Leçons de niveau 14

Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Énergie interne d'un système, capacité thermique à volume constant d'un G.P.

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Thermodynamique (PCSI)/Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre : Énergie interne d'un système, capacité thermique à volume constant d'un G.P.
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Définition de l’énergie interne d’une quantité « n » fixée d’un système thermodynamique monophasé en équilibre thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de l’introduction de l’énergie totale d’un système thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : A été introduit une 1ère fois dans le sous-paragraphe intitulé “ énergies d'un système thermodynamique fermé dans le référentiel d'étude (remarque 4ème puce) ” du paragraphe « énergies à utiliser pour un système thermodynamique fermé dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » ainsi que le sous-paragraphe “ énergies d'un système thermodynamique ouvert dans le référentiel d'étude ” du paragraphe « énergies à utiliser pour un système thermodynamique ouvert dans le référentiel d'étude » du même chap. de la même leçon « Thermodynamique (PCSI) » et
     Préliminaire : bien que le système thermodynamique considéré soit a priori « fermé » ou « ouvert », nous nous limitons, dans ce rappel, à un système fermé l'étude d'un système ouvert se ramenant à celle du système fermé coïncidant avec l'ensemble du système ouvert à l'instant augmenté de ce qui entre éventuellement[1] sur , système fermé que l'on suit entre et , ce système fermé coïncidant à l'instant avec l'ensemble du système ouvert à l'instant augmenté de ce qui est sorti éventuellement[1] sur .

     Rappel : L’énergie totale «» dans le référentiel d’étude d’un « système thermodynamique fermé » [2] est la somme de
     Rappel : son énergie mécanique macroscopique [3] «» [4], [5] dans laquelle «» est l'énergie cinétique des composants dans hors agitation thermique, «» [4] l’énergie potentielle des constituants dans le champ de forces extérieures conservatif, «» [4] l'« énergie potentielle d'interaction de ses ingrédients » [6] et
     Rappel : son énergie interne «» [4] où «» étant le nombre de molécules plus généralement d’entités du système ainsi que «» [4] se réécrivant selon «» [4] avec, entre les accolades, «» égale à la valeur moyenne de l'énergie potentielle interentitaire d'une entité quelconque due à toutes ses voisines [7] et «» la valeur moyenne de l'énergie potentielle intraentitaire d'une entité quelconque les énergies potentielles de l'énergie interne étant qualifiées de « microscopiques » pour souligner leur disparition dans le domaine de la mécanique ;

     Rappel : dans le référentiel d’étude , l’énergie totale du système thermodynamique fermé est donc défini selon «» ;

     Rappel : dans le référentiel d’étude , si le système y est globalement immobile, il n'a pas d'énergie cinétique macroscopique «» et
     Rappel : dans le référentiel d’étude , si le système y est globalement immobile, les énergies potentielles macroscopiques pouvant être nulles par choix des références [8] « » [4], [9] et «» [4], [10], nous en déduisons que
     Rappel : dans le référentiel d’étude , si le système y est globalement immobile, l'énergie mécanique macroscopique du système est nulle «» et par suite que
     Rappel : dans le référentiel d’étude , si le système y est globalement immobile, l’énergie totale du système se limite à son énergie interne «».

Définition de l’énergie interne d’un système thermodynamique monophasé en équilibre[modifier | modifier le wikicode]

     La définition ci-après résulte des notions rappelées au paragraphe « rappel de l'introduction de l'énergie totale d'un système thermodynamique » plus haut dans ce chapitre.

Expression de l’énergie interne d’une quantité « n » fixée d’un G.P.M., lien avec sa température (cinétique)[modifier | modifier le wikicode]

Le qualificatif « cinétique » est mis entre parenthèses car pour l'instant c'est la seule température qui a été définie.

Rappel de la définition d’un « G.P.M. » (gaz parfait monoatomique)[modifier | modifier le wikicode]

     Un gaz parfait monoatomique G.P.M. est un G.P. [12] c.-à-d. un gaz de « molécules identiques » [13], « quasi-ponctuelles » [14], « sans interaction intermoléculaire » [15]
            Un gaz parfait monoatomique G.P.M. est un G.P. dont les molécules sont « monoatomiques » [16] ;

     la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules d'un G.P.P. [17] traduisant les propriétés d'isotropie, d'homogénéité et de stationnarité cette dernière si le G.P.M. [17] est en équilibre thermodynamique est systématiquement adoptée [18].

Expression de l’énergie interne d’une quantité « n » fixée d’un G.P.M. en équilibre thermodynamique[modifier | modifier le wikicode]

     Les molécules d'un G.P.M. [17] étant ponctuelles et monoatomiques aucun degré de liberté de rotation et de vibration propres d'où «» et «» ainsi que

           Les molécules d'un G.P.M. étant ponctuelles et monoatomiques aucun degré de liberté de rotation et de vibration propres d'où «» et «»,

           Les molécules d'un G.P.M. étant sans interaction intermoléculaire «»,

     de ce qui précède nous déduisons «» et

     de ce qui précède nous déduisons «» [4] ;

     en conclusion l’énergie interne d’une quantité «» fixée de G.P.M. [17] en équilibre thermodynamique s'évalue selon

«».

     Remarque : Le fait que le G.P.M. [17] soit en équilibre thermodynamique correspondant à la stationnarité de la répartition statistique des vecteurs vitesse du gaz l'énergie interne de la quantité «» fixée de ce G.P.M. [17] « ne dépend pas de l'instant d'étude ».

Lien de l'énergie interne d’une quantité « n » fixée d’un G.P.M. en équilibre thermodynamique avec la température (cinétique) du gaz, 1ère loi de Joule[modifier | modifier le wikicode]

     La température cinétique[19] du G.P.M. [17] en équilibre thermodynamique étant définie par « avec constante de Boltzmann [20] » [21] ou
                La température cinétique du G.P.M. en équilibre thermodynamique étant définie par « dans laquelle est la constante molaire des G.P. [12] étant la constante d'Avogadro [11]»,
                La température cinétique du G.P.M. sa réinjection sous sa 2ème forme dans l’expression de l’énergie interne d’une quantité «» fixée du G.P.M. [17] en équilibre thermodynamique donne « » soit, après simplification évidente,

«» [22].

     Propriété : Nous remarquons que l'« énergie interne d’une fixée de G.P.M. [17] en équilibre thermodynamique » ne dépend que d’un seul paramètre intensif « sa température » alors que le G.P.M. [17] en équilibre thermodynamique étant divariant, son état d’équilibre dépend, a priori, de deux paramètres intensifs indépendants, cette propriété correspond à la « 1ère loi de Joule » [23] ou loi de Joule et Gay-Lussac » [23], [24] :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Conséquence : « Un G.P.M. [17] suit donc la 1ère loi de Joule [23] ou loi de Joule et Gay-Lussac [23], [24]» [25].

Expression de l’énergie interne d’une quantité « n » fixée d’un G.P.P., 1ère loi de Joule[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la définition d’un « G.P.P. » (gaz parfait polyatomique)[modifier | modifier le wikicode]

     Un gaz parfait polyatomique G.P.P. est un G.P. [12] c.-à-d. un gaz de « molécules identiques » [13], « quasi-ponctuelles » [14], « sans interaction intermoléculaire » [15]
            Un gaz parfait polyatomique G.P.P. est un G.P. dont les molécules sont « polyatomiques » [26] ;

     la répartition statistique des vecteurs vitesse des molécules d'un G.P.P. [27] traduisant les propriétés d'isotropie, d'homogénéité et de stationnarité cette dernière si le G.P.P. [27] est en équilibre thermodynamique est systématiquement adoptée [18].

     Remarque : du caractère quasi-ponctuelle des molécules d'un G.P. [12] nous ne pouvons tirer aucune information sur les divers degrés de liberté des molécules, en particulier ceux de rotation propre, la seule information que nous en tirons est l'« absence de covolume c.-à-d. que le volume d'inaccessibilité pour une molécule quelconque dû à la présence des autres molécules est négligeable relativement au volume disponible pour le G.P. [12] » [28] ;
     Remarque : il serait donc FAUX de dire que les molécules d'un G.P. [12] n'ont aucun degré de liberté de rotation propre car elles sont quasi-ponctuelles, pour conclure à une éventuelle absence de degré de liberté de rotation propre il faut regarder la disposition stérique des atomes dans les molécules du G.P. [12] :
     Remarque : pour un G.P.M. [17] une molécule quelconque étant invariante par rotation autour de son centre n'a aucun degré de liberté de rotation propre alors que
     Remarque : pour un G.P.P. [27] la disposition stérique des atomes dans une molécule quelconque permettant de distinguer des directions relativement à d’autres la molécule n’est donc pas invariante par rotation autour de son centre il y a présence éventuelle de degrés de liberté de rotation propre de ses molécules.

Expression de l’énergie interne d’une quantité « n » fixée d’un G.P.P. en équilibre[modifier | modifier le wikicode]

     Les molécules d'un G.P.P. [27] étant polyatomiques un ou deux degré(s) de liberté de rotation propre d'où «» [29] et
           Les molécules d'un G.P.P. étant polyatomiques au moins un degré de liberté de vibration propre d'où «» [29] ainsi que

           Les molécules d'un G.P.P. étant polyatomiques au moins un degré de liberté de vibration propre d'où «» [29],

           Les molécules d'un G.P.P. étant sans interaction intermoléculaire «»,

     de ce qui précède nous déduisons «» et

     de ce qui précède nous déduisons «» [4] ;

     en conclusion l’énergie interne d’une quantité «» fixée de G.P.P. [27] en équilibre thermodynamique s'évalue selon

«                             
                                        « ».

Lien de l’énergie interne d’une quantité « n » fixée d’un G.P.P. en équilibre avec la température (cinétique) du gaz, 1ère loi de Joule[modifier | modifier le wikicode]

     La température cinétique[19] du G.P.P. [27] en équilibre thermodynamique étant définie par « avec constante de Boltzmann [20] » [21] ou
                La température cinétique du G.P.P. en équilibre thermodynamique étant définie par « dans laquelle est la constante molaire des G.P. [12] étant la constante d'Avogadro [11]»,
                La température cinétique du G.P.P. sa réinjection sous sa 2ème forme dans l’expression de l’énergie cinétique microscopique de translation d’une quantité «» fixée du G.P.P. [17] en équilibre thermodynamique donne «» soit, après simplification évidente, «» s'identifiant à l'énergie interne de la quantité «» fixée du G.P.P. [17] en équilibre thermodynamique à une température suffisamment basse pour que les degrés de liberté de rotation et de vibration propres soient gelés c.-à-d. «» par exemple pour le dihydrogène [30], voir le paragraphe « en complément, notion d'équipartition de l'énergie (suite) (exemples, pour des molécules diatomiques non déformables) » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » ;

     d'une part, les « éventuelles » [31] autres énergies cinétiques microscopiques moyennes d'agitation thermique de rotation «» et de vibration intramoléculaire «» ainsi que l'« éventuelle » [31] énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction intramoléculaire «» étant toutes des moyennes de « grandeurs spécifiques à une molécule » sont donc toutes indépendantes de la densité volumique molaire «» du gaz ou encore, «» étant fixée, indépendantes du volume «» occupé par le gaz et

     d’autre part, elles sont toutes corrélées à l'énergie cinétique microscopique moyenne d’agitation thermique en translation des molécules du gaz «», ce qui signifie qu’elles dépendent comme l’énergie cinétique microscopique moyenne d’agitation thermique en translation de la température cinétique[19] du gaz, en étant une fonction de soit

« avec » [32] ;

     par report dans l’expression de l’énergie interne d’une quantité «» fixée du G.P.P. [27] en équilibre «», nous obtenons « avec » [32] ou, en notant «» fonction également au sens large de la température [33] pour la somme de l'énergie cinétique microscopique moyenne molaire de rotation propre «» et de l’énergie mécanique microscopique moyenne molaire de vibration intramoléculaire «»,

« avec » [33].

     Exemples : cas où les degrés de liberté de rotation et de vibration propres sont gelés rappel nécessitant une « température » limite dépendant du gaz :

le dihydrogène[30], [34]

«»
à cette température se comporte comme un G.P.M. [17] ;

     Exemples : cas où les degrés de liberté de rotation propre d'une molécule diatomique sont dégelés mais où celui de vibration propre de la même molécule diatomique reste gelé nécessitant une « température » limites dépendant du gaz en effet deux degrés de liberté de rotation propre dégelés [35] :

le dihydrogène[30], [34] et [30], [36]

«»
à cette température se comporte comme un G.P.D. [37] à molécule indéformable,
autre exemple
le dioxygène[38], [34] et [38], [36]

«»
à cette température se comporte comme un G.P.D. [37] à molécule indéformable ;

     Exemples : cas où les degrés de liberté de rotation et de vibration propres d'une molécule diatomique sont dégelés nécessitant une « température » limites dépendant du gaz en effet deux degrés de liberté de rotation propre et un de vibration propre dégelés [35] :

le dihydrogène[30], [36] irréalisable dans la pratique [39]
impliquerait si c'était réalisable «»,
autre exemple
le dioxygène[38], [36]
difficilement réalisable dans la pratique mais néanmoins réalisable [39]

«» ;

     Exemples : autres cas traitant des molécules triatomiques ou tétratomiques non exposés ceux ou celles intéressé(e)s trouveront des informations parmi celles connues à ce jour dans le paragraphe « en complément, notion d'équipartition de l'énergie (suite) » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».

     Propriété : Nous remarquons que l'« énergie interne d’une fixée de G.P.P. [27] en équilibre thermodynamique » ne dépend que d’un seul paramètre intensif « sa température » alors que le G.P.P. [27] en équilibre thermodynamique étant divariant, son état d’équilibre dépend, a priori, de deux paramètres intensifs indépendants, cette propriété correspond à la « 1ère loi de Joule » [23] ou loi de Joule et Gay-Lussac » [23], [24] :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Conséquence : « Un G.P.P. [27] suit donc la 1ère loi de Joule [23] ou loi de Joule et Gay-Lussac [23], [24]».

Énergie interne d’une quantité « n » fixée d’un système thermodynamique monophasé en équilibre, fonction de la température et du volume du système, cas particulier d’un G.P.P.[modifier | modifier le wikicode]

Expression de l'énergie interne d’une quantité « n » fixée d’un système thermodynamique monophasé en équilibre[modifier | modifier le wikicode]

     La différence essentielle entre un système thermodynamique monophasé quelconque et un G.P. [12] est l'« éventuelle » [31] existence d'interactions intermoléculaires et par suite
           La différence essentielle entre un système thermodynamique monophasé quelconque et un G.P. est l'« éventuelle » présence, dans l'énergie interne d’une quantité «» fixée d’un système thermodynamique monophasé en équilibre, d'un terme d'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction intermoléculaire «» [4], [7],

     nous en déduisons une 1ère expression de l'énergie interne d’une quantité «» fixée d’un système thermodynamique monophasé en équilibre thermodynamique selon

«» [41] avec » [33] ou
     « » [41], [7] avec » [33].

     Tentative d'explicitation de l'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction intermoléculaire «» [4], [7] : l'interaction intermoléculaire étant usuellement attractive [42] nous en déduisons «» [7] à condition que la référence choisie pour l'énergie potentielle d'interaction intermoléculaire attractive rapportée à une molécule [8] corresponde aux molécules infiniment éloignées les unes des autres «» [4], [7] ;

     Tentative d'explicitation de l'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction intermoléculaire cette énergie moyenne «» [7] dépend essentiellement « de la distance moyenne séparant deux molécules voisines » [43] selon une « en valeur absolue » quand « la pression » ou quand « la densité volumique molaire » ou encore, «» étant fixée, quand « le volume », sa dépendance à la température étant « secondaire » [44] d’où «[45] avec et » [46], [47] « » ou, en posant «» [48],

«[4], [7]
                            « [48] avec [49] et » [50], [51].

     Finalement l'énergie interne d’une quantité «» fixée d’un système thermodynamique monophasé en équilibre thermodynamique s'écrit usuellement [52] selon

«[41] avec [33] ou
« » [41], [48] avec [33] ainsi que         
                                                         «» avec [49], [50] et » [53].

     En conclusion, l'énergie interne d’une quantité «» fixée d’un système thermodynamique monophasé en équilibre thermodynamique s'écrit encore

«» [54] avec
«[41] et [33]
« » [55] représentant                      
l'énergie interne limite du système « aux pressions évanouissantes » [56] c.-à-d.
l'« énergie interne du G.P. [12] associé [55] au système monophasé » [57],            
soit encore «» [54], [48]
avec [49] et [50], [58].

Cas particulier d'un G.P.P.[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie interne d'une quantité fixée de G.P.P. [27] en équilibre thermodynamique a déjà été traitée directement dans le paragraphe « lien de l'énergie interne d'une quantité n fixée d'un G.P.P. en équilibre avec la température (cinétique) du gaz, 1ère loi de Joule » plus haut dans ce chapitre, nous nous proposons de la traiter comme cas particulier de l'énergie interne d'une quantité fixée de système thermodynamique monophasé en équilibre.

     Un G.P.P. [27] étant un cas particulier de système thermodynamique monophasé sans interaction intermoléculaire, l'énergie interne d'une quantité fixée de G.P.P. [27] en équilibre thermodynamique s'obtient à partir «» [41], [54], [48] en y imposant la condition d'absence d'interaction intermoléculaire c.-à-d. [48] soit

«» [41], [54] avec et » [33].

Énergie interne molaire d’un système thermodynamique monophasé en équilibre, fonction de la température et du volume molaire, « énergie interne massique », fonction de la température et du volume massique, cas particulier du G.P.P.[modifier | modifier le wikicode]

Caractère extensif (ou non) de l’énergie interne d'un système thermodynamique fermé monophasé[modifier | modifier le wikicode]

     « L'énergie interne d’un système thermodynamique fermé monophasé est théoriquement extensive » « s'il n'y a pas d'interactions interentitaires dans le système » [59] c.-à-d.
     « L'énergie interne d’un système thermodynamique fermé monophasé est théoriquement extensive » « si » [48] ;

     en conséquence « la présence d'interactions interentitaires dans un système thermodynamique fermé monophasé » rend son « énergie interne théoriquement non extensive » [59] mais

     en conséquence « la très courte portée des interactions interentitaires du système thermodynamique fermé monophasé » rend l'énergie interne de « pratiquement extensive » [60] le caractère extensif de l'énergie interne d'un système thermodynamique monophasé fermé devient d'ailleurs théorique par le 1er principe de la thermodynamique voir le paragraphe « énoncé du 1er principe de la thermodynamique » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »[61].

Définition de l’énergie interne molaire d’un système thermodynamique monophasé en équilibre[modifier | modifier le wikicode]

     L'« énergie interne molaire d’un système thermodynamique monophasé en équilibre » est définie à partir de l'« énergie interne d'une quantité de ce système en équilibre » par

« exprimée en » ;

     l'énergie interne molaire d'un système en équilibre étant le rapport de deux grandeurs extensives est un paramètre d'état « intensif » de ce système .

Expression de l'énergie interne molaire d'un système thermodynamique monophasé en équilibre[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de l’expression de l’énergie interne d’une quantité «» fixée du système thermodynamique monophasé en équilibre [62] «» avec , [33], [48], [49], [50] et [53], nous obtenons celle de l’énergie interne molaire de ce système en équilibre en divisant chaque membre par soit

«» ou,

     sachant que «[48] est intensif » avec « extensif » tel que [53], nous en déduisons que peut être considéré comme image du volume molaire par une fonction indépendante de que nous noterons par la suite en effet pourrait être d'une forme à avec et une constante, nécessitant un facteur de proportionnalité égal à pour être intensif c.-à-d. de la forme ce qui se réécrit aisément selon c.-à-d. comme image de par une fonction soit «», d'où la réécriture de l’énergie interne molaire du système thermodynamique monophasé en équilibre selon

«»
avec , [33],
[49], [63] et [53], [64] ;

     En conclusion, l'énergie interne molaire d’un système thermodynamique monophasé en équilibre thermodynamique s'écrit encore

«» [54] avec
«[41] et [33]
« » [55] représentant                      
l'énergie interne molaire limite du système « aux pressions évanouissantes » [65] c.-à-d.
l'« énergie interne molaire du G.P. [12] associé [55] au système monophasé » [57],            
soit encore «» [54]
avec [49] et [63], [66].

Définition de l'énergie interne massique d'un système thermodynamique monophasé en équilibre[modifier | modifier le wikicode]

     L'« énergie interne massique d’un système thermodynamique monophasé en équilibre » [67] est définie à partir de l'« énergie interne d'une masse de ce système en équilibre » par

«[67] exprimée en » ;

     l'énergie interne massique d'un système en équilibre étant le rapport de deux grandeurs extensives est un paramètre d'état « intensif » de ce système .

Expression de l'énergie interne massique d’un système thermodynamique monophasé en équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Très rarement utilisée.

     À partir de l’expression de l’énergie interne d’une quantité «» fixée du système thermodynamique monophasé en équilibre [62] «» avec la masse molaire du corps composant le système, , [33], [48], [49], [50] et [53], nous obtenons celle de l’énergie interne massique de ce système en équilibre en divisant chaque membre par soit

«» [67] ou,

     sachant que «[48] est intensif » avec « extensif » tel que [53], nous en déduisons que peut être considéré comme image du volume massique [67] par une fonction indépendante de que nous noterons par la suite en effet pourrait être d'une forme à avec et une constante, nécessitant un facteur de proportionnalité égal à pour être intensif, c.-à-d. de la forme ce qui se réécrit aisément selon avec une constante caractéristique du corps constituant le système c.-à-d. image de [67] par une fonction soit «» [67], d'où la réécriture de l’énergie interne massique du système thermodynamique monophasé en équilibre selon

«» [67]
avec « la constante massique du G.P. [12] associé à [55]
                                 exprimée en » dépendant du corps,
, [68],
[49], [67], [69], [67] et [53], [70], [67] ;

     En conclusion, l'énergie interne massique d’un système thermodynamique monophasé en équilibre thermodynamique s'écrit encore

«» [54], [67] avec
«[67] dans laquelle [71],
                                                                                                    [41] et [68]
« » [55], [67] représentant            
l'énergie interne massique limite du système « aux pressions évanouissantes » [72] c.-à-d.
l'« énergie interne massique du G.P. [12] associé [55] au système monophasé » [57],            
soit encore «» [54], [67]
avec [49], [67] et [69], [67], [73].

Cas particulier d'un G.P.P.[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie interne molaire d'un G.P.P. [27] en équilibre thermodynamique étant un cas particulier de celle d'un système thermodynamique monophasé en équilibre en considérant ce dernier sans interaction intermoléculaire, elle s'obtient donc à partir «» [41], [54], en y imposant la condition d'absence d'interaction intermoléculaire c.-à-d. soit

«» [41], [54] avec et » [33].
Début d’un théorème
Fin du théorème

     Conséquence : « Un G.P.P. [27] suit donc la 1ère loi de Joule [23] ou loi de Joule et Gay-Lussac [23], [24]».

En complément, énergie interne molaire d'un « fluide de van der Waals » et son cas particulier le « gaz de Joule »[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Le modèle de fluide « le fluide de van der Waals » [74] et son cas particulier le « gaz de Joule » [23] n'étant pas explicitement cité dans le programme de physique de P.C.S.I., les informations sur ces modèles devraient être redonnées dans un exercice ou problème

Rappel du modèle de « fluide de van der Waals »[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Le modèle de fluide de van der Waals [74] a été introduit au paragraphe « modèle de fluide de van der Waals » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », il est rappelé ci-dessous :

     Rappel : Un fluide de van der Waals [74] est un fluide composé de molécules identiques « non ponctuelles » et « avec interaction attractive intermoléculaire »,
           Rappel : Un fluide de van der Waals le caractère « non ponctuel » des molécules identiques étant caractérisé par une grandeur intensive «» dépendant de la nature du fluide et appelée « covolume molaire exprimé en »,
           Rappel : Un fluide de van der Waals l'existence d'une « interaction attractive intermoléculaire » étant caractérisée par une grandeur intensive «» dépendant aussi de la nature du fluide, exprimée en « » [75], [76] de « valeur se déduisant de la valeur absolue de la pression moléculaire et de la densité volumique molaire selon » [77] ;

     Rappel : on y admet une répartition statistique des vecteurs vitesses « isotrope » c.-à-d. indépendante de la direction du vecteur vitesse de norme fixée, « homogène » c.-à-d. indépendante du centre de l'échantillon mésoscopique considéré et « stationnaire c.-à-d. indépendante de l'instant d'observation de l'échantillon mésoscopique pour un fluide en équilibre thermodynamique ».

     Rappel : Remarque : le modèle de fluide de van der Waals [74] est applicable à « un liquide ou un gaz », l’intérêt de ce modèle est donc son large domaine d’application car un même corps pur dans un état monophasé sous phase gazeuse ou sous phase liquide peut être décrit par le même modèle [78].

     Rappel : L'équation d'état sous forme locale d'un fluide de van der Waals [74] en équilibre a été admise puis interprétée aux paragraphes « équation d'état sous forme locale d'un fluide de van der Waals », « interprétation du covolume molaire b d'un fluide de van der Waals en terme de caractère non ponctuel des molécules » et « rappel de l'interprétation de la grandeur intensive a d'un fluide de van der Waals en terme d'interactionattractive intermoléculaire » du même chap. de la même leçon « Thermodynamique (PCSI) », elle s'écrit

«» dans laquelle
« est la constante molaire des G.P. [12] »,
« le covolume molaire relatif du van der Waals [74] » [79] et
« la valeur absolue de la pression moléculaire relative du van der Waals [74] » [80].

     Rappel : L'équation d'état sous forme intégrale d'une quantité fixée de fluide de van der Waals [74] en équilibre a été déduite de son équation d'état sous forme locale dans le paragraphe « équation d'état sous forme intégrale d'une quantité n fixée d'un fluide de van der Waals » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) », elle s'écrit selon

«».

Énergie interne molaire d’un fluide de van der Waals[modifier | modifier le wikicode]

     D'après le paragraphe « expression de l'énergie interne molaire d'un système thermodynamique monophasé en équilibre » plus haut dans ce chapitre, l'énergie interne molaire d'un fluide de van der Waals [74] est de la forme

«» [54], [81]

     dans laquelle « est l’énergie interne du G.P. [12] associé [55] au van der Waals [74] » et
     dans laquelle « l'énergie potentielle microscopique moyenne molaire d'interaction intermoléculaire du van der Waals [74] » telle que [49], [81] et [63], [81] ;      il reste à proposer une explicitation de ce dernier terme «» « dépendant nécessairement de la pression moléculaire donc de et du volume molaire » et
     il reste à proposer une explicitation de ce dernier terme «» « qui doit disparaître aux pressions évanouissantes [65] » c.-à-d. quand «»,
     nous pouvons établir mais nous l'admettrons «» d’où l'« expression de l'énergie interne molaire d'un van der Waals [74] » [82]

«» [54], [81] dans laquelle
« est l’énergie interne du G.P. [12] associé [55] au van der Waals [74] ».

     Conséquence : l'énergie interne molaire d'un fluide de van der Waals [74] dépendant de mais aussi de ne suit pas la 1ère loi de Joule [23] ou loi de Joule et Gay-Lussac [23], [24][83].

Énergie interne d’une quantité « n » fixée d’un fluide de van der Waals[modifier | modifier le wikicode]

     Pour établir l'« expression de l'énergie interne d'une quantité fixée de van der Waals [74] » il suffit de « multiplier celle de l'énergie interne molaire du van der Waals [74], [84] par » et d'« y remplacer le volume molaire par est le volume de l'expansion tridimensionnelle sur laquelle le van der Waals [74] est réparti » d'où «» [54], [81] soit, avec « l'énergie interne de la quantité fixée de G.P. [12] associé [55] au van der Waals [74] », l'expression de l'« énergie interne de la quantité fixée de fluide de van der Waals [74] » [82] se réécrit selon :

«» [54], [81].

     Tentative de justification de l'expression de l'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction intermoléculaire d'un van der Waals [74] en complément : nous avons établi dans le paragraphe « énergies à utiliser pour un système thermodynamique fermé dans le référentiel d'étude (énergies d'un système thermodynamique fermé dans le référentiel d'étude : remarque, 2ème puce) » du chap. de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » que l'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction intermoléculaire «» [4] d'un système thermodynamique quelconque définie selon « » [4], [85] avec « l'énergie potentielle d'interaction entre les deux molécules et » ou, après transformation du terme entre accolades selon «» ou encore, sachant que les forces d'interaction intermoléculaire sont de courte portée, « » [86] d'où, l'énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction intermoléculaire se réécrit selon « » [4] soit, après utilisation de la loi des grands nombres, «» [4] en assimilant la moyenne « avec » soit encore, en rapportant cette énergie potentielle microscopique moyenne d'interaction intermoléculaire par molécule, nous obtenons :

«