Utilisateur:Marine SIREN/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2020)/Activité D

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Liens multiples comme un seul degré[modifier | modifier le wikicode]

Je choisis comme réseau projeté celui d'Auriane et celui de Quentin, en plus du mien.

Graphe connexe


1.

Tableau 1 pour la distribution de degrés
Nombre de noeuds

/

Degrés

1 4
2 Auriane, Quentin, Emilia, Elsa = 4
3 Antoine = 1
5 Marine = 1
Graphique 1 pour la distribution de degrés



2.

Pour réaliser le tableau de la corrélation de voisins entre degré et degré, il nous faut dans un premier temps connaître la moyenne du degré des voisins de chaque noeud. Par exemple pour le noeud Quentin, ce dernier a 2 voisins : Antoine et Marine. Antoine est un noeud à degré 3 et Marine à degré 5 comme vu à la question 1. Dès lors, pour trouver la moyenne du degré des voisins du noeud Quentin, il suffit de faire le calcul suivant : (5+3)/2 = 4. La moyenne du degré des voisins du noeud Quentin est 4.

Nous obtenons alors le tableau suivant :

Tableau 2.a Moyenne du degré des voisins
Noeud Moyenne du degré des voisins du noeud
Marine (2+3+2+2+2+2)/5 = 11/5 = 2,2
Quentin (5+3)/2 = 8/2 = 4
Antoine (2+5+2)/3 = 9/3 = 3
Elsa (5+3)/2 = 8/2 = 4
Auriane (5+2)/2 = 7/2 = 3,5
Emilia (5+2)/2 = 7/2 = 3,5

A noter que nous devons ensuite calculer la moyenne du degré des voisins pour les noeuds de même degré. Ainsi pour les noeuds de degré 2, la moyenne du degré des voisins est donc de (4+4+3,5+3,5)/4 = 3,75


Nous pouvons maintenant obtenir le tableau de la corrélation de voisins entre degré et degré:

Tableau 2.b Corrélation de voisins entre degré et degré
Degré des voisins ( moyenne)

/

Degré

2,2 3 3,75
2 Auriane, Quentin, Emilia, Elsa = 4
3 Antoine = 1
5 Marine = 1


Graphique 2 pour la corrélation de voisins entre degré et degré.



3.

Nous pouvons voir que les noeuds à degré petit sont connectés à des noeuds à degré plus grand. Inverserment, les noeuds à degré élevé sont connectés à des noeuds à degré plus petit. On constate donc une corrélation négative entre degré et degré des voisins. Le réseau est alors dissortatif.


4.

Coefficient de clustering = c(i) = (pairs de voisins connectés)/ ((n(i)*(n(i)-1)/2)

c(Marine) = 3/((5*4)/2) = 3/10 = 0,3

c(Quentin) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1

c(Antoine) = 2/((3*2)/2) = 2/3

c(Elsa) = 1/((2*1)/2) =1/1 = 1

c(Auriane) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1

c(Emilia) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1


5.

Tableau 3 corrélation combiné entre degré et coefficient de clustering
Coefficient de clustering

/

Degré

0,3 2/3 1
2 Auriane, Quentin, Emilia, Elsa = 4
3 Antoine = 1
5 Marine = 1


Graphique 3 pour la corrélation combiné entre degré et coefficient de clustering



6.

Tableau 1 et Graphique 1 : Le tableau 1 et graphique 1 renseignent sur la distribution de degrés et donc sur la connectivité des noeuds. Nous pouvons voir ainsi voir que le réseau a beaucoup de noeuds peu connectés (connectés à environ 2 noeuds) et peu de noeuds très connectés (connectés à environ 3-5 liens)


Tableau 2.b et Graphique 2 : Le tableau 2.b et graphique 2 renseignent sur la relation entre la connectivité d'un noeud et celle de ses voisins. Nous pouvons observer, comme expliqué à la question 3, que plus un noeud est connecté, moins ses voisins sont connectés. A l'inverse, moins un noeud est connecté, plus ses voisins le sont.


Tableau 3 et Graphique 3: Le tableau 3 et graphique 3 permettent de voir comment le réseau se structure: qu'est-ce qui se passe autour d'un noeud si je me balade ? Nous pouvons voir que moins un noeud est connecté, plus son coefficient de clustering est élevé. Ainsi, non seulement les noeuds peu connectés ont des voisins connectés (cf analyse tableau 2.b et graphique 2) mais en plus ses voisins sont connectés entre eux. Les noeuds peu connectés sont donc dans dans des groupes très connectés localement. A l'inverse, les noeuds très connectés ont des voisins peu connectés entre eux.


7.

Le noeud Antoine a un coefficient de clustering inférieur à 1 (2/3). Pour que ce noeud ait un coefficient de clustering égal à 1, il suffit de rajouter un seul lien entre le noeud Quentin et le noeud Elsa.

Nous aurons ainsi c(Antoine) = 3/((3*2)/2) = 3/3 = 1


8.


Le noeud Quentin a un coefficient de clustering égal à 1. Sans modifier ni le nombre de voisins ni le coefficient de clustering de ce nœud, nous pouvons retirer les liens suivants : Antoine - Elsa ; Marine - Elsa ; Marine - Emilia ; Auriane - Marine ; Emilia - Auriane. Le plus grand ensemble de liens que nous pouvons enlever est donc 5.


9.


Graphiquement, je pense que le noeud Marine a la plus grande proximité et intermédiarité. Et que les noeuds de degré 2 ont la plus faible proximité et intermédiarité.


Vérifions par le calcul :


Proximité : distance entre le noeud et chaque autre noeud


c(Marine) = 1/(1+1+1+1+1) = 1/5

c(Quentin) = 1/(1+1+2+2+2) = 1/8

c(Antoine) = 1/(1+1+1+2+2) = 1/7

c(Elsa) = 1/(1+1+2+2+2) = 1/8

c(Auriane) = 1/(1+2+2+2+1) = 1/8

c(Emilia) = 1/(1+2+2+2+1) = 1/8


Marine est le noeud le plus proche des autres car il a la plus grande proximité. Tous les noeuds de degré 2 (Quentin - Elsa - Auriane - Emilia) ont la plus petite proximité, ils sont donc les plus isolés.


Intermédiarité : la somme, pour chaque pair des autres noeuds, de la fraction des chemins les plus courts entre ces noeuds qui passent par le premier


g(Marine) = 1/2 + 1 +1 +1 +1 + 1/2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 +1 + 1 = 13

g(Quentin) = 0

g(Antoine) = 1/2 + 1/2 = 1

g(Elsa) = 0

g(Auriane) = 0

g(Emilia) = 0

g(total) = 14


Le noeud le plus important en termes de dynamique de réseau est Marine: c'est le noeud avec la plus grande intermédiarité.

Les noeuds de degré 2 (Quentin - Elsa - Auriane - Emilia) ont une faible intermédiarité.


Finalement, les noeuds à degré élevé (degré 3 ou 5) jouent un rôle d'intermédiaire et les noeuds à degré bas (degré 2) ne sont pas du tout intermédiaires.


Prise en compte des liens multiples[modifier | modifier le wikicode]

Graphe prenant en compte les liens multiples


Précisons que lorsque plusieurs éléments sont présents sur un lien, cela représente plusieurs liens. Par exemple, le noeud "Emilia" et le noeud "Auriane" sont bien reliés par 2 liens: le lien "Piano" et le lien "Guitare". Il s'agit ici juste d'une simplification graphique.

1.

Tableau 1 pour la distribution de degrés
Nombre de noeuds

/

Degrés

1 2
2 Quentin = 1
3 Emilia, Elsa = 2
4 Auriane = 1
5 Antoine = 1
9 Marine = 1
ChartGo distribution de degré.png


2. Pour réaliser le tableau de la corrélation de voisins entre degré et degré, il nous faut dans un premier temps connaître la moyenne du degré des voisins de chaque noeud. Par exemple pour le noeud Quentin, ce dernier a 2 voisins : Antoine et Marine. Antoine est un noeud à degré 5 et Marine à degré 9 comme vu à la question 1. Dès lors, pour trouver la moyenne du degré des voisins du noeud Quentin, il suffit de faire le calcul suivant : (5+9)/2 = 7. La moyenne du degré des voisins du noeud Quentin est 7.

Nous obtenons alors le tableau suivant :

Tableau 2.a Moyenne du degré des voisins
Noeud Moyenne du degré des voisins
Marine (2+3+3+4+5) / 5 = 3,4
Quentin (5+9)/2 = 7
Antoine (2+3+9)/3 = 4,7
Elsa (5+9)/2 = 7
Auriane (3+9)/2 = 6
Emilia (9+4)/2 = 6,5

A noter que nous devons ensuite calculer la moyenne du degré des voisins pour les noeuds de même degré. Ainsi pour les noeuds de degré 3, la moyenne du degré des voisins est donc de (7+6,5)/2 = 6,75


Nous pouvons maintenant obtenir le tableau de la corrélation de voisins entre degré et degré:

Tableau 2.b Corrélation de voisins entre degré et degré
Moyenne du degré des voisins

/

Degré

3,4 4,7 6 6,75 7
2 Quentin
3 Emilia et Elsa
4 Auriane
5 Antoine
9 Marine


ChartGo graphe linéaire.png


3. Nous pouvons voir que les noeuds à degré petit sont connectés à des noeuds à degré plus grand. Inverserment, les noeuds à degré élevé sont connectés à des noeuds à degré plus petit. On constate donc une corrélation négative entre degré et degré des voisins. Le réseau est alors dissortatif.


4.


Coefficient de clustering = c(i) = (pairs de voisins connectés)/ ((n(i)*(n(i)-1)/2)

c(Marine) = 3/((5*4)/2) = 3/10 = 0,3

c(Quentin) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1

c(Antoine) = 2/((3*2)/2) = 2/3

c(Elsa) = 1/((2*1)/2) =1/1 = 1

c(Auriane) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1

c(Emilia) = 1/((2*1)/2) = 1/1 = 1

ChartGo graphe.png


5.

La question 2 renseigne sur la relation entre la connectivité d'un noeud et celle de ses voisins. On voit alors une dissortativité des degrés: les noeuds à degré élevé sont connectés à des noeuds à degré plus faible. A l'inverse, les noeuds à degré plus faible sont connectés à des noeuds à degré plus élevé.

La question 3 permet de voir comment le réseau se structure: qu'est-ce qui se passe autour d'un noeud si je me balade ? Nous pouvons voir que moins un noeud est connecté, plus son coefficient de clustering est élevé (=1) - et inversement. Ainsi, non seulement les noeuds peu connectés ont des voisins connectés (cf question 2) mais en plus ses voisins sont connectés entre eux. Les noeuds peu connectés sont donc dans dans des groupes très connectés localement. A l'inverse, les noeuds plus connectés (degré 5 ou 9) ont des voisins peu connectés entre eux.



6.


Le noeud Marine a un coefficient de clustering inférieur à 1 (0,3). Pour que ce noeud ait un coefficient de clustering égal à 1, il faut rajouter 7 liens : [Emilia] - [Antoine] ; [Emilia] - [Elsa] ; [Auriane] - [Quentin] ; |Auriane] - [Antoine] ; [Quentin] - [Emilia] ; [Auriane] - [Elsa] et [Quentin] - [Elsa]

Nous aurons ainsi c(Marine) = 10/((5*4)/2) = 1



7.

Le noeud Quentin a un coefficient de clustering égal à 1. Sans modifier ni le nombre de voisins ni le coefficient de clustering de ce nœud, nous pouvons retirer les liens suivants : Antoine - Elsa ; Marine - Elsa ; Marine - Emilia ; Auriane - Marine ; Emilia - Auriane. Le plus grand ensemble de liens que nous pouvons enlever est donc 5.


8.


Graphiquement, je pense que le noeud Marine a la plus grande proximité car il a un degré beaucoup plus élevé même sans prendre en compte les liens multiples. Il est connecté à tous les noeuds, alors que tous les autres noeuds sont connectés uniquement au noeud Marine et à un autre noeud (excepté pour le noeud Antoine). Je pense donc que les noeuds à degré faible (2,3,4) auront la plus petite proximité.


Vérifions par le calcul :


Proximité : distance entre le noeud et chaque autre noeud


c(Marine) = 1/(1+1+1+1+1) = 1/5

c(Quentin) = 1/(1+1+2+2+2) = 1/8

c(Antoine) = 1/(1+1+1+2+2) = 1/7

c(Elsa) = 1/(1+1+2+2+2) = 1/8

c(Auriane) = 1/(1+2+2+2+1) = 1/8

c(Emilia) = 1/(1+2+2+2+1) = 1/8


Marine est donc bien le noeud avec la plus grand proximité: il est alors le noeud le plus proche des autres. Tous les autres noeuds - exceptés Antoine - ont la plus petite proximité pour la raison évoquée précédemment.

Je pense que le noeud Marine aura la plus grande intermédiarité et que les noeuds à degré faible (2,3,4) auront la plus petite intermédiarité. Comme le noeud Marine est hyperconnecté, ils auront je pense une intermédiarité nulle. Ils sont tous connectés uniquement au noeud Marine et à un autre voisin. Ils doivent donc tous passer une fois par le noeud Marine pour atteindre un autre noeud (excepté pour l'autre noeud auquel ils sont connectés).

Vérifions par le calcul

Intermédiarité : la somme, pour chaque pair des autres noeuds, de la fraction des chemins les plus courts entre ces noeuds qui passent par le premier


g(Marine) = 1/2 + 1 +1 +1 +1 + 1/2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 +1 + 1 = 13

g(Quentin) = 0

g(Antoine) = 1/2 + 1/2 = 1

g(Elsa) = 0

g(Auriane) = 0

g(Emilia) = 0

g(total) = 14


Le noeud le plus important en termes de dynamique de réseau est Marine: c'est le noeud avec la plus grande intermédiarité.


Finalement, les noeuds à degré élevé jouent un rôle d'intermédiaire et les noeuds à degré plus bas ne sont pas du tout intermédiaires. De même pour la proximité.