Leçons de niveau 12

Trigonométrie/Exercices/Problèmes récapitulatifs

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Problèmes récapitulatifs
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Exercices no16
Leçon : Trigonométrie

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Résolution du triangle
Exo suiv. :Sommaire
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Trigonométrie/Exercices/Problèmes récapitulatifs
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Exercice 16-1[modifier | modifier le wikicode]

 On considère un cercle de diamètre , de centre . Un point de ce cercle se projette en sur .

Montrer que la tangente en à est tangente aux cercles de centres et et passant par .

 Soit le second point d'interception du cercle avec le cercle de diamètre , le centre de celui-ci, le point d'interception des droites et .

Montrer que la droite est parallèle à la tangente en au cercle et qu'elle est tangente aux cercles de diamètres et en ses points d'interception avec le cercle de diamètre .

 Soit ; établir les relations :

.

 On suppose . Montrer que satisfait à l'équation :


Exercice 16-2[modifier | modifier le wikicode]

 On donne, dans un triangle , le périmètre , le rayon du cercle inscrit, la hauteur issue du sommet .

Établir les formules permettant de calculer, en fonction des données, les trois cotés et les trois angles du triangle.

 Quelle relation doit-il exister entre et pour que le triangle soit rectangle en  ?

 On suppose . Entre quelles limites doit varier pour que le triangle (que cette fois on suppose quelconque) puisse exister ?

 Calculer cotés et angles lorsque .


Exercice 16-3[modifier | modifier le wikicode]

On considère les triangles dans lesquels la différence vaut un droit.

 Établir les formules qui permettent de calculer les angles d'un tel triangle connaissant la valeur du rapport . Cas particulier .

 Démontrer que la hauteur issue du sommet est tangente au cercle circonscrit du triangle.

 Vérifier que les cotés du triangle et le rayon du cercle circonscrit sont liés par la relation . Étudier la réciproque.

 La base d'un tel triangle étant fixe, trouver le lieu géométrique du sommet et le lieu du point de rencontre des hauteurs.


Exercice 16-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit un triangle .

 Calculer en fonction des sinus des angles du triangle les rapports de chacun des cotés à la hauteur correspondante.

 On donne le rapport et l’angle ; Calculer les angles et . Discussion.

Application numérique : .

 Construire géométriquement le triangle connaissant .

 Le triangle obtenu à la question précédente peut-il être isocèle ?

Peut-il être rectangle ?
Quelles sont les relations liant et dans chacun de ces différents cas ?


Exercice 16-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un triangle dont les angles et sont aigus, l'angle en pouvant être aigu ou obtus; on appelle le cercle circonscrit et son rayon. On construit le triangle tel que les cotés soient tangents au cercle respectivement en et ; On appelle le cercle circonscrit à ce triangle et son rayon. Enfin, désignent les éléments du triangle et ceux du triangle .

 Montrer que :

si est aigu
et :
si est obtus.

 Calculer en fonction de et des angles les longueurs des segments .

 Établir les formules :


Exercice 16-6[modifier | modifier le wikicode]

On considère un triangle dans lequel la hauteur issue de est double du diamètre du cercle inscrit : . On donne la longueur et le coté

 Calculer le demi-périmètre . Montrer que l’on peut calculer .

 Achever la résolution du triangle en calculant soit , soit par leurs cosinus, soit le produit .

Application : . Calculer les trois angles.

 On se propose de donner une construction géométrique du triangle. Placer d'abord le coté . Calculer et en déduire un lieu géométrique sur lequel se trouve le sommet . Achever la construction et discuter. (On donnera explicitement la réalisation effective de la construction au moyen de la règle et du compas.)


Exercice 16-7[modifier | modifier le wikicode]

Un triangle variable est inscrit dans un cercle fixe de centre et de rayon ; le sommet est fixe et le côté passe par le milieu de . On appelle les angles du triangles, l'aire du triangle et l'angle .

 Trouver le lieu du point de rencontre des médianes du triangle .

 Démontrer la relation :

 Établir les trois relations :

Réciproquement, l'une quelconque de ces trois relations est-elle suffisante pour que le côté passe par le milieu de  ?

 On donne l'angle entre et . Calculer . Discuter géométriquement.

Application : (voir les Valeurs trigonométriques exactes)

 Calculer en fonction de .


Exercice 16-8[modifier | modifier le wikicode]

On considère les triangles dont les angles satisfont à la relation :

est un nombre algébrique donné différent de -1.

 Montrer que l’on a :

;
.
Calculer et connaissant . Discuter. Étudier le cas où l'angle est droit.

 On appelle l'orthocentre et la hauteur issue de . Démontrer que l'on a :

Étudier les cas particuliers :
.