1-a) Rappeler l'hypothèse de Fourier. Établir l'équation de diffusion de la chaleur dans la glace.
Dans le cas général, l’équation locale s'écrit :
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}=\sigma _{x}-div({\overrightarrow {j_{x}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbdf001a5e997b505c42dc04a542535fa5cd772)
ici on considère l'énergie, le terme source est donc
et on a donc
(équation de conservation)
soit
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-div(-\lambda \cdot \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(T))=\lambda \cdot \,\Delta T\qquad \qquad {\text{ où Δ est le Laplacien}}\qquad \Sigma ~({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba585589e9baef277eae57119374c4f0a5b0318d)
Dans ce problème sur la glace, on étudie le flux suivant 0x (i.e. en 1D), et on aura
on a
on obtient alors l' « équation de diffusion » de la chaleur dans la glace
|
ce qui peut aussi s'écrire:
![{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\lambda }{c_{v}}}~\Delta T=D_{th}~\Delta T\qquad \qquad \mathrm {avec} \qquad \lambda ~\mathrm {en~~J.K^{-1}.m^{-1}.s^{-1}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ae34c054470d72e74e2e8255d06d363e0127e2)
1-b) On fait l'approximation cv = 0
On a alors
1-c) Analogies et différences avec le problème du mur
Dans le problème du mur, on étudie le transfert de chaleur à travers un mur qui a une largeur fixe (
). Pour la glace, c'est donc le même problème mais avec
.
1-d) Déterminer alors la distribution de température Tx(t)
Comme
alors Tx est de la forme Tx = a x + b
Pour x = 0 , on a b = To et pour x =
, on a
donc
|
- remarque
On a Tair = Ta = cte mais on a Teau = Tc =
et To(t).
2) Calculer le flux Φ de
à travers une surface Σ de glace
On oriente la normale à la surface dans le sens 0x'.
En notant Σ' l'interface eau-glace et Σ l'interface glace-air, on aura avec le «système du banquier» pour le signe des échanges =
![{\displaystyle \Phi _{\Sigma '}~>~0\qquad \mathrm {et} \qquad \Phi _{\Sigma }~<~0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe943b0909f9fc5624fb964e1af52d689fabb435)
On écrit alors:
![{\displaystyle \Phi =\int {\overrightarrow {J_{Q}}}\cdot {\overrightarrow {n}}\cdot d\Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03edbfbab5ae1a06121bc776a516ab7efff7b4ae)
![{\displaystyle \Phi =\int \left(-\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}\right)\cdot d\Sigma ~=~+\lambda ~{\frac {(T_{c}-T_{o})}{\ell }}\cdot \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9e2bae3c8da375606c801daa639518b3f569e9)
![{\displaystyle \left|\Phi _{\Sigma }\right|~=~{\frac {\lambda \Sigma }{\ell }}\cdot (T_{c}-T_{o})\qquad \mathrm {et~en~appliquant~les~conventions~de~signe:} \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b92bd42c3b97c21a03fa632a1e788dc2282479)
|
3-a) On suppose que le flux transmis dans l'air est A.Σ.( To - Ta ). Faire le bilan des échanges au niveau glace-air
![{\displaystyle \Phi _{\Sigma }\quad =\quad -~\Phi _{entrant~air}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6c07b8ab3316e14b2eaedb17dd7520e2bf0baf)
![{\displaystyle {\frac {\lambda \Sigma }{\ell }}\cdot (T_{c}-T_{o})\quad =\quad A\Sigma \left(T_{o}-T_{a}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd8396786efcd4d572910ca5c157ce4b3128601)
Le bilan est donc:
|
3-b) Calculer
et en déduire Φ
![{\displaystyle \lambda T_{c}-\lambda T_{o}=A\ell T_{o}-A\ell T_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37a19e19286f95d82939b0bf07000a8d70f089f)
astuce, on ajoute
, soit:
![{\displaystyle (A\ell T_{c}-A\ell T_{c})+\lambda T_{c}-\lambda T_{o}-A\ell T_{o}=-A\ell T_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab47174f76f47bb5284fb1e49dc63a438424d2c)
![{\displaystyle (A\ell +\lambda )\cdot T_{c}-(A\ell +\lambda )\cdot T_{o}=A\ell T_{c}-A\ell T_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03bd803842752b52af3f299c14b3286a88065096)
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d'où le flux Φ au niveau glace-air:
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4) Faire le bilan à l'interface solide-liquide
Quand il se forme de la glace, on a un dégagement de chaleur đQ tel que:
- đ
![{\displaystyle Q=-L~dm=-L~\rho \Sigma ~d\ell \quad <~0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcfa7d01fcfa974a12167b716d8b336b0ba2b3b8)
Cette chaleur sort de l'interface pour aller dans la glace et être transférée vers l'air:
(sortant de l'interface) = ![{\displaystyle \Phi _{\cap }\ <~0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08523ec96ba82298c9f1819d5d05ba0892609e2)
(entrant dans la glace) = ![{\displaystyle -~\Phi _{\cap }\ >~0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84266ff2ac69e5193d9030114ebae741a617a949)
On a donc:
- đ
![{\displaystyle Q=\Phi _{\cap }~dt\qquad \mathrm {et} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9a6896628a2b09a27967649106d89fec69f6a6)
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5-a) En utilisant éq 1 et éq 2 , calculer
On a:
![{\displaystyle \left|~\Phi _{\cap }~\right|~=~\left|~\Phi _{\Sigma }~\right|\qquad \qquad {\text{soit}}\qquad \qquad +L~\rho \Sigma ~{\frac {d\ell }{dt}}\ =\ {\frac {A\lambda \Sigma \left(T_{c}-T_{a}\right)}{A.\ell +\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5991aed8b2cdf5cb606c8430528ace60ac39bc75)
donc:
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5-b) Montrer que
( équation (3) )
![{\displaystyle (A.\ell +\lambda )~{d\ell }~=\quad {\frac {A\lambda }{L\rho }}\left(T_{c}-T_{a}\right)~{dt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050ff980131c59b7b237d7a7ebbc28528f1a73cc)
on intègre:
![{\displaystyle \lambda ~\ell +{\frac {1}{2}}A\ell ^{2}~=\quad {\frac {A\lambda }{L\rho }}\left(T_{c}-T_{a}\right)~t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4f36b97ae65f34ead6ea8c69bf7e785951a4b5)
c'est une équation du second degré avec
![{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=\lambda ^{2}-4(A/2)\left(-~{\frac {A\lambda }{L\rho }}\left(T_{c}-T_{a}\right)~t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db644c0c2b790af7e37236082a445f4cb4dd876c)
les racines sont
![{\displaystyle \ell ',\ell ''={\frac {-\lambda \pm {\sqrt {\Delta }}}{A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1dfa9dd2dc9195ae4844c63546d0af359e69409)
comme il faut avoir
, alors on garde la racine:
![{\displaystyle \ell ~=-{\frac {\lambda }{A}}+{\frac {1}{A}}~{\sqrt {\lambda ^{2}+2A\left({\frac {A\lambda }{L\rho }}\right)~\left(T_{c}-T_{a}\right)~t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761fd9e25bedce7eccd6c467a24df7e14c544a1d)
![{\displaystyle \ell ~=~{\frac {\lambda }{A}}\left[~-~1+{\sqrt {1+\left({\frac {2A^{2}}{L\rho \lambda }}\right)~\left(T_{c}-T_{a}\right)~t}}\quad \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5083be76d1072cb11957da98e4755837b5224cc3)
on a bien:
( équation (3) ) avec ![{\displaystyle \ell _{o}={\frac {\lambda }{A}}\quad \mathrm {et} \quad \tau ={\frac {L\rho \lambda }{2A^{2}~\left(T_{c}-T_{a}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee659e8b7299e21e77571320373a4c37f5d88b4)
on a:
- Application numérique
-
![{\displaystyle \tau =\mathrm {{\frac {80~(kcal.Kg^{-1})\times 5.10^{-4}~(kcal.m^{-1}.s^{-1}.K^{-1})\times 9.10^{-2}~(Kg.m^{-3})}{2\times (1.10^{-2})^{2}(kcal^{2}.m^{-4}.s^{-2}.K^{-2})\times (~273~-263~).K}}=180.10^{2}~s=300~min=5~heures} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03853a8500b75d2d8615eba91e8653f0c1eb11cd)
- tracer la courbe
![{\displaystyle \ell (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff534e5742789f32950a3d8b48982fc2ef60aea)
on calcule quelques points
![{\displaystyle t=0\qquad \ell =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355e52b9aac6f6bcfb5bbfbbd7f6f9095be08abf)
![{\displaystyle t=5~\mathrm {heures} \qquad \ell =5.({\sqrt {2}}-1)=2{,}071~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc405f75a7d672287626550947832ef3d068a34)
![{\displaystyle t=15~\mathrm {heures} \qquad \ell =5~\mathrm {cm} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef6fc756e495e88824f000109edc2b7e6e9997a)
ce qui permet de tracer la courbe.
- calculer
![{\displaystyle {\frac {d\ell }{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0de1bdcc23cb17e210605f9878a4e6a1db8f6f)
![{\displaystyle \ell (t)=\ell _{o}\left({\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d521722ec5c50345c5b6527da04a77b7ecd58398)
![{\displaystyle {\frac {d\ell }{dt}}={\frac {\ell _{o}}{2}}\left({1+{\frac {t}{\tau }}}\right)^{-1/2}~\left({\frac {1}{\tau }}\right)={\frac {\ell _{o}}{2~\tau }}\times {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf63e4f831902316f5625693383bbfdb1fef665)
à t = 0 , on a
6-a) Déterminer To(t) en fonction de Ta , Tc ,
et t.
On a:
![{\displaystyle T_{o}\quad =\quad T_{c}-{\frac {A\ell \left(T_{c}-T_{a}\right)}{A\ell +\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f276106005d7df6a3b1fc88add0058068a726e)
avec
![{\displaystyle \ell (t)=\ell _{o}\left[{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311b75b54039d7dcacdda1454393bebf83f109d7)
soit
![{\displaystyle T_{o}\quad =\quad T_{c}-\left[{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}-1\right]{\frac {\left(T_{c}-T_{a}\right)}{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}}=T_{c}-\left[1-{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t}{\tau }}}}}\right]\left(T_{c}-T_{a}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cccb7159ecd9b56d74d7f0b56cf73066032b9ce)
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6-b) Montrer que l'équilibre thermique ne peut être atteint qu'au bout d'un temps infini.
Pour avoir l'équilibre thermique, il faut avoir: Ta = To
Pous cela, il faut
Que valent alors
et d
/dt ?
On a alors: