrt {\frac {{\sqrt {73}}-3}{2}}}\right)^{2}~$

Les racines de l'équation sont donc :

${\begin{cases}x_{1}={\frac {2-i+{\sqrt {\frac {{\sqrt {73}}+3}{2}}}-i{\sqrt {\frac {{\sqrt {73}}-3}{2}}}}{2}}\\x_{2}={\frac {2-i-{\sqrt {\frac {{\sqrt {73}}+3}{2}}}+i{\sqrt {\frac {{\sqrt {73}}-3}{2}}}}{2}}\end{cases}}$

Deuxième cas : si z=4+i.

Nous avions posé :

$z=x+{\frac {i}{x}}~$

Nous aurons donc :

$4+i=x+{\frac {i}{x}}~$

Qui nous donnera l'équation du second degré suivante :

$x^{2}-(4+i)x+i=0~$

Calculons le discriminant :

$\Delta =(4+i)^{2}-4i=16+8i-1-4i=15+4i=\left({\sqrt {\frac {{\sqrt {241}}+15}{2}}}+i{\sqrt {\frac {{\sqrt {241}}-15}{2}}}\right)^{2}~$

Les racines de l'équation sont donc :

${\begin{cases}x_{3}={\frac {4+i+{\sqrt {\frac {{\sqrt {241}}+15}{2}}}+i{\sqrt {\frac {{\sqrt {241}}-15}{2}}}}{2}}\\x_{4}={\frac {4+i-{\sqrt {\frac {{\sqrt {241}}+15}{2}}}-i{\sqrt {\frac {{\sqrt {241}}-15}{2}}}}{2}}\end{cases}}$

Conclusion.

Les racines de l'équation :

${\frac {(x^{2}-3x-1)(x^{2}-3x+1)}{6x}}=i~$

sont :

${\begin{cases}x_{1}={\frac {2-i+{\sqrt {\frac {{\sqrt {73}}+3}{2}}}-i{\sqrt {\frac {{\sqrt {73}}-3}{2}}}}{2}}\\x_{2}={\frac {2-i-{\sqrt {\frac {{\sqrt {73}}+3}{2}}}+i{\sqrt {\frac {{\sqrt {73}}-3}{2}}}}{2}}\\x_{3}={\frac {4+i+{\sqrt {\frac {{\sqrt {241}}+15}{2}}}+i{\sqrt {\frac {{\sqrt {241}}-15}{2}}}}{2}}\\x_{4}={\frac {4+i-{\sqrt {\frac {{\sqrt {241}}+15}{2}}}-i{\sqrt {\frac {{\sqrt {241}}-15}{2}}}}{2}}\end{cases}}$

 

Exercice 4-4

Soit ABC un triangle isocèle en A. Soit H, le pied de la hauteur issu de A. On pose h = AH. Soit ₡ le cercle de centre H, de rayon r et tangent aux deux côtés [AB] et [AC].

Calculer le rapport h/r de façon que l'aire du triangle ABC soit égale à l'aire du cercle ₡.

Solution

Soit T le point de tangence du côté [AC] par rapport au cercle. Une tangente à un cercle étant perpendiculaire au rayon correspondant, le triangle ATH sera rectangle en T. Et l’on aura :

$\sin \left({\widehat {HAT}}\right)={\frac {HT}{AH}}={\frac {r}{h}}~$

D'autre part, le triangle AHC étant aussi rectangle en H, on a aussi :

$\sin \left({\widehat {HAT}}\right)=\sin \left({\widehat {HAC}}\right)={\frac {HC}{AC}}~$

D'où l’on déduit :

${\frac {HC}{AC}}={\frac {r}{h}}~$

L'aire du triangle ABC étant égale à l'aire du cercle ₡, on a :

$HC\times h=\pi r^{2}\Leftrightarrow HC={\frac {\pi r^{2}}{h}}~$

En éliminant HC entre les deux dernières relations, on obtient :

$AC=\pi r~$

Il ne nous reste plus qu'à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle AHC, on obtient :

$AH^{2}+HC^{2}=AC^{2}~$

Nous connaissons la mesure des côtés du triangle AHC en fonction de h et de r. Nous obtenons alors :

$h^{2}+\left({\frac {\pi r^{2}}{h}}\right)^{2}=(\pi r)^{2}~$

Soit :

$h^{2}+{\frac {\pi ^{2}r^{4}}{h^{2}}}=\pi ^{2}r^{2}~$

En divisant tous les termes par r⁴ et en les multipliant par h², on obtient :

$\left({\frac {h}{r}}\right)^{4}-\pi ^{2}\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}+\pi ^{2}=0~$

Et nous voyons que h/r est racine d'une équation bicarrée du quatrième degré.

Nous poserons donc :

$X=\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}~$

Nous obtenons l'équation du second degré suivante :

$X^{2}-\pi ^{2}X+\pi ^{2}=0~$

Dont le discriminant est :

$\Delta =\pi ^{4}-4\pi ^{2}=\left(\pi {\sqrt {\pi ^{2}-4}}\right)^{2}~$

Les deux racines de l'équation du second degré seront donc :

${\begin{cases}X_{1}={\frac {\pi ^{2}+\pi {\sqrt {\pi ^{2}-4}}}{2}}\\ou\\X_{2}={\frac {\pi ^{2}-\pi {\sqrt {\pi ^{2}-4}}}{2}}\end{cases}}$

En reportant ces deux valeurs de X dans :

$\left({\frac {h}{r}}\right)^{2}=X~$

On obtient finalement compte tenu du fait que le rapport h/r est positif :

${\begin{cases}{\frac {h}{r}}={\sqrt {\frac {\pi ^{2}+\pi {\sqrt {\pi ^{2}-4}}}{2}}}\\ou\\{\frac {h}{r}}={\sqrt {\frac {\pi ^{2}-\pi {\sqrt {\pi ^{2}-4}}}{2}}}\end{cases}}$

 

Exercice 4-5

Soit une équation du second degré :

$ax^{2}+bx+c=0$

ayant pour racines x₁ et x₂

et une autre équation du second degré :

$dy^{2}+ey+f=0$

ayant pour racines y₁ et y₂.

Première partie.

On pose :

${\begin{cases}z_{1}=x_{1}\times y_{1},\\z_{2}=x_{1}\times y_{2},\\z_{3}=x_{2}\times y_{1},\\z_{4}=x_{2}\times y_{2}.\end{cases}}$

Montrer que l'équation du quatrième degré ayant pour racines z₁, z₂, z₃, z₄ est une équation réciproque (quasisymétrique) du quatrième degré.

Deuxième partie.

On pose :

${\begin{cases}z_{1}=x_{1}+y_{1},\\z_{2}=x_{1}+y_{2},\\z_{3}=x_{2}+y_{1},\\z_{4}=x_{2}+y_{2}.\end{cases}}$

Montrer que l'équation du quatrième degré ayant pour racines z₁, z₂, z₃, z₄ se ramène à une équation bicarrée.

Solution

1. Soit $A:=z_{1}z_{4}=z_{2}z_{3}$. Alors, les polynômes symétriques élémentaires en les $z_{i}$ vérifient : $\sigma _{3}=A\sigma _{1}$ et $\sigma _{4}=A^{2}$ donc $\sigma _{3}^{2}=\sigma _{4}\sigma _{1}^{2}$, ce qui prouve (si $\sigma _{1}\neq 0$, c'est-à-dire ici $be\neq 0$) que l'équation de racines les $z_{i}$ est quasisymétrique.
2. Soit $B:=z_{1}+z_{4}=z_{2}+z_{3}$. Alors, en posant $z'_{i}=z_{i}-{\frac {B}{2}}$, on a $z'_{1}+z'_{4}=z'_{2}+z'_{3}=0$ donc l'équation de racines les $z'_{i}$ est bicarrée.

 

Exercice 4-6

Nous avons vu en cours que $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ équivaut à une équation de la forme $z^{4}+pz^{2}+qz+r=0$.

Préciser $p,q,r$ sous la forme de fractions dépendant de $a,b,c,d,e$.

Solution

En développant

$\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+{\frac {c}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {e}{a}}$,

on trouve :

• $p=6\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+3{\frac {b}{a}}\left(-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {c}{a}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}$ ;
• $q=4\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+3{\frac {b}{a}}\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+2{\frac {c}{a}}\left(-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {d}{a}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}$ ;
• $r=\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+{\frac {c}{a}}\left(-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {e}{a}}={\frac {-3b^{4}+16ab^{2}c-64a^{2}bd+256a^{3}e}{256a^{4}}}$.

 

Exercice 4-7

Trouver les racines rationnelles de $P:=2X^{4}-X^{3}-X^{2}-X-3$.

Solution

Pour que le rationnel $r={\frac {b}{c}}$ (avec $b,c$ entiers premiers entre eux) soit racine, il faut que $b\mid 3$ et $c\mid 2$, donc $r\in \left\{\pm {3 \over 2},\pm 3,\pm {1 \over 2},\pm 1\right\}$. Parmi ces huit rationnels, seuls ${\frac {3}{2}}$ et $-1$ sont effectivement racines de $P$. D'ailleurs, $P=(X+1)(2X-3)(X^{2}+1)$.